第七章 随机变量及其分布 专题一 利用分布列的性质和超几何分布求解参数的值和随机变量的分布列 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第三册
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| 名称 | 第七章 随机变量及其分布 专题一 利用分布列的性质和超几何分布求解参数的值和随机变量的分布列 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第三册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 311.6KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-05-14 17:28:54 | ||
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文档简介
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第七章 随机变量及其分布 专题一 利用分布列的性质和超几何分布求解参数的值和随机变量的分布列 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第三册
一、单选题
1．已知随机变量X的分布规律为（），则（ ）
A． B． C． D．
2．设是一个离散型随机变量，其分布列如下，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．若随机变量的分布列如下表，表中数列为等差数列，则的取值是（ ）
3 4 5 6 7
A． B． C． D．
二、多选题
4．设为实数，如果随机变量的分布列为，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
5．已知随机变量X的分布列为，，则的值为 ．
6．已知，随机变量的分布列为
的最小值为
四、解答题
7．为了解决某地区教师资源匮乏的问题，某市教育局拟从5名优秀教师中抽选人员分批次参与支教活动．支教活动共分为三批次，每批次支教需要同时派送2名教师，且每批次派送人员均从这5人中随机抽选．已知这5名优秀教师中，2人有支教经验，3人没有支教经验．
(1)求甲在这三批次支教活动中恰有两次被抽到的概率；
(2)求第一批次抽到没有支教经验的教师人数的分布列；
(3)第二批次抽到没有支教经验的教师人数最有可能是多少？请说明理由．
8．袋中有大小和质地相同的4个黑球，3个白球，2个红球，从中任取2个球，每取到1个黑球记0分，每取到1个白球记1分，每取到1个红球记2分，求取得的分数的期望．
9．设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有3个白球，2个红球，现从甲盒任取1球放入乙盒，再从乙盒任取2球.
(1)记随机变量X表示从甲盒取出的红球个数，求；
(2)求从乙盒取出2个红球的概率.
10．端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取3个.
(1)求三种粽子各取到1个的概率；
(2)设表示取到的豆沙粽个数，求的分布列；
(3)设表示取到的粽子的种类，求的分布列.
11．临近新年，某水果店购入A，B，C三种水果，数量分别是36箱，27箱，18箱.现采用分层抽样的方法抽取9箱，进行质量检查.
(1)应从A，B，C三种水果各抽多少箱
(2)若抽出的9箱水果中，有5箱质量上乘，4箱质量一般，现从这9箱水果中随机抽出4箱送有关部门检测.
①用X表示抽取的4箱中质量一般的箱数，求随机变量X的分布列和数学期望；
②设A为事件“抽取的4箱水果中，既有质量上乘的，也有质量一般的水果”，求事件A发生的概率.
参考答案
题号 1 2 3 4
答案 A A D BD
1．A
【分析】利用分布列的性质求出，进而可得出答案.
【详解】因为随机变量X的分布规律为（），
所以，解得，
所以.
故选：A.
2．A
【分析】由离散型随机变量的分布列的性质列方程计算即可.
【详解】由离散型随机变量的性质可得，
即，解得或，
时，不合题意，.
.
故选：A.
3．D
【分析】根据分布列的性质和等差数列的性质，即可求解.
【详解】由分布列的性质可知，，再根据数列为等差数列，
则，即，则.
故选：D
4．BD
【分析】根据题意结合概率和为1求的值，即可判断A；根据的值判断B；对于C：根据分析判断；对于D：根据期望公式运算求解.
【详解】由题意可得：，
对于选项A：，解得，故A错误；
对于选项B：，故B正确；
对于选项C：，故C错误；
对于选项D：，故D正确；
故选：BD.
5．/0.4
【分析】根据所给的概率分步规律，写出四个变量对应的概率，根据分布列的性质，写出四个概率之和是1，解出的值，要求的变量的概率包括两个变量的概率，相加得到结果．
【详解】∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
6．
【分析】根据分布列性质求得，利用“”的代换可求得最小值．
【详解】由题意得，，则，
∵，
∴，
当且仅当，即时，等号成立，
∴的最小值为．
故答案为：.
7．(1)
(2)答案见解析
(3)1，理由见解析
【分析】（1）由独立重复事件的概率公式求解即可；
（2）先写出的可能取值，再求出每个值的概率即可求解；
（3）设表示第二次抽取到的无支教经验的教师人数可能的取值为0，1，2，分别求出相应的概率，比较的大小关系，由此可得出结论.
【详解】（1）由题意，得甲每批次被抽到的概率为，
则甲在这三批次支教活动中恰有两次被抽到的概率．
（2）的可能取值为0，1，2．
．所以的分布列为
0 1 2
（3）设为第二批次抽到没有支教经验的教师人数，则的可能取值为0，1，2．
，
，
．
因为，所以第二批次抽到没有支教经验的教师人数最有可能是1．
8．
【分析】根据超几何概率的概率公式求解概率，即可由期望公式求解.
【详解】由题意知，可能取值为0、1、2、3、4．
，，
，，
．
故的分布为，
．
9．(1)
(2)
【分析】（1）根据超几何分布概率求解；
（2）根据甲盒任取1球放入乙盒的不同情况，分类讨论乙盒情况，利用超几何分布概率模型和全概率公式求解即可.
【详解】（1）由题可知，随机变量可能的取值有.
所以
分布列如下：
0 1
所以.
（2）(i)若，则此时甲盒取出来了1个白球放入乙盒，
此时乙盒有4个白球，2个红球，所以从乙盒取出2个红球的概率为
(ii) 若，则此时甲盒取出来了1个红球放入乙盒，
此时乙盒有3个白球，3个红球，所以从乙盒取出2个红球的概率为；
所以从乙盒取出2个红球的概率为.
10．(1)
(2)答案见解析
(3)答案见解析
【分析】（1）根据组合数公式和古典概型概率公式，即可求解；
（2）根据超几何概率公式，列式求解；
（3）根据题意，结合互斥事件，对立事件概率公式，即可求解.
【详解】（1）令表示事件“三种粽子各取到1个”，则；
（2）的所有可能值为，
且
综上知，的分布列为
1 2 3
（3）由题意知的所有可能值为，且，.
综上知，的分布列为
1 2 3
11．(1)答案见解析
(2)①分布列见详解，；②
【分析】（1）根据题意结合分层抽样的性质分析求解；
（2）①根据题意结合超几何分别求分布列和期望；②根据题意利用对立事件以及①中结果运算求解.
【详解】（1）由题意知：，
所以应从A，B，C三种水果各抽4，3，2箱.
（2）①由题意可知：X的可能取值为0，1，2，3，4，则有：
，，
，，
，
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
所以随机变量X的期望为；
②由题意可知：为事件“抽取的4箱水果中，都是质量上乘的，或都是质量一般的水果”，
所以.
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第七章 随机变量及其分布 专题一 利用分布列的性质和超几何分布求解参数的值和随机变量的分布列 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第三册
一、单选题
1．已知随机变量X的分布规律为（），则（ ）
A． B． C． D．
2．设是一个离散型随机变量，其分布列如下，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．若随机变量的分布列如下表，表中数列为等差数列，则的取值是（ ）
3 4 5 6 7
A． B． C． D．
二、多选题
4．设为实数，如果随机变量的分布列为，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
5．已知随机变量X的分布列为，，则的值为 ．
6．已知，随机变量的分布列为
的最小值为
四、解答题
7．为了解决某地区教师资源匮乏的问题，某市教育局拟从5名优秀教师中抽选人员分批次参与支教活动．支教活动共分为三批次，每批次支教需要同时派送2名教师，且每批次派送人员均从这5人中随机抽选．已知这5名优秀教师中，2人有支教经验，3人没有支教经验．
(1)求甲在这三批次支教活动中恰有两次被抽到的概率；
(2)求第一批次抽到没有支教经验的教师人数的分布列；
(3)第二批次抽到没有支教经验的教师人数最有可能是多少？请说明理由．
8．袋中有大小和质地相同的4个黑球，3个白球，2个红球，从中任取2个球，每取到1个黑球记0分，每取到1个白球记1分，每取到1个红球记2分，求取得的分数的期望．
9．设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有3个白球，2个红球，现从甲盒任取1球放入乙盒，再从乙盒任取2球.
(1)记随机变量X表示从甲盒取出的红球个数，求；
(2)求从乙盒取出2个红球的概率.
10．端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取3个.
(1)求三种粽子各取到1个的概率；
(2)设表示取到的豆沙粽个数，求的分布列；
(3)设表示取到的粽子的种类，求的分布列.
11．临近新年，某水果店购入A，B，C三种水果，数量分别是36箱，27箱，18箱.现采用分层抽样的方法抽取9箱，进行质量检查.
(1)应从A，B，C三种水果各抽多少箱
(2)若抽出的9箱水果中，有5箱质量上乘，4箱质量一般，现从这9箱水果中随机抽出4箱送有关部门检测.
①用X表示抽取的4箱中质量一般的箱数，求随机变量X的分布列和数学期望；
②设A为事件“抽取的4箱水果中，既有质量上乘的，也有质量一般的水果”，求事件A发生的概率.
参考答案
题号 1 2 3 4
答案 A A D BD
1．A
【分析】利用分布列的性质求出，进而可得出答案.
【详解】因为随机变量X的分布规律为（），
所以，解得，
所以.
故选：A.
2．A
【分析】由离散型随机变量的分布列的性质列方程计算即可.
【详解】由离散型随机变量的性质可得，
即，解得或，
时，不合题意，.
.
故选：A.
3．D
【分析】根据分布列的性质和等差数列的性质，即可求解.
【详解】由分布列的性质可知，，再根据数列为等差数列，
则，即，则.
故选：D
4．BD
【分析】根据题意结合概率和为1求的值，即可判断A；根据的值判断B；对于C：根据分析判断；对于D：根据期望公式运算求解.
【详解】由题意可得：，
对于选项A：，解得，故A错误；
对于选项B：，故B正确；
对于选项C：，故C错误；
对于选项D：，故D正确；
故选：BD.
5．/0.4
【分析】根据所给的概率分步规律，写出四个变量对应的概率，根据分布列的性质，写出四个概率之和是1，解出的值，要求的变量的概率包括两个变量的概率，相加得到结果．
【详解】∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
6．
【分析】根据分布列性质求得，利用“”的代换可求得最小值．
【详解】由题意得，，则，
∵，
∴，
当且仅当，即时，等号成立，
∴的最小值为．
故答案为：.
7．(1)
(2)答案见解析
(3)1，理由见解析
【分析】（1）由独立重复事件的概率公式求解即可；
（2）先写出的可能取值，再求出每个值的概率即可求解；
（3）设表示第二次抽取到的无支教经验的教师人数可能的取值为0，1，2，分别求出相应的概率，比较的大小关系，由此可得出结论.
【详解】（1）由题意，得甲每批次被抽到的概率为，
则甲在这三批次支教活动中恰有两次被抽到的概率．
（2）的可能取值为0，1，2．
．所以的分布列为
0 1 2
（3）设为第二批次抽到没有支教经验的教师人数，则的可能取值为0，1，2．
，
，
．
因为，所以第二批次抽到没有支教经验的教师人数最有可能是1．
8．
【分析】根据超几何概率的概率公式求解概率，即可由期望公式求解.
【详解】由题意知，可能取值为0、1、2、3、4．
，，
，，
．
故的分布为，
．
9．(1)
(2)
【分析】（1）根据超几何分布概率求解；
（2）根据甲盒任取1球放入乙盒的不同情况，分类讨论乙盒情况，利用超几何分布概率模型和全概率公式求解即可.
【详解】（1）由题可知，随机变量可能的取值有.
所以
分布列如下：
0 1
所以.
（2）(i)若，则此时甲盒取出来了1个白球放入乙盒，
此时乙盒有4个白球，2个红球，所以从乙盒取出2个红球的概率为
(ii) 若，则此时甲盒取出来了1个红球放入乙盒，
此时乙盒有3个白球，3个红球，所以从乙盒取出2个红球的概率为；
所以从乙盒取出2个红球的概率为.
10．(1)
(2)答案见解析
(3)答案见解析
【分析】（1）根据组合数公式和古典概型概率公式，即可求解；
（2）根据超几何概率公式，列式求解；
（3）根据题意，结合互斥事件，对立事件概率公式，即可求解.
【详解】（1）令表示事件“三种粽子各取到1个”，则；
（2）的所有可能值为，
且
综上知，的分布列为
1 2 3
（3）由题意知的所有可能值为，且，.
综上知，的分布列为
1 2 3
11．(1)答案见解析
(2)①分布列见详解，；②
【分析】（1）根据题意结合分层抽样的性质分析求解；
（2）①根据题意结合超几何分别求分布列和期望；②根据题意利用对立事件以及①中结果运算求解.
【详解】（1）由题意知：，
所以应从A，B，C三种水果各抽4，3，2箱.
（2）①由题意可知：X的可能取值为0，1，2，3，4，则有：
，，
，，
，
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
所以随机变量X的期望为；
②由题意可知：为事件“抽取的4箱水果中，都是质量上乘的，或都是质量一般的水果”，
所以.
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