空间几何专题训练——距离、夹角（含解析）

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空间几何专题训练——距离、夹角
一、点到面距离求法
1．如图，在四棱锥中，平面，，，且.
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离.
2．如图，四棱锥的底面ABCD是边长为2的正方形，，平面平面ABCD，平面平面ABCD，E为PD中点.
（1）证明：；
（2）若F为棱PB上的点，求点F到平面ACE的距离.
3．如图，在多面体 中， 是平行四边形， ， ， 两两垂直.
（1）求证：平面 平面 ；
（2）若 ，求点 到平面 的距离.
4．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，，，为棱的中点.
条件①：；
条件②：平面平面.
从条件①和条件②这两个条件中选择一个作为已知，完成下列问题：
（1）求证：；
（2）若点在线段上，且点到平面的距离为，求线段的长.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
二、异面直线夹角求法
5．如图，直三棱柱 中，所有棱长均为1，点 为棱 上任意一点，则下列结论正确的是（　　）
A．直线 与直线 所成角的范围是
B．在棱 上存在一点 ，使 平面
C．若 为棱 的中点，则平面 截三棱柱 所得截面面积为
D．若 为棱 上的动点，则三棱锥 体积的最大值为
6．如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱 中， ， ， ，F分别是 ， 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值是　 　．
7．在三棱柱 中， ， ．若 ， ，则异面直线 与 所成的角为　 　．
8．如图，四棱锥 中，底面 为矩形， 底面 ， ， ， 分别为棱 的中点.
（1）求证： 、 、 、 四点共面；
（2）求异面直线 与 所成的角.
三、线面夹角求法
9．如图，在三棱锥 中，侧面 底面BCD， ， ， ， ，直线AC与底面BCD所成角的大小为
A． B． C． D．
10．如图，在四棱锥 中， ， ， ． ， 为等边三角形，点 是棱 上的一动点．
（1）求证： ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值的最大值．
11．如图， 中， ， 是边长为 的 若 ， 分别是 ， 的中点．
（1）求证： ；
（2）求证： ；
（3）求 和面 所成角的大小．
四、二面角求法
12．如图，在三棱锥中，侧面是正三角形，且垂直于底面，，，
（1）求证：
（2）记二面角的平面角为，求的值.
13．如图，边长为2的正方形 所在的平面与半圆弧 所在平面垂直， 是 上异于 ， 的点．
（1）证明： ；
（2）当三棱锥 体积最大时，求面 与面 所成二面角的正弦值．
14．如图所示的几何体由等高的 个圆柱和 个圆柱拼接而成，点 为弧 的中点，且 、 、 、 四点共面．
（1）证明： 平面 ．
（2）若直线 与平面 所成角为 ，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值．
15．如图，在四棱锥 的展开图中，点 分别对应点 ， ， ， ，已知 ， 均在线段 上，且 ， ，四边形 为等腰梯形， ， .
（1）若 为线段 的中点，证明： 平面 .
（2）求二面角 的余弦值.
16．如图，三棱锥 中，侧棱 底面 点在以 为直径的圆上.
（1）若 ，且 为 的中点，证明： ；
（2）若 求二面角 的大小.
17．现有两个全等的等腰直角三角板，直角边长为2，将它们的一直角边重合，若将其中一个三角板沿直角边折起形成三棱锥 ，如图所示，其中 ，点E，F，G分别是 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值．
18．如图，矩形 中， ， ，点 是 上的动点．现将矩形 沿着对角线 折成二面角 ，使得 ．
（Ⅰ）求证：当 时， ；
（Ⅱ）试求 的长，使得二面角 的大小为 ．
19．如图，四棱锥 中，四边形 是等腰梯形， .
（1）证明：平面 平面 ；
（2）过 的平面交 于点 若平面 把四棱锥 分成体积相等的两部分，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.
20．如图，在四棱锥 中， ， ， ，且 ， ， ．
（1）若 为 的中点，证明： ；
（2）求证： ；
（3）若 为 的中点，求二面角 的平面角的大小．
答案解析部分
1．【答案】（1）
由于，，
所以故，
因此，
又平面，平面，故，
平面，故平面
（2）由于，，所以为等边三角形，
故，
又平面，平面，所以，
又，故，
所以，
设点到平面的距离为，
由于，故
【解析】【分析】 (1) 根据题意可证 平面 ，可得 ， 结合线面垂直的判定定理分析证明；
(2) 利用等体积法，即 ，结合体积公式运算求解.
2．【答案】（1）解：因为，E为PD中点，所以.
又，平面平面ABCD，平面平面，
所以平面PAD.又平面PAD，所以.
因为、平面PCD，，所以平面PCD，
又平面PCD，所以.
（2）解：因为ABCD是边长为2的正方形，所以，
因为平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，
所以平面PAB，故，同理可得.
因为AB、平面ABCD，，所以平面ABCD.
连接BD与AC交于点O，连接OE，则O为BD的中点，
因为E为PD的中点，所以.
因为平面ACE，平面ACE，所以平面ACE，
所以点F和点B到平面ACE的距离相等.
又，由（1）知，易得，，
所以.设点B到平面ACE的距离为d，
则，解得，所以点F到平面ACE的距离为.
【解析】【分析】（1）根据已知条件，利用面面垂直的性质证明平面，再根据线面垂直的判定定理及线面垂直的性质证明即可；
（2）先根据面面垂直的性质以及线面垂直的性质证明平面，再通过线面平行把距离转化为点到平面的距离，最后利用等体积法求解即可.
3．【答案】（1）证明：∵ ， ， ，∴ 平面 ，
∵ 是平行四边形，∴ ，∴ 平面 ，
∵ 平面 ，∴平面 平面 ．
（2）解：连接 ．
∵ ， ， 两两互相垂直， ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，∴ 平面 ，∴ ．
又由（Ⅰ）知 平面 ，
∴ ，∴ ．
设 到平面 的距离为 ，所以由 ，得 ，
所以 ，即 到平面 的距离为 ．
【解析】【分析】（1）由已知条件可得线面垂直，进而得面面垂直.
（2）利用等体积转换可得所求的高.
4．【答案】（1）选①：.
证明：在平行四边形中，，
因为，，
所以在△中，.
所以，
所以.
又，，平面，平面，
所以平面.
因为平面，
所以.
又因为，
所以.
选②：平面平面.
证明：因为平面平面，平面平面，，平面.
所以平面，
因为平面，
所以.
（2）由（2）知，BA，BD，BP两两垂直，以为原点，，， 为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
则，，
所以，，.
设平面的一个法向量为，
则 即
令，则，. 所以．
因为点在线段上，设，
所以，
故点到平面的距离为，得.
所以
所以，
所以.
【解析】【分析】 (1)证明 ，可以通过证明得到，选条件①： ，结合
； 由余弦定理得：，通过勾股定理逆定理可得：，又 ，证得：从而证明；选择条件 ② ： 平面平面.
且 证得：从而证明.
（2）由（1）知PB、BA、BC两两垂直，故可以建立空间直角坐标系，写出各点坐标，因为点在线段上，所以设然后运用点到平面的向量计算式得：
点到平面的距离为，得.从而求出点M的坐标，在利用空间
两点间的距离等于两点组成向量的模长即可求解.
5．【答案】A,C
【解析】【解答】对于A，由直三棱柱 ， ， 为直线 与直线 所成角，
当 与 重合时，直线 与直线 所成角为0，当 与 重合时，直线 与直线 所成角为 ，所以直线 与直线 所成角的范围是 ，A符合题意；
对于B，假设 平面 ，又 平面 ， ，设 中点为 ，
则 ，则 平面 ，所以 在平面 上的射影为 ，
由三垂线定理得 ，又因为 为正方形，所以点 为 中点，与点 为棱 上一点矛盾，B不符合题意.
对于C，取 中点 ，连结 ， ，则平面 截三棱柱 所得截面为等腰梯形 ， ， ，
在直角 中， ，所以梯形的高为 ，梯形的面积为 ，C符合题意.
对于D，因为 ，且 ，
所以当 与 重合时，三棱锥 的体积最大，取 中点 ，
则 平面 ，得 ，D不符合题意.
故答案为：AC
【分析】由异面直线的球阀即可判断出选项A正确，利用反证法结合线面垂直的判断以及性质定理即可判断出选项B错误，利用线线平行的性质即可得到平面ABE截三棱柱所得为等腰梯形，结合面积公式计算出结果由此判断出选项C正确，利用等体积法即可求出体积的最大值由此即可判断出选项D错误，从而得到答案。
6．【答案】
【解析】【解答】连结BF，在三棱柱 中，因为 ，F分别是 ， 的中点，
所以 ∥ ，则∠AFB（或其补角）即为异面直线 与 所成角.
在三棱柱 中，因为侧棱垂直于底面，即 ，所以 .
又 ，且 ，所以 平面 ，而 平面平面 ，
所以
不妨设AB=2，
在直角三角形ABF中，AB=2，
所以异面直线 与 所成角的余弦值为： .
故答案为：
【分析】首先由三棱锥的性质结合平行关系即可得出∠AFB（或其补角）即为异面直线 与 所成角，再由三棱锥里的垂直关系由线面垂直的性质定理即可得出线线垂直，结合勾股定理以及三角形内的几何计算关系即可求出结果。
7．【答案】60°
【解析】【解答】解：如图，
在三棱柱中，可得，
所以异面直线与所成的角，即为直线与所成的角，设，
因为 且 ，所以，
所以为等边三角形，所以，
即异面直线与所成的角为.
【分析】根据题意，把异面直线所成的角转化为直线与所成的角，设，在中，即可求解.
8．【答案】（1）证明： 在 中，由 、 为 、 中点得： 为中位线，
∥
又 底面为矩形， ∥ ，
∥
由平行线确定唯一平面得 、 、 、 在同一平面上
（2）解：以 为原点建立坐标系，其中 、 、 分别为 、 、 轴，
如图：
可得 ， ， ，
， ，
故：
异面直线 与 夹角： .
【解析】【分析】（1）因为在 中，由 、 为 、 中点得： 为中位线，可得 ∥ ，结合底面为矩形，即可求得答案；（2）以 为原点建立坐标系，其中 、 、 分别为 、 、 轴，求得 和 ， ，即可求得答案.
9．【答案】A
【解析】【解答】取BD中点，
由 ， ，又侧面 底面BCD，所以 。
所以 为直线AC与底面BCD所成角。
，所以 。
故答案为：A.
【分析】取BD的中点E，则为直线AC与底面BCD所成的角，利用题目条件，解三角形，即可得出答案。
10．【答案】（1）解：取 的中点 ，连接 ， ，设 与 交于点 ，
由 ， ， 知 且 ，
所以四边形 是平行四边形，
同理可证四边形 是平行四边形，
所以 ，
因为 ，四边形 是平行四边形，
所以四边形 是菱形，
所以 ，
所以 ，
又因为 ， ， ，
所以 ．
（2）解：如图所示，以 为原点， ， 所在的直线分别为 轴， 轴，过点 垂直于底面的直线为 轴，建立空间直角坐标系 ，
由题意知， ， ， ，
， ， ，
过点 作 ，垂足为 ，连接 ， ，
又 ， ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
所以点 在线段 的中垂线上，
由对称性可知 ， ， 三点共线，
由 ，得 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
所以点 的坐标为 ，
所以 ，
设平面 的法向量为 ，
由 得
令 ，则 ，
设 ， ，则
设直线 与平面 所成角为 ，则
当 时取等号，
所以直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为 ．
【解析】【分析】（1） 取 的中点 ，设 与 交于点 ，得到四边形 和是平行四边形，得到 ，再由四边形 是菱形， 得到，得出 ， 结合平面平面 ，即可证得 ；
（2）以 为原点，建立空间直角坐标系 ， 过点 作 ，连接 ， ，证得平面，得到 点 在线段 的中垂线上， 进而求得点 的坐标 ， 得到 的组坐标，再求得平面平面 的一个法向量为 ， 设 ，求得 ，结合向量的加减公式，结合二次函数的性质，即可求解.
11．【答案】（1）证明：首先联结，结合是正方形，所以点为中点，
因为点是中点，
所以
又因为平面，
所以平面.
（2）证明：因为，
所以，
所以，
又因为平面平面，且平面平面，，
所以，
所以平面.
（3）解：因为平面，
所以，与平面所成角为，
所以，
因为正方形边长为，
所以，
所以，，
所以，
所以.
【解析】【分析】（1）首先根据三角形中位线的性质，得到，再根据线面平行的判定定理，即可证得平面.
（2）首先根据勾股定理，得到一组线线垂直，再根据面面垂直得到另外一组线线垂直，最后根据线面垂直的判定定理，即可证得平面.
（3）首先根据线面垂直以及线面角的定义，得到为直线与平面所成的角，在中再结合正线公式，求出值.
12．【答案】（1）证明： ，侧面 底面 ，
侧面 ，
所以
（2）：由勾股定理得 ，
又 侧面 ，所以 ，则 ，
又 ，取 的中点 ，连 ， ，
则有
， ，所以 即为二面角 的平面角，
在直角三角形 中， ， ， ，所以
【解析】【分析】（1）利用 ，侧面 底面 结合面面垂直的性质定理证出线面垂直，所以 侧面 ，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，从而证出 。
（2） 由勾股定理得 ，再利用 侧面 结合线面垂直的定义证出线线垂直，所以 ，则 ，再利用 ，取 的中点 ，连 ， ，则有 ， ，所以 即为二面角 的平面角，在直角三角形 中， ， ， ，再结合余弦函数的定义得出的值。
13．【答案】（1）解：由题设知， ， ．
因为 ， ，
所以 ，
故 ．
因为 为 上异于 ， 的点，且 为直径，
所以 ，
又 ， ， ，
所以 ，而 ，
故 ．
（2）解：以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 ．
当三棱锥 体积最大时， 为 的中点．
由题设得 ， ， ， ， ， ， ， ，
设 是平面 的法向量，则 即
可取 ．
是平面 的法向量，所以 ， ，
所以面 与面 所成二面角的正弦值是 ．
【解析】【分析】（1）根据题意，利用面面垂直度的性质定理，证得 ， 得到，再由 ，利用线面垂直的判定定理证得 ， 进而证得平面平面；
（2） 以 为坐标原点，建立空间直角坐标系 ，根据题意，得到三棱锥 体积最大时， 为 的中点．，分别求得平面和平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.
14．【答案】（1）证明：取弧 的中点 ，连结 ， ，
则 ，所以 ，因为 且 ，所以四边形 为平行四边形，所以 ，所以 ，
又因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 平面 ， ．
所以 平面
（2）解：以 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，设 ，因为直线 与平面 所成角为 ，则 ， ， ， ，设平面 的法向量为 ，由 可得： ，令 ，则 ，同理可得：平面 的法向量为 ，则 ，故平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为
【解析】【分析】(1)根据题意作出辅助线由中点的性质即可得出线线平行，再由平行的性质结合已知条件即可得出线线垂直，然后由线面垂直的判定定理即可得证出结论。
(2)根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标，同理即可求出平面的法向量；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此得到平面 与平面 所二面角的余弦值 。
15．【答案】（1）证明：由 ， ，可知 ， ， 两两相互垂直.
因为 ，所以 平面 ，则 .
连接 ，取 的中点 ，连接 ，
因为 ，
所以 ， ，所以 ，
从而 为正三角形，又因为 为 的中点，所以 .
又因为 ， 平面 ，所以 平面
（2）解：以 为坐标原点，以 的方向为 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系 .
设 ，则 ， ， ， ， ，
从而 ， ， .
设平面 的法向量为 ，
则 即
令 ，得 .
平面 的法向量 ，
则 ，即 ，取 ，得平面 的法向量 ，
所以 ，
由图可知二面角 为钝角，故二面角 的余弦值为 .
【解析】【分析】(1)根据题意与线面垂直的性质定理即可得出线线垂直，再由正三角的性质即可得出线线垂直然后与线面垂直的判定定理即可的得证出结论。
(2)根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标，同理即可求出平面的法向量；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此得到 二面角 的余弦值 。
16．【答案】（1）证明：几何法：
易知当 为 的中点时， ；
且由 点在以 为直径的圆上，可得
另外， 底面 且 面
则
而 面 面
可知 面
因为 面
所以
又 面 面
且
可知 面
又 平面
故 .
空间向量法：
由 知 面
在平面 内过 作垂直 的直线为 轴， 所在的直线为 轴， 轴；
即以 为坐标原点，建立如图2的空间直角坐标系，
可设
若设 则 ，
因此 ，
其中 ，
故 ；
故 .
（2）解：几何法：
如图1，过点 作 交 于点
由 可知 为二面角 的平面角，
若设 则可求得
由余弦定理知
则二面角 的大小为
注：若利用 中 面 所得
即 中
也可求得
空间向量法：当 为 的中点时， 则由（1）知 面
故可取面 的一个法向量为 ；
当 时， ，
若设面 的法向量为 ，
则 ，即 ，可取
则
由图可知二面角 为锐角，
所以二面角 的大小为
【解析】【分析】 （1）由题意可知BC⊥PA，BC⊥AC，可证明BC⊥平面ABC，建立合适的空间直角坐标系，设PA=a，设BC=b，表示出所需点的坐标，求出直线AE和PB的方向向量，然后利用数量积为0证明即可；
（2）利用（1）中的结论，求出平面PBC的一个法向量，利用待定系数法求出平面PAB的一个法向量，然后利用二面角的计算公式，结合特殊角的三角函数求解即可．
17．【答案】（1）证明：根据已知得 ，又G为 的中点，所以 ，
因为 ，G为 的中点，所以 ，
又 ，所以 平面 ．
又因为 ，所以 平面
（2）解：因为 ，所以 平面 ，取 中点H，连接 ，则 平面 ，又 ，所以以H为原点，以 所在直线分别为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，
所以 ．
设平面 的法向量为 ，
则 即
令 ，得 ．
设平面 的法向量为 ，
则 即
令 ，得 ．
所以 ，所以二面角 的余弦值为
【解析】【分析】（1） 根据已知得 ，又因为点G为 的中点，再结合等腰三角形三线合一，所以 ，因为 ，G为 的中点，再结合等腰三角形三线合一，所以 ，再利用线线垂直证出线面垂直，即 平面 ．又因为 ，进而证出 平面 。
（2） 因为 ，再利用线线垂直证出线面垂直，所以 平面 ，取 中点H，连接 ，则 平面 ，又因为 ，所以以H为原点，以 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系， 进而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，进而求出二面角 的余弦值。
18．【答案】解：（Ⅰ）连结 ， ．
在矩形 中， ，
， ．
在 中，∵ ，
，
∵ ，
，即 ．
又在 中，
，
∴在 中， ，
，
又 ，
∴ 平面 ．
∴ ．
（Ⅱ）解：在矩形 中，过 作 于 ，并延长交 于 . 沿着对角线 翻折后，
由（Ⅰ）可知， 两两垂直，
以 为原点， 的方向为 轴的正方向建立空间直角坐标系 ，则
，
平面 ，
为平面 的一个法向量．
设平面 的法向量为
， ，
由 得
取 则 ， ．
即 ，
．
当 时，二面角 的大小是
【解析】【分析】（Ⅰ）根据题目中所给的条件的特点，连结DF，BF．通过计算推出DF⊥AC，得到D'F⊥AC，然后证明D'F⊥平面ABC．推出利用线面垂直的性质得到D'F⊥BC．
（Ⅱ）先说明OE，OC，OD'两两垂直，以O为原点，建立适当的空间直角坐标系O-xyz，求出平面AD'F的一个法向量．以及平面BD'F的法向量，通过用空间向量求平面间的夹角的方法，利用向量的数量积求解二面角的平面角的余弦值即可．
19．【答案】（1）证明：如图，取 的中点 连结 ，
，
，
，
四边形 为平行四边形，
，
四边形 是等腰梯形， ，
，
又 ，
为等边三角形，
，
在等腰 中， ，
在 中， ，
不妨设 ，
则 ，
在 中， ，
，
，
又 平面 平面 ，
平面 ，
又 平面 ，
平面 平面
（2）解： ，
以 分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，如图：
设 ，
平面 把四棱锥 分成体积相等的两部分，
三棱锥 的体积等于四棱锥 ，
，
设梯形 的高为
则 ，
解得 ，
则 ，
，
轴 平面
平面 的一个法向量为
设平面 的一个法向量为 ，
则
即
取 则 ，
，
，
平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 .
【解析】【分析】 （1）作DF⊥AB交AB于点F，连结BD，在△ABD中，利用余弦定理求出BD，然后由勾股定理可证PD⊥BD，再利用线面垂直的判定定理可证PD⊥平面ABCD，由面面垂直的判断定理证明即可；
（2）利用平面PDE把四棱锥P-ABCD分成体积相等的两部分，可得，从而求出AE，然后建立合适的空间直角坐标系，求出所需各点的坐标，利用待定系数法求出平面PAD和PCE的法向量，然后利用二面角的计算公式求解即可．
20．【答案】（1）解：取 中的 ，连接 ， ，
因为 为 的中点，
所以 ， ，
由 ，且 ，得 ，且 ，
所以四边形 为平行四边形．
所以 ， ， ，
所以 ．
（2）解：取 中的 ，连接 ，
则 ， ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 ，又 ，
所以 ，故 ，
又 ，
所以 ，且 ，
所以 ，
所以 ．
（3）解：取 的中的 ，连接 ，
则 ，
由 ，则 ，
过点 ，作 ，连接 ，则 ，
所以二面角 的平面角为 ，
在直角三角形 中， ， ， ，
所以二面角 的平面角的大小为 ．
【解析】【分析】（1） 取 中的 ，证得且 ， 得到四边形 为平行四边形，得出 ，利用线面平行的判定定理，即可证得 ；
（2） 取 中的 ，证得四边形 为平行四边形， 证得 ，再由 平面，证得 ，利用线面垂直的判定定理，证得平面，即可证得；
（3） 取 的中的 ，证得 ，作 ，连接 ，得到 ，得出二面角 的平面角为 ， 在直角三角形 中， 即可求解.
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