第八章 成对数据的统计分析 专题一 利用回归直线方程过样本中心和最小二乘法求参和线性回归方程 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第三册
文档属性
| 名称 | 第八章 成对数据的统计分析 专题一 利用回归直线方程过样本中心和最小二乘法求参和线性回归方程 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第三册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 543.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-05-14 17:28:54 | ||
图片预览
文档简介
中小学教育资源及组卷应用平台
成对数据的统计分析 专题一 利用回归直线方程过样本中心和最小二乘法求参和线性回归方程
2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第三册
一、单选题
1．下列说法不正确的是（ ）
A．对具有线性相关关系的变量、，且回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是
B．若随机变量服从正态分布，且，则
C．若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关程度越高
D．一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14
2．若变量y与x之间存在线性相关关系，且根据最小二乘法得到的经验回归方程为，样本点中心为，则样本点的残差为（ ）
A． B．1.5 C．0.5 D．
二、多选题
3．下列说法正确的是（ ）
A．若随机变量X服从正态分布，且，则
B．一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的下四分位数为18
C．若两个变量的线性相关系数越大，则这两个变量的线性相关性越强，反之，则越弱
D．对具有线性相关关系的变量x，y，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数m的值是
4．已知两个变量与对应关系如下表：
若与满足一元线性回归模型，且经验回归方程为，则（ ）
A．与正相关 B．
C．样本数据的第百分位数为 D．各组数据的残差和为
三、填空题
5．已知，之间的一组数据：若与满足经验回归方程，则此曲线必过点 .
x
y
6．两个线性相关变量与的统计数据如表：
9 9.5 10 10.5 11
11 10 8 6 5
其回归直线方程是，则相对应于点的残差为 ．
7．已知一系列样本点的一个经验回归方程为，若样本点的残差为1，则 ．
四、解答题
8．科技创新赋能高质量发展，某公司研发新产品投入x（单位：百万）与该产品的收益y（单位：百万）的5组统计数据如表所示（其中m为后期整理数据时导致数据缺失），且由该5组数据用最小二乘法得到的回归直线方程为．
x 5 6 8 9 12
y 16 20 25 28 m
(1)求m的值．
(2)若将表中的点去掉，样本相关系数r是否改变？说明你的理由．
参考公式：相关系数．
9．某种产品2014年到2018年的年投资金额（万元）与年利润（万元）的数据统计如下，由散点图知，与之间的关系可以用线性回归模型拟合，已知5年利润的平均值是4.7．
年份 2014 2015 2016 2017 2018
年投资金额万元 1 2 3 4 5
年利润万元 2.4 2.7 6.4 7.9
(1)求表中实数的值；
(2)求关于的线性回归方程．
参考公式：回归直线方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．
10．根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量y（百千克）与某种液体肥料每亩使用量x（千克）之间的对应数据的散点图，如图所示．
(1)依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请计算相关系数r并加以说明（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）；
(2)求y关于x的回归方程，并预测当液体肥料每亩使用量为10千克时，西红柿亩产量的增加量约为多少？
附：相关系数公式．
参考数据：
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为．
11．新冠肺炎疫情发生以来，中医药全面参与疫情防控救治，做出了重要贡献．某中医药企业根据市场调研与模拟，得到研发投入x（亿元）与产品收益y（亿元）的数据统计如下：
研发投入x（亿元） 1 2 3 4 5
产品收益y（亿元） 3 7 9 10 11
(1)计算x，y的相关系数r，并判断是否可以认为研发投入与产品收益具有较高的线性相关程度？（若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高）
(2)求出y关于x的线性回归方程，并预测研发投入20（亿元）时产品的收益．
参考数据：，，．
附：相关系数公式：，回归直线方程的斜率，截距．
12．如图是某采矿厂的污水排放量单位：吨与矿产品年产量单位：吨的折线图：
(1)依据折线图计算相关系数精确到，并据此判断是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合
(2)若可用线性回归模型拟合与的关系，请建立关于的线性回归方程，并预测年产量为10吨时的污水排放量．
相关公式：，参考数据：．
回归方程中，
13．某电脑公司有6名产品推销员，其工作年限与年推销金额数据如下表：
推销员编号 1 2 3 4 5
工作年限x/年 3 5 6 7 9
推销金额y/万元 2 3 3 4 5
（1）求年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程；
（2）若第6名推销员的工作年限为11年，试估计他的年推销金额．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为．
14．某商场对商品近天的销售情况进行整理，得到如下数据，经统计分析，日销售量(件)与时间(天)之间具有线性相关关系.
时间()
日销售量()
（1）请根据表格提供的数据，用最小二乘法原理求出关于的线性回归方程.
（2）已知商品近天内的日销售价格(元)与时间(天)的关系为.根据（1）中求出的线性回归方程，预测为何值时，商品的日销售额最大.
(参考公式，)
参考答案
题号 1 2 3 4
答案 D B AD AD
1．D
【分析】利用线性回归方程中的基本量即可判断选项A，利用正态分布的性质即可判断选项B，根据线性相关系数的性质即可判断选项C， 利用百分位数的定义即可判断选项D.
【详解】对A：样本点的中心为，所以，，
因为满足线性回归方程，所以，所以，A正确.
对B：若随机变量服从正态分布，且，
则，则，B正确；
对C：若线性相关系数越接近，则两个变量的线性相关性越强，C正确；
对于D，因为，所以第百分位数为，D错误；
故选：D.
2．B
【分析】先求出线性回归方程，再由残差的定义求解即可.
【详解】依题意，，所以，即经验回归方程为，
又当时，，所以样本点的残差为，
故选：B.
3．AD
【分析】根据正态曲线的性质求解即可判断A；根据百分位数的概念计算即可判断B；根据两个变量的线性相关系数的表示意义即可判断C；根据将中心代入线性回归方程计算即可判断D.
【详解】A：因为，所以，故A正确；
B：由题意，，所以该10个数据的下四分位数为第2个数和第3个数的平均数11，故B错误；
C：若两个变量的线性相关系数越接近于1，则这两个变量的线性相关性越强，所以C错误；
D：由题意，线性回归方程过样本点中心，所以，解得，故D正确.
故选：AD
4．AD
【分析】利用相关性的定义及线性回归直线可判断选项A；根据样本中心点在回归方程上可判断选项B；利用百分位数的计算可判断选项C；利用回归方程计算预测值可得残差即可判断选项D.
【详解】由回归直线方程知：，所以与正相关，故选项A正确；
由表格数据及回归方程易知，，解得，
故选项B错误；
易知，所以样本数据的第70百分位数为9，故选项C错误；
由回归直线方程知时对应的预测值分别为，，，，，对应残差分别为，，，，，显然残差之和为0，故选项D正确.
故选：AD.
5．
【分析】设，则，根据回归方程性质可得回归直线所过定点.
【详解】由已知，
设，则，
由回归直线性质可得在直线上，
又，，
所以点在直线上，故点在曲线上.
故答案为：.
6．0.2/
【分析】根据线性回归方程一定经过样本点中心，进而求解参数，再根据残差的计算公式即可得出答案.
【详解】，
所以样本点中心为，代入回归方程得:，解得，
所以回归方程为，当时，，
所以残差为:.
故答案为：.
7．
【分析】根据残差计算公式计算即可.
【详解】根据题意得，解得.
故答案为：.
8．(1)
(2)不变，理由见解析
【分析】（1）计算平均数得样本中心，即可代入求解，
（2）根据相关系数的计算公式即可求解.
【详解】（1）由题意可知，，，
所以样本中心为，将点代入，可得，解得．
（2）由（1）可得，样本中心为，所以，．
由相关系公式知，，将点去掉后，样本相关系数r不变
9．(1)；
(2)．
【分析】（1）由5年利润的平均值是4.7结合平均数公式求得值；
（2）由已知数据求得和的值，即可得到线性回归方程.
【详解】（1）由题意得，，解得
（2）由题意得，,，
，故，
则，
故所求线性回归方程为．
10．(1)，说明见解析
(2)；550千克
【分析】（1）根据散点图中的数据分别求得可得，，，，，进而求得相关系数，再与0.75比较下结论.
（2）结合（1）中的数据，分别求得，，写出回归方程，然后将代入求解.
【详解】（1）由已知数据可得，，
所以，
，
，
所以相关系数．
因为，所以可用线性回归模型拟合y与x的关系．
（2），，
所以回归方程为．
当时，．
即当液体肥料每亩使用量为10千克时，西红柿亩产量的增加量约为550千克
11．(1)，具有较高的线性相关程度
(2)，40.3亿元
【分析】(1)将已知数据代入相关系数公式计算即可得结论.
(2)求出回归直线方程，将代入线性回归方程计算即可.
【详解】（1）∵，，，
∴，
∴该中医药企业的研发投入x与产品收益y具有较高的线性相关程度．
（2）∵，
，
∴．
∴y关于x的线性回归方程为，
将代入线性回归方程可得，，
∴预测研发投入20（亿元）时产品的收益为40.3（亿元）．
12．(1)相关系数，可用线性回归模型拟合y与x的关系
(2)，吨
【分析】（1）代入数据，算出相关系数r，将其绝对值与比较，即可判断可用线性回归模型拟合y与x的关系．
（2）先求出回归方程，求出当时的值，即为预测值．
【详解】（1）由折线图得如下数据计算得：
，，，
所以相关系数，
因为，所以可用线性回归模型拟合y与x的关系
（2）
，
所以回归方程为，
当时，，
所以预测年产量为10吨时的污水排放量为吨
13．（1）；（2）5.9万元．
【分析】（1）根据表中的数据求出，，再利用公式可求出，，从而可求出推销金额y关于工作年限x的线性回归方程；
（2）将化入回归方程中求解即可
【详解】解（1）设所求的线性回归方程为，
，，
所以，
．
所以年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程为．
（2）当时，（万元）．
所以可以估计第6名推销员的年推销金额为5.9万元
14．（1）；（2）.
【分析】（1）借助公式算出每个参数即可得解；
（2）先求出日销售额，再根据分段函数分别算出每一段的最大值，比较大小，取整体最大值即可.
【详解】（1）根据题意，，
，
所以回归系数为：，，
故所求的线性回归方程为；
（2）由题意日销售额为；
当，时，，即当时，(元)；
当，时，，即当时，(元)，
综上所述，当时，(元)，
所以估计天时，商品的日销售额最大，为元.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
成对数据的统计分析 专题一 利用回归直线方程过样本中心和最小二乘法求参和线性回归方程
2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第三册
一、单选题
1．下列说法不正确的是（ ）
A．对具有线性相关关系的变量、，且回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是
B．若随机变量服从正态分布，且，则
C．若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关程度越高
D．一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14
2．若变量y与x之间存在线性相关关系，且根据最小二乘法得到的经验回归方程为，样本点中心为，则样本点的残差为（ ）
A． B．1.5 C．0.5 D．
二、多选题
3．下列说法正确的是（ ）
A．若随机变量X服从正态分布，且，则
B．一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的下四分位数为18
C．若两个变量的线性相关系数越大，则这两个变量的线性相关性越强，反之，则越弱
D．对具有线性相关关系的变量x，y，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数m的值是
4．已知两个变量与对应关系如下表：
若与满足一元线性回归模型，且经验回归方程为，则（ ）
A．与正相关 B．
C．样本数据的第百分位数为 D．各组数据的残差和为
三、填空题
5．已知，之间的一组数据：若与满足经验回归方程，则此曲线必过点 .
x
y
6．两个线性相关变量与的统计数据如表：
9 9.5 10 10.5 11
11 10 8 6 5
其回归直线方程是，则相对应于点的残差为 ．
7．已知一系列样本点的一个经验回归方程为，若样本点的残差为1，则 ．
四、解答题
8．科技创新赋能高质量发展，某公司研发新产品投入x（单位：百万）与该产品的收益y（单位：百万）的5组统计数据如表所示（其中m为后期整理数据时导致数据缺失），且由该5组数据用最小二乘法得到的回归直线方程为．
x 5 6 8 9 12
y 16 20 25 28 m
(1)求m的值．
(2)若将表中的点去掉，样本相关系数r是否改变？说明你的理由．
参考公式：相关系数．
9．某种产品2014年到2018年的年投资金额（万元）与年利润（万元）的数据统计如下，由散点图知，与之间的关系可以用线性回归模型拟合，已知5年利润的平均值是4.7．
年份 2014 2015 2016 2017 2018
年投资金额万元 1 2 3 4 5
年利润万元 2.4 2.7 6.4 7.9
(1)求表中实数的值；
(2)求关于的线性回归方程．
参考公式：回归直线方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．
10．根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量y（百千克）与某种液体肥料每亩使用量x（千克）之间的对应数据的散点图，如图所示．
(1)依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请计算相关系数r并加以说明（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）；
(2)求y关于x的回归方程，并预测当液体肥料每亩使用量为10千克时，西红柿亩产量的增加量约为多少？
附：相关系数公式．
参考数据：
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为．
11．新冠肺炎疫情发生以来，中医药全面参与疫情防控救治，做出了重要贡献．某中医药企业根据市场调研与模拟，得到研发投入x（亿元）与产品收益y（亿元）的数据统计如下：
研发投入x（亿元） 1 2 3 4 5
产品收益y（亿元） 3 7 9 10 11
(1)计算x，y的相关系数r，并判断是否可以认为研发投入与产品收益具有较高的线性相关程度？（若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高）
(2)求出y关于x的线性回归方程，并预测研发投入20（亿元）时产品的收益．
参考数据：，，．
附：相关系数公式：，回归直线方程的斜率，截距．
12．如图是某采矿厂的污水排放量单位：吨与矿产品年产量单位：吨的折线图：
(1)依据折线图计算相关系数精确到，并据此判断是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合
(2)若可用线性回归模型拟合与的关系，请建立关于的线性回归方程，并预测年产量为10吨时的污水排放量．
相关公式：，参考数据：．
回归方程中，
13．某电脑公司有6名产品推销员，其工作年限与年推销金额数据如下表：
推销员编号 1 2 3 4 5
工作年限x/年 3 5 6 7 9
推销金额y/万元 2 3 3 4 5
（1）求年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程；
（2）若第6名推销员的工作年限为11年，试估计他的年推销金额．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为．
14．某商场对商品近天的销售情况进行整理，得到如下数据，经统计分析，日销售量(件)与时间(天)之间具有线性相关关系.
时间()
日销售量()
（1）请根据表格提供的数据，用最小二乘法原理求出关于的线性回归方程.
（2）已知商品近天内的日销售价格(元)与时间(天)的关系为.根据（1）中求出的线性回归方程，预测为何值时，商品的日销售额最大.
(参考公式，)
参考答案
题号 1 2 3 4
答案 D B AD AD
1．D
【分析】利用线性回归方程中的基本量即可判断选项A，利用正态分布的性质即可判断选项B，根据线性相关系数的性质即可判断选项C， 利用百分位数的定义即可判断选项D.
【详解】对A：样本点的中心为，所以，，
因为满足线性回归方程，所以，所以，A正确.
对B：若随机变量服从正态分布，且，
则，则，B正确；
对C：若线性相关系数越接近，则两个变量的线性相关性越强，C正确；
对于D，因为，所以第百分位数为，D错误；
故选：D.
2．B
【分析】先求出线性回归方程，再由残差的定义求解即可.
【详解】依题意，，所以，即经验回归方程为，
又当时，，所以样本点的残差为，
故选：B.
3．AD
【分析】根据正态曲线的性质求解即可判断A；根据百分位数的概念计算即可判断B；根据两个变量的线性相关系数的表示意义即可判断C；根据将中心代入线性回归方程计算即可判断D.
【详解】A：因为，所以，故A正确；
B：由题意，，所以该10个数据的下四分位数为第2个数和第3个数的平均数11，故B错误；
C：若两个变量的线性相关系数越接近于1，则这两个变量的线性相关性越强，所以C错误；
D：由题意，线性回归方程过样本点中心，所以，解得，故D正确.
故选：AD
4．AD
【分析】利用相关性的定义及线性回归直线可判断选项A；根据样本中心点在回归方程上可判断选项B；利用百分位数的计算可判断选项C；利用回归方程计算预测值可得残差即可判断选项D.
【详解】由回归直线方程知：，所以与正相关，故选项A正确；
由表格数据及回归方程易知，，解得，
故选项B错误；
易知，所以样本数据的第70百分位数为9，故选项C错误；
由回归直线方程知时对应的预测值分别为，，，，，对应残差分别为，，，，，显然残差之和为0，故选项D正确.
故选：AD.
5．
【分析】设，则，根据回归方程性质可得回归直线所过定点.
【详解】由已知，
设，则，
由回归直线性质可得在直线上，
又，，
所以点在直线上，故点在曲线上.
故答案为：.
6．0.2/
【分析】根据线性回归方程一定经过样本点中心，进而求解参数，再根据残差的计算公式即可得出答案.
【详解】，
所以样本点中心为，代入回归方程得:，解得，
所以回归方程为，当时，，
所以残差为:.
故答案为：.
7．
【分析】根据残差计算公式计算即可.
【详解】根据题意得，解得.
故答案为：.
8．(1)
(2)不变，理由见解析
【分析】（1）计算平均数得样本中心，即可代入求解，
（2）根据相关系数的计算公式即可求解.
【详解】（1）由题意可知，，，
所以样本中心为，将点代入，可得，解得．
（2）由（1）可得，样本中心为，所以，．
由相关系公式知，，将点去掉后，样本相关系数r不变
9．(1)；
(2)．
【分析】（1）由5年利润的平均值是4.7结合平均数公式求得值；
（2）由已知数据求得和的值，即可得到线性回归方程.
【详解】（1）由题意得，，解得
（2）由题意得，,，
，故，
则，
故所求线性回归方程为．
10．(1)，说明见解析
(2)；550千克
【分析】（1）根据散点图中的数据分别求得可得，，，，，进而求得相关系数，再与0.75比较下结论.
（2）结合（1）中的数据，分别求得，，写出回归方程，然后将代入求解.
【详解】（1）由已知数据可得，，
所以，
，
，
所以相关系数．
因为，所以可用线性回归模型拟合y与x的关系．
（2），，
所以回归方程为．
当时，．
即当液体肥料每亩使用量为10千克时，西红柿亩产量的增加量约为550千克
11．(1)，具有较高的线性相关程度
(2)，40.3亿元
【分析】(1)将已知数据代入相关系数公式计算即可得结论.
(2)求出回归直线方程，将代入线性回归方程计算即可.
【详解】（1）∵，，，
∴，
∴该中医药企业的研发投入x与产品收益y具有较高的线性相关程度．
（2）∵，
，
∴．
∴y关于x的线性回归方程为，
将代入线性回归方程可得，，
∴预测研发投入20（亿元）时产品的收益为40.3（亿元）．
12．(1)相关系数，可用线性回归模型拟合y与x的关系
(2)，吨
【分析】（1）代入数据，算出相关系数r，将其绝对值与比较，即可判断可用线性回归模型拟合y与x的关系．
（2）先求出回归方程，求出当时的值，即为预测值．
【详解】（1）由折线图得如下数据计算得：
，，，
所以相关系数，
因为，所以可用线性回归模型拟合y与x的关系
（2）
，
所以回归方程为，
当时，，
所以预测年产量为10吨时的污水排放量为吨
13．（1）；（2）5.9万元．
【分析】（1）根据表中的数据求出，，再利用公式可求出，，从而可求出推销金额y关于工作年限x的线性回归方程；
（2）将化入回归方程中求解即可
【详解】解（1）设所求的线性回归方程为，
，，
所以，
．
所以年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程为．
（2）当时，（万元）．
所以可以估计第6名推销员的年推销金额为5.9万元
14．（1）；（2）.
【分析】（1）借助公式算出每个参数即可得解；
（2）先求出日销售额，再根据分段函数分别算出每一段的最大值，比较大小，取整体最大值即可.
【详解】（1）根据题意，，
，
所以回归系数为：，，
故所求的线性回归方程为；
（2）由题意日销售额为；
当，时，，即当时，(元)；
当，时，，即当时，(元)，
综上所述，当时，(元)，
所以估计天时，商品的日销售额最大，为元.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)