第八章 成对数据的统计分析 专题三 依据统计图表结合列联表判断独立性 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第三册

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成对数据的统计分析 专题三
依据统计图表结合列联表判断独立性
2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第三册
1．某学校为了调动学生学习数学的积极性，在高二年级举行了一次数学有奖竞赛，对考试成绩优秀（即考试成绩不小于分）的学生进行了奖励.学校为了掌握考试情况，随机抽取了部分考试成绩，并以此为样本制作了如图所示的样本频率分布直方图.已知第一小组的频数为.
(1)求的值和样本容量；
(2)估计所有参赛学生的平均成绩；
(3)假设在抽取的样本中，男生比女生多人，女生的获奖率为，填写下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，判断男生与女生的获奖情况是否存在差异？
性别 奖励 合计
获奖 未获奖
男
女
合计
附：，
2．某地区为了检测某种农业有机肥料的效果，农业专家播撒肥料到200块试验田中，一段时间后测量土地的某项肥力指标，按，，，，分组，绘制成如下频率分布直方图.试验后发现，产生土地肥力的为160块，其中该项指标不小于60的有110块.假设各块试验田播撒肥料后是否产生肥力相互独立.
填写下面的列联表，并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为播撒肥料试验田产生肥力与指标值不小于60有关.
指标值 合计
小于60 不小于60
产生肥力
未产生肥力
合计
参考公式：（其中为样本容量）
参考数据：
0.100 0.050 0.010 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
3．某地为调查大型水域的水质情况，设置若干站点检测水质指数（“M指数”．），以这些站点所测“M指数”的平均值为依据，接报此大型水域的水质情况．下图是2024年11月份30天内该大型水域“M指数”的频率分布直方图，其中分组区间分别为：，，，，，，，．

(1)规定：“指数”不超过50为“优质水源日”，否则称为“非优质水源日”．对该地区50名外出郊游的市民进行调查，得到如下列联表：
男市民 女市民 合计
优质水源日出游 12 30
非优质水源日出游 6
合计 50
请完成上述列联表，并根据的独立性检验，能否认为优质水源日出游与性别有关？
(2)从“指数”在第一组和第二组的所有天数中选取3天的数据进行评价，记这3天的数据来自第一组的数据有天，求的分布列和数学期望．
附：．
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
4．某工厂生产某款产品，根据质量指标值Q对产品进行等级划分，Q小于60的产品视为不合格品，Q不小于60的产品视为合格品，其中Q不小于90的产品视为优质品.工厂为了提升产品质量，对设备进行升级.为考察设备升级后产品的质量，质检部门对设备升级前后生产的产品进行简单随机抽样，得到样本数据，制作如下频数表：

(1)根据所给数据填写下列2×2列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析产品合格与设备升级是否有关联.
不合格品件数 合格品件数 合计
升级前
升级后
合计
(2)以上述样本中设备升级后的优质品频率作为升级后产品的优质品率，质检部门为检查设备升级后是否正常运转，每天从该设备生产的产品中随机抽取10件产品并检测.
（i）记X表示抽取的10件产品中的优质品件数，求（精确到0.001）；
（ii）质检部门规定：若抽检的10件产品中，至少出现2件优质品，则认为设备正常运转，否则需对设备进行检修.请根据的值解释上述规定的合理性.
附：.
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
参考数据：，，
5．为了解高一学生整理数学错题与提高数学成绩的相关性，某小组通过随机抽样，获得了每天整理错题和未每天整理错题的各20名学生3次数学考试成绩的平均分，绘制了如图1，2的频率分布直方图，并且已知高一学生3次数学考试成绩的总体均分为115分.

(1)依据频率分布直方图，完成以下列联表：
成绩不低于总体均分 成绩低于总体均分 合计
每天整理错题
未每天整理错题
合计
(2)依据小概率值的独立性检验，分析数学成绩不低于总体均分是否与每天整理数学错题有关.
附
0.10 0.01 0.001
2.706 6.635 10.828
参考答案
1．(1)，样本容量为
(2)
(3)列联表见解析，无
【分析】（1）由频率分布直方图中，所有矩形面积之和为可得的值，将第一组的容量除以第一组的频率可得出样本容量；
（2）将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，相加可得出平均数；
（3）根据题意完善列联系表，结合临界值表可得出结论.
【详解】（1）由频率分布直方图中，所有矩形面积之和为可得，解得，
样本容量为.
（2）所有参赛学生的平均成绩为.
（3）由题意可知，获奖人数为人，
由题意可得如下列联表
性别 奖励 合计
获奖 未获奖
男
女
合计
所以，，
所以，依据小概率值的独立性检验，男生与女生的获奖无差异.
2．列联表见解析，不能认为播撒肥料试验田产生肥力与指标值不小于60有关
【分析】根据频率分布直方图概率性质求解各组的块数，再求解，判断与时的大小关系即可.
【详解】在指标内的有块，
同理：内的有25块，内的有35块，内的有100块，
内的有30块，
指标值 指标值
产生肥力 50 110
未产生肥力 20 20
，
所以根据列联表及的独立性检验，不能认为播撒肥料试验田产生肥力与指标值不小于60有关.
3．(1)答案见详解
(2)答案见详解
【分析】（1）完善列联表，根据公式计算出卡方，即可得解；
（2）由题知的可能取值为，然后计算相对应的概率，画出分布列，最后求出期望.
【详解】（1）
男市民 女市民 合计
优质水源日出游 12 18 30
非优质水源日出游 14 6 20
合计 26 24 50
，
所以有的把握认为优质水源日出游与性别有关.
（2）根据题意，第一组有天，第二组有天，
所以的可能取值为，
，
，
，
，
的分布列为
0 1 2 3
.
4．(1)列联表见解析，可以认为产品合格与设备升级有关联，该推断犯错误的概率不超过
(2)（i）；（ii）理由见解析
【分析】（1）先计算出的值，根据独立性检验的思想对照临界值得结论；
（2）（i）根据二项分布的有关计算公式，求出的概率；（ii）优质品件数少于2个的概率只有，据此可得结论.
【详解】（1）依题意可得列联表为：
不合格品件数 合格品件数 合计
升级前 20 80 100
升级后 10 90 100
合计 30 170 200
零假设：产品合格与设备升级没有关联，
由列联表可计算，
依据小概率的独立性检验，我们可以推断不成立，
因此可以认为产品合格与设备升级有关联，该推断犯错误的概率不超过.
（2）（i）根据题意，设备升级后的优质品率为，
可以认为从生产线中抽出的10件产品是否为优质品是相互独立的，则，
，
所以；
（ii）如果设备正常运转，一天内抽取的10 件产品中，优质品件数少于2个的概率只有，发生的概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为设备运转异常，需对设备进行检修，可见上述规定是合理的.
5．(1)答案见解析
(2)有关
【分析】（1）根据数表分析计算即可完善列联表；
（2）利用卡方计算公式，及独立性检验思想分析即可；
【详解】（1）根据频率分布直方图，可得
成绩不低于总体均分 成绩低于总体均分 合计
每天整理错题 14 6 20
未每天整理错题 5 15 20
合计 19 21 40
（2）假设：数学成绩不低于总体均分与每天整理数学错题无关.
计算可得
根据小概率值的独立性检验，可推断不成立，
即认为数学成绩不低于总体均分与每天整理错题有关.
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