第八章 成对数据的统计分析 专题二 利用最小二乘法和根据独立性检验的结果求解非线性回归方程和参数的最值 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第三册
文档属性
| 名称 | 第八章 成对数据的统计分析 专题二 利用最小二乘法和根据独立性检验的结果求解非线性回归方程和参数的最值 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第三册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 570.0KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-05-14 17:28:54 | ||
图片预览
文档简介
中小学教育资源及组卷应用平台
成对数据的统计分析 专题二 利用最小二乘法和根据独立性检验的结果求解非线性回归方程和参数的最值
2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第三册
一、单选题
1．在某个物理实验中，测得变量和变量的几组数据，如下表：
0.50 0.99 2.01 3.98
0.98 2.00
则对，最适合的拟合函数是（ ）
A． B． C． D．
2．某学校数学兴趣小组在探究姜撞奶随着时间变化的降温及凝固情况的数学建模活动中，将时间分钟与温度（摄氏度）的关系用模型（其中为自然对数的底数）拟合.设，变换后得到一组数据：
2 2.5 3 3.5 4
4.04 4.01 3.98 3.96 3.91
由上表可得线性回归方程，则等于（ ）
A．-4 B． C．4.16 D．
3．已知两个分类变量X，Y的可能取值分别为和，通过随机调查得到样本数据，再整理成如下的2×2列联表：
10 a
b 30
若样本容量为75，且，则当判断X与Y有关系的把握最小时，a的值为（ ）
A．5 B．10 C．15 D．17
二、多选题
4．（多选题）某个国家某种病毒传播的中期，感染人数和时间（单位：天）在天里的散点图如图所示，下面四个回归方程类型中有可能适宜作为感染人数和时间的回归方程类型的是（ ）
A． B． C． D．
5．随机抽取家超市，得到其广告支出（万元）与销售额（万元）数据如下，则（ ）
超市
广告支出（万元） 1 2 4 6 10 14 20
销售额（万元） 19 32 44 40 52 53 54
A．销售额与广告支出正相关
B．销售额与广告支出的变化趋势相同，但广告支出超过万元后，销售额增加幅度变缓
C．销售额与广告支出线性相关越强，相关系数越接近
D．要得到销售额的预测值，模型比模型更可靠
三、填空题
6．在一组样本数据的散点图中，若所有样本点都在曲线附近波动，经计算，则实数 ．
7．某研究性学习小组针对“使用大绿书的用户是否存在性别差异”，向个人进行调查.用表示所有调查对象构成的集合.以为样本空间建立古典概型，并定义一对分类变量和如下：对于中的每一名学生，，现得到下表：
是大绿书的用户 不是大绿书的用户
男性
女性
若根据的独立性检验认为（其中），则的最小值为 .（参考公式：，其中）
8．某传媒公司针对“社交电商用户是否存在性别差异”进行调查，共调查了个人，得到下侧列联表.已知，若根据的独立性检验认为“社交电商用户存在性别差异”，则的最小值为 .
是社交电商用户 不是社交电商用户 合计
男性
女性
合计
参考公式：，其中.
四、解答题
9．云南花卉产业作为云南全力打造世界一流“绿色食品牌”的重点产业之一 从起步发展至今仅四十多年的时间，取得了令人瞩目的成绩.目前云南已成为全球公认的三大最适宜鲜切花种植的区域之一，鲜切花种植面积和产量位居全球第一，全省花卉种植面积稳定在190万亩左右.近8年云南省花卉种植面积统计数据及散点图如图
(1)经计算得下表中数据，根据散点图，在模型①：与模型②：，（均为常数）中，选择一个更适合作为云南省花卉种植面积关于年份代码的回归方程类型，求出关于的回归方程；
1.3 165.0 204 17.5 42 3.5 6448.3 1901.5
其中.
(2)运输过程中，为保证鲜切花质量，需对其存活天数进行研究.一品种鲜切花存活天数为随机变量，且最多只能存活天，研究人员发现，存活天数为的样本在存活天数超过的样本里占，存活天数为1的样本在全体样本中占.
①求；
②用表示该品种鲜切花存活天数的数学期望.
附：.
10．某大学的一个社会实践调查小组，在对大学生就餐“光盘习惯”的调查中，随机发放了120份调查问卷．对收回的100份有效问卷进行统计，得到如下列联表：
做不到光盘 能做到光盘 合计
男 45 10 55
女 x y 45
合计 75 m 100
（1）求表中x，y的值；
（2）若在犯错误的概率不超过P的前提下认为良好“光盘习惯”与性别有关，那么根据临界值表，最精确的P的值应为多少？请说明理由．
附：独立性检验统计量，其中．
0.25 0.15 0.10 0.05 0.025
1.323 2.072 2.706 3.840 5.024
11．在2024年“五四青年节”，某校举办了有关五四运动的知识竞赛活动，为了调查学生对本次活动的满意度，从该校学生中随机抽取一个容量为（）的样本进行调查，调查结果如下表：
满意 不满意 合计
男生
女生
合计
(1)完成上面的列联表，若有不少于的把握认为“性别与满意度有关系”，求样本容量的最小值；
(2)本次知识竞赛的晋级环节设置3道必答题目，至少答对2道题目则晋级，否则被淘汰．某年级有20名同学进入晋级环节，根据统计，每人对这3道题目答对的概率分别为，且3道题目答对与否互不影响．
①设表示这20人中晋级的人数，求；
②记这20人中（）人晋级的概率为，求取得最大值时的取值．
附：，其中．
0.1 0.05 0.01 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
参考答案
题号 1 2 3 4 5
答案 D D C BD ABD
1．D
【分析】利用特值法代入各选项中的函数，判断与变量的数据误差，从而可得对，最适合的拟合函数.
【详解】根据，代入A选项的函数计算得，与 误差较大，可以排除A；
根据，代入B选项的函数计算得，与 误差较大，可以排除B，
根据，代入B选项的函数计算得与 误差较大，可以排除C；
将各数据代入函数，可知D选项的函数为对，最适合的拟合函数．
故选：D.
2．D
【分析】根据给定的数据求出样本中心点，求出即可.
【详解】由表格中数据，得，
则，解得，因此，
由两边取对数，得，又，
所以，即.
故选：D
3．C
【分析】利用分类变量的相关性进行计算求解即可.
【详解】在两个分类变量的列联表中，当的值越小时，认为两个分类变量有关的可能性越小.
令，得，
又样本容量为75，
，则，
，化简得，解得：，，
又，
.
故选：C.
4．BD
【分析】由题意结合所给图象的变化趋势，结合选项，逐一分析判断即可求解.
【详解】根据图象可知，函数图象随着自变量的变大，函数值增长速度越来越快，
结合选项，可判定为指数函数或的特征，
故选：BD.
5．ABD
【分析】作出散点图，由散点图可判断ABD选项；根据线性相关系数与线性相关关系的强弱可判断C选项.
【详解】对于A选项，作出散点图如下图所示：
由散点图可知，销售额与广告支出正相关，A对；
对于B选项，由散点图可知，销售额与广告支出的变化趋势相同，
但广告支出超过万元后，销售额增加幅度变缓，B对；
对于C选项，销售额与广告支出线性相关越强，相关系数的绝对值越接近，C错；
对于D选项，由散点图可知，随着的增大而增大，当时，销售额增加幅度变缓，
所以，要得到销售额的预测值，模型比模型更可靠，D对.
故选：ABD.
6．/
【分析】利用回归直线过样本中心点求解即得.
【详解】依题意，，
则，所以.
故答案为：
7．3
【分析】根据题意，由的公式代入计算，列出不等式，即可得到结果.
【详解】因为用大绿书APP的用户存在性别差异，
所以，
即，所以的最小值为3.
故答案为：
8．3
【分析】由题意，应用卡方公式得，根据独立检验的结论确定的最小值.
【详解】由题设，零假设社交电商用户与性别无关，
而，
则，
所以根据的独立性检验认为是不是社交电商用户与性别有关，则的最小值3.
故答案为：3
9．(1)更适合，
(2)①；②
【分析】（1）根据散点图，确定更适合，再利用换元法，以及题中的数据，代入公式求回归方程；
（2）①根据条件概率，以及递推关系，可证明数列是以0.18为首项，0.8为公比的等比数列，再根据分段函数的形式列出解析式；②根据①的结果，列式，再利用错位相减法，即可求解.
【详解】（1）由散点图可知，更适合作为云南省花卉种植面积y关于年份代码x的回归方程类型.
令，所以.
因为，，，，
所以.
所以，
所以.
云南省花卉种植面积y关于年份代码x的回归方程为.
（2）①由题可得，，
当时，，
又，即，
同理可得，当时，，
两式相减得，
即，，，
因为，
所以，当时，是以0.18为首项，0.8为公比的等比数列，
当时，，
所以.
②
，
令，
则，
两式相减得，
，
所以，
则.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是由条件概率，以及公式，从而列出数列的递推关系式.
10．（1）；（2）；理由见解析.
【分析】（1）由表格列方程组，即可求得x，y及m的值；
（2）据所给的数据列出列联表，做出观测值，把观测值同临界值进行比较，即可求得最精确的P的值．
【详解】解：（1）由题意可知：，解得：，
∴，
（2），
，
所以能在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为良好“光盘习惯”与性别有关，即．
【点睛】本题考查列联表、独立性检验中的卡方系数计算，考查运算求解能力，属于基础题.
11．(1)表格见解析，90．
(2)①；②12
【分析】（1）根据表格中已有数据进行分析，完善列联表，并计算出卡方，得到不等式，结合为30的整数倍，故的最小值为90；
（2）①设出事件，得到20名同学中1人晋级的概率，得到，利用二项分布期望公式求出答案；
②得到，根据，求出取最大值时的取值为12．
【详解】（1）列联表如下：
满意 不满意 合计
男生
女生
合计
先提出统计假设为：性别与满意度没有关系，
根据上表可知，，
因为性别与满意度有关系，所以，解得，
由题意可知，为30的整数倍，故的最小值为90；
（2）①设（，，）分别表示3道题目答对事件，
令该年级的20名同学中1人晋级的事件为，
则
，
由题意可知，，则；
②，，，，，，，
最大，则
解得，，
所以，
即取最大值时的取值为12．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
成对数据的统计分析 专题二 利用最小二乘法和根据独立性检验的结果求解非线性回归方程和参数的最值
2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第三册
一、单选题
1．在某个物理实验中，测得变量和变量的几组数据，如下表：
0.50 0.99 2.01 3.98
0.98 2.00
则对，最适合的拟合函数是（ ）
A． B． C． D．
2．某学校数学兴趣小组在探究姜撞奶随着时间变化的降温及凝固情况的数学建模活动中，将时间分钟与温度（摄氏度）的关系用模型（其中为自然对数的底数）拟合.设，变换后得到一组数据：
2 2.5 3 3.5 4
4.04 4.01 3.98 3.96 3.91
由上表可得线性回归方程，则等于（ ）
A．-4 B． C．4.16 D．
3．已知两个分类变量X，Y的可能取值分别为和，通过随机调查得到样本数据，再整理成如下的2×2列联表：
10 a
b 30
若样本容量为75，且，则当判断X与Y有关系的把握最小时，a的值为（ ）
A．5 B．10 C．15 D．17
二、多选题
4．（多选题）某个国家某种病毒传播的中期，感染人数和时间（单位：天）在天里的散点图如图所示，下面四个回归方程类型中有可能适宜作为感染人数和时间的回归方程类型的是（ ）
A． B． C． D．
5．随机抽取家超市，得到其广告支出（万元）与销售额（万元）数据如下，则（ ）
超市
广告支出（万元） 1 2 4 6 10 14 20
销售额（万元） 19 32 44 40 52 53 54
A．销售额与广告支出正相关
B．销售额与广告支出的变化趋势相同，但广告支出超过万元后，销售额增加幅度变缓
C．销售额与广告支出线性相关越强，相关系数越接近
D．要得到销售额的预测值，模型比模型更可靠
三、填空题
6．在一组样本数据的散点图中，若所有样本点都在曲线附近波动，经计算，则实数 ．
7．某研究性学习小组针对“使用大绿书的用户是否存在性别差异”，向个人进行调查.用表示所有调查对象构成的集合.以为样本空间建立古典概型，并定义一对分类变量和如下：对于中的每一名学生，，现得到下表：
是大绿书的用户 不是大绿书的用户
男性
女性
若根据的独立性检验认为（其中），则的最小值为 .（参考公式：，其中）
8．某传媒公司针对“社交电商用户是否存在性别差异”进行调查，共调查了个人，得到下侧列联表.已知，若根据的独立性检验认为“社交电商用户存在性别差异”，则的最小值为 .
是社交电商用户 不是社交电商用户 合计
男性
女性
合计
参考公式：，其中.
四、解答题
9．云南花卉产业作为云南全力打造世界一流“绿色食品牌”的重点产业之一 从起步发展至今仅四十多年的时间，取得了令人瞩目的成绩.目前云南已成为全球公认的三大最适宜鲜切花种植的区域之一，鲜切花种植面积和产量位居全球第一，全省花卉种植面积稳定在190万亩左右.近8年云南省花卉种植面积统计数据及散点图如图
(1)经计算得下表中数据，根据散点图，在模型①：与模型②：，（均为常数）中，选择一个更适合作为云南省花卉种植面积关于年份代码的回归方程类型，求出关于的回归方程；
1.3 165.0 204 17.5 42 3.5 6448.3 1901.5
其中.
(2)运输过程中，为保证鲜切花质量，需对其存活天数进行研究.一品种鲜切花存活天数为随机变量，且最多只能存活天，研究人员发现，存活天数为的样本在存活天数超过的样本里占，存活天数为1的样本在全体样本中占.
①求；
②用表示该品种鲜切花存活天数的数学期望.
附：.
10．某大学的一个社会实践调查小组，在对大学生就餐“光盘习惯”的调查中，随机发放了120份调查问卷．对收回的100份有效问卷进行统计，得到如下列联表：
做不到光盘 能做到光盘 合计
男 45 10 55
女 x y 45
合计 75 m 100
（1）求表中x，y的值；
（2）若在犯错误的概率不超过P的前提下认为良好“光盘习惯”与性别有关，那么根据临界值表，最精确的P的值应为多少？请说明理由．
附：独立性检验统计量，其中．
0.25 0.15 0.10 0.05 0.025
1.323 2.072 2.706 3.840 5.024
11．在2024年“五四青年节”，某校举办了有关五四运动的知识竞赛活动，为了调查学生对本次活动的满意度，从该校学生中随机抽取一个容量为（）的样本进行调查，调查结果如下表：
满意 不满意 合计
男生
女生
合计
(1)完成上面的列联表，若有不少于的把握认为“性别与满意度有关系”，求样本容量的最小值；
(2)本次知识竞赛的晋级环节设置3道必答题目，至少答对2道题目则晋级，否则被淘汰．某年级有20名同学进入晋级环节，根据统计，每人对这3道题目答对的概率分别为，且3道题目答对与否互不影响．
①设表示这20人中晋级的人数，求；
②记这20人中（）人晋级的概率为，求取得最大值时的取值．
附：，其中．
0.1 0.05 0.01 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
参考答案
题号 1 2 3 4 5
答案 D D C BD ABD
1．D
【分析】利用特值法代入各选项中的函数，判断与变量的数据误差，从而可得对，最适合的拟合函数.
【详解】根据，代入A选项的函数计算得，与 误差较大，可以排除A；
根据，代入B选项的函数计算得，与 误差较大，可以排除B，
根据，代入B选项的函数计算得与 误差较大，可以排除C；
将各数据代入函数，可知D选项的函数为对，最适合的拟合函数．
故选：D.
2．D
【分析】根据给定的数据求出样本中心点，求出即可.
【详解】由表格中数据，得，
则，解得，因此，
由两边取对数，得，又，
所以，即.
故选：D
3．C
【分析】利用分类变量的相关性进行计算求解即可.
【详解】在两个分类变量的列联表中，当的值越小时，认为两个分类变量有关的可能性越小.
令，得，
又样本容量为75，
，则，
，化简得，解得：，，
又，
.
故选：C.
4．BD
【分析】由题意结合所给图象的变化趋势，结合选项，逐一分析判断即可求解.
【详解】根据图象可知，函数图象随着自变量的变大，函数值增长速度越来越快，
结合选项，可判定为指数函数或的特征，
故选：BD.
5．ABD
【分析】作出散点图，由散点图可判断ABD选项；根据线性相关系数与线性相关关系的强弱可判断C选项.
【详解】对于A选项，作出散点图如下图所示：
由散点图可知，销售额与广告支出正相关，A对；
对于B选项，由散点图可知，销售额与广告支出的变化趋势相同，
但广告支出超过万元后，销售额增加幅度变缓，B对；
对于C选项，销售额与广告支出线性相关越强，相关系数的绝对值越接近，C错；
对于D选项，由散点图可知，随着的增大而增大，当时，销售额增加幅度变缓，
所以，要得到销售额的预测值，模型比模型更可靠，D对.
故选：ABD.
6．/
【分析】利用回归直线过样本中心点求解即得.
【详解】依题意，，
则，所以.
故答案为：
7．3
【分析】根据题意，由的公式代入计算，列出不等式，即可得到结果.
【详解】因为用大绿书APP的用户存在性别差异，
所以，
即，所以的最小值为3.
故答案为：
8．3
【分析】由题意，应用卡方公式得，根据独立检验的结论确定的最小值.
【详解】由题设，零假设社交电商用户与性别无关，
而，
则，
所以根据的独立性检验认为是不是社交电商用户与性别有关，则的最小值3.
故答案为：3
9．(1)更适合，
(2)①；②
【分析】（1）根据散点图，确定更适合，再利用换元法，以及题中的数据，代入公式求回归方程；
（2）①根据条件概率，以及递推关系，可证明数列是以0.18为首项，0.8为公比的等比数列，再根据分段函数的形式列出解析式；②根据①的结果，列式，再利用错位相减法，即可求解.
【详解】（1）由散点图可知，更适合作为云南省花卉种植面积y关于年份代码x的回归方程类型.
令，所以.
因为，，，，
所以.
所以，
所以.
云南省花卉种植面积y关于年份代码x的回归方程为.
（2）①由题可得，，
当时，，
又，即，
同理可得，当时，，
两式相减得，
即，，，
因为，
所以，当时，是以0.18为首项，0.8为公比的等比数列，
当时，，
所以.
②
，
令，
则，
两式相减得，
，
所以，
则.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是由条件概率，以及公式，从而列出数列的递推关系式.
10．（1）；（2）；理由见解析.
【分析】（1）由表格列方程组，即可求得x，y及m的值；
（2）据所给的数据列出列联表，做出观测值，把观测值同临界值进行比较，即可求得最精确的P的值．
【详解】解：（1）由题意可知：，解得：，
∴，
（2），
，
所以能在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为良好“光盘习惯”与性别有关，即．
【点睛】本题考查列联表、独立性检验中的卡方系数计算，考查运算求解能力，属于基础题.
11．(1)表格见解析，90．
(2)①；②12
【分析】（1）根据表格中已有数据进行分析，完善列联表，并计算出卡方，得到不等式，结合为30的整数倍，故的最小值为90；
（2）①设出事件，得到20名同学中1人晋级的概率，得到，利用二项分布期望公式求出答案；
②得到，根据，求出取最大值时的取值为12．
【详解】（1）列联表如下：
满意 不满意 合计
男生
女生
合计
先提出统计假设为：性别与满意度没有关系，
根据上表可知，，
因为性别与满意度有关系，所以，解得，
由题意可知，为30的整数倍，故的最小值为90；
（2）①设（，，）分别表示3道题目答对事件，
令该年级的20名同学中1人晋级的事件为，
则
，
由题意可知，，则；
②，，，，，，，
最大，则
解得，，
所以，
即取最大值时的取值为12．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)