第六章 计数原理 专题二 利用捆绑法和插空法求解相邻和不相邻问题 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第三册
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| 名称 | 第六章 计数原理 专题二 利用捆绑法和插空法求解相邻和不相邻问题 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第三册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 204.8KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-05-14 17:28:54 | ||
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文档简介
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计数原理 专题二 利用捆绑法和插空法求解相邻和不相邻问题 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第三册
一、单选题
1．甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排，在甲和乙相邻的条件下，丙和丁也相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．现将六个字母排成一排，要求相邻，且不相邻，则不同的排列方式有（ ）种．
A．192 B．240 C．120 D．28
3．武汉外校国庆节放7天假（10月1日至10月7日），马老师、张老师、姚老师被安排到校值班，每人至少值班两天，每天安排一人值班，同一人不连续值两天班，则不同的值班方法共有（ ）种
A．114 B．120 C．126 D．132
4．中国灯笼又统称为灯彩，是一种古老的传统工艺品.经过历代灯彩艺人的继承和发展，形成了丰富多彩的品种和高超的工艺水平，从种类上主要有宫灯、纱灯、吊灯等类型.现将4盏相同的宫灯、3盏不同的纱灯、2盏不同的吊灯挂成一排，要求吊灯挂两端，同一类型的灯笼至多2盏相邻挂，则不同挂法种数为（ ）
A．216 B．228 C．384 D．486
二、多选题
5．象棋作为一种古老的传统棋类益智游戏，具有深远的意义和价值．它具有红黑两种阵营，将、车、马炮、兵等均为象棋中的棋子．现将3个红色的“将”“车”“马”棋子与2个黑色的“将”“车”棋子排成一列，则下列说法正确的是（ ）
A．共有120种排列方式．
B．若两个“将”相邻，则有24种排列方式．
C．若两个“将”不相邻，则有36种排列方式．
D．若同色棋子不相邻，则有12种排列方式．
6．甲、乙、丙等人排成一列，下列说法正确的有（ ）
A．若甲和乙相邻，共有种排法 B．若甲不排第一个共有种排法
C．若甲与丙不相邻，共有种排法 D．若甲在乙的前面，共有种排法
7．某次宴会，有6荤4素2汤共十二道菜品在长桌上摆成一排，下列说法正确的是（ ）
A．两份汤相邻的摆法共有种
B．每道素菜不相邻的摆法共有种
C．若十二道菜品的顺序已经固定，现又上了四道主食，有种不同摆法
D．两汤不摆在首尾的摆法共有种
三、填空题
8．某班一天上午有语文、数学、政治、英语、历史5节课，现要安排该班上午的课程表，要求历史课不排在第一节，语文课和数学课相邻，不同的排法总数是 ．
9．将2个男生和4个女生排成一排，要求2个男生都不与女生甲相邻的排法有 种.
四、解答题
10．有5对夫妇和A，B共12人参加一场婚宴，他们被安排在一张有12个座位的圆桌上就餐（旋转之后算相同坐法），而后进行合影留念.
(1)就餐时，5对夫妇都相邻而坐，其中甲、乙二人的太太是闺蜜要相邻而坐，A，B不相邻，共有多少种坐法；
(2)合影时，若随机选择5人站成一排进行合影，求有且只有1对夫妇被选中且合影时相邻的概率．
11．2024龙年春节档新片《热辣滚烫》是一部充满正能量，讲述感人故事的电影，影片通过主人公杜乐莹的成长历程，让我们感受到了奋斗和坚持的力量，激励着每个人在面对困难时勇敢向前．现有4名男生和2名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果）
(1)女生互不相邻的坐法有多少种？
(2)若甲不坐最左端，乙不坐最右端，则不同排列方式共有多少种？
(3)若甲不坐在两端，乙和丙相邻，则不同排列方式共有多少种？
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 C A A A AD ACD BCD
1．C
【详解】甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排，甲和乙相邻的情况有：所有排列为：,
甲和乙相邻，丙和丁也相邻的情况有：,
所以在甲和乙相邻的条件下，丙和丁也相邻的概率为，
故选：C
2．A
【分析】先求出相邻时排列种数，再求出相邻，且在中间时排列种数，两种情况相减即可.
【详解】当相邻时，不同的排列方式有种，
当相邻，且在中间时，不同的排列方式有种，
则要求相邻，且不相邻，则不同的排列方式有种.
故选：A.
3．A
【分析】依据值班3天的为分类标准，逐类解决即可.
【详解】因为有三位老师值班7天，且每人至少值班两天，每天安排一人值班，同一人不连续值两天班，
所以必有一人值班3天，另两人各值班2天.
第一类：值班3天在、、、、、时，共有种不同的值班方法；
第二类：值班3天在、时，共有种不同的值班方法；
第三类：值班3天在时，共有种不同的值班方法；
第四类：值班3天在时，共有种不同的值班方法；
综上可知三位老师在国庆节7天假期共有种不同的值班方法.
故选：A
4．A
【分析】先在两端挂2盏吊灯，再在2盏吊灯之间挂3盏纱灯，求出其挂法，最后将宫灯插空挂，考虑宫灯的分组情况，结合分步以及分类计数原理，即可求得答案.
【详解】先挂2盏吊灯有种挂法，再在2盏吊灯之间挂3盏纱灯有种挂法，
最后将宫灯插空挂.
当4盏宫灯分成2，2两份插空时有种挂法；
当4盏宫灯分成1，1，2三份插空时有种挂法；
当4盏宫灯分成1，1，1，1四份插空时有1种挂法，
所以共有种不同的挂法.
故选：A
5．AD
【分析】A选项，由全排列知识进行求解，B选项，相邻问题进行捆绑，再由排列知识求出答案；C选项，不相邻问题插空法进行求解；D选项，先将2个黑色的棋子进行全排列，再插空即可.
【详解】A选项，由排列知识可得共有种排列方式，故A正确；
B选项，两个“将”捆绑，有种情况，再和剩余的3个棋子进行全排列，
故共有种情况，故B错误；
C选项，两个“将”不相邻，先将剩余3个棋子进行全排列，共有4个空，
再将两个“将”插空，故共有种情况，故C错误；
D选项，将2个黑色的棋子进行全排列，共有3个空，
再将3个红色的棋子进行插空，则有种排列方式，故D正确.
故选：AD.
6．ACD
【分析】利用捆绑法可判断A选项；利用特殊元素优先可判断B选项；利用插空法可判断C选项；利用组合法可判断D选项.
【详解】甲、乙、丙等人排成一列，
对于A选项，若甲和乙相邻，将甲和乙捆绑，形成一个大元素，与其余四个元素排序，
共有种排法，A对；
对于B选项，若甲不排第一个，则甲有种排法，其余个人全排，
共有种，B错；
对于C选项，若甲与丙不相邻，将除甲和丙以外的人全排，
然后将甲与丙插入人所形成的个空中的个空，
所以，共有种排法，C对；
对于D选项，若甲在乙的前面，只需在个位置中先选两个位置排甲、乙，且甲排在乙的前面，
然后将其余个人全排，共有种排法，D对.
故选：ACD.
7．BCD
【分析】利用捆绑判断A，利用插空法判断B，利用定序倍缩法判断C，利用特殊位置法判断D，从而得解.
【详解】对于A，先将两份汤捆绑在一起，再与其余十道菜品排列在一起，
共有种摆法，故A错误；
对于B，先将6荤2汤共八道菜品进行排列，再将4道素菜插空，
共有种摆法，故B正确；
对于C，先将十六道菜品进行排列，有种摆法，其中十二道菜品的顺序固定，
所以有（种）不同摆法，故C正确；
对于D，将12道菜看成10个空，去掉首尾后还有10个空，
在其中任选两个空将两个汤品放进去，
再将十道菜品排列到剩余的10个空中，共有种摆法，故D正确.
故选：BCD.
8．
【分析】应用排列、组合数，结合捆绑、插空法及分步原理求不同的排法总数.
【详解】将语文课和数学课作排列有种，
再把语文课和数学课作为整体，与除历史课外的其它2节课作全排列有种，
由上得到4个空，最后把历史课插入后3个空有种，
综上，共有种.
故答案为：
9．288
【分析】先将除甲外其它3个女生排一排，再分两种情况：若2个男生与女生甲排一起，再插入4空中的1个、若2个男生中的一个与女生甲排一起，再和另一个男生插入4空中的2个，最后应用分步分类计数、间接法求2个男生都不与女生甲相邻的排法.
【详解】先将除甲外其它3个女生排一排有种，共有4个空，
若2个男生与女生甲排一起有种，再将他们插入上述4个空中的一个有种，
此时，共有种；
若2个男生中的一个与女生甲排一起有种，再将他们和另一个男生插入上述4个空中的两个有种，
此时，共有种；
又6个人做全排列有种，故2个男生都不与女生甲相邻的排法有种.
故答案为：
10．(1)1152种
(2)
【分析】（1）先排甲、乙二人的太太及这两对夫妇，再排余下3对夫妇，最后用插空法排，，借助分步乘法计数原理计算即得.
（2）有且只有1对夫妇被选中且合影时相邻，分都被选中，只有一个被选中，都没被选中，三种情况，再按古典概型求概率.
【详解】（1）分成三步来完成第一步，排甲、乙二人的太太的座位，有2种坐法，
甲、乙二人的座位也随之确定；
第二步，排其余3对夫妇的座位，有种坐法；
第三步，排，，二人的座位，有种坐法，
根据分步乘法计数原理，共有种坐法.
（2）若随机选择5人站成一排进行合影，有种，
有且只有1对夫妇被选中且合影时相邻，
分为：当都被选中，有种，
当只有一个被选中，有种，
当都没被选中，有种，
则概率为：.
11．(1)480
(2)504
(3)144
【分析】（1）插空法求解不相邻问题；
（2）直接法及间接法计算特殊位置问题；
（3）直接法及间接法计算相邻问题.
【详解】（1）不相邻问题插空法，先排4个男生共有种方法，把2个女生插空有种方法，所以不同排列方式共有种：
（2）方法一：“间接法”，不同排列方式共有种
方法二：“直接法”，一类甲坐最右端，有种坐法：另一类甲坐中间四个位置中的一个，有种坐法．故有种不同坐法．
（3）方法一：共有6个位置，因为甲不坐在两端，所以甲有4种坐法，
当甲确定时，要求乙和丙相邻，共有3种可能，
所以不同排列方式共有种．
方法二：第一步乙、丙相邻共有种方法，第二步乙、丙与余下的三人全排列共有种方法，第三步把甲插入到中间的3个空挡，有种方法，故共有种不同的坐法．
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计数原理 专题二 利用捆绑法和插空法求解相邻和不相邻问题 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第三册
一、单选题
1．甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排，在甲和乙相邻的条件下，丙和丁也相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．现将六个字母排成一排，要求相邻，且不相邻，则不同的排列方式有（ ）种．
A．192 B．240 C．120 D．28
3．武汉外校国庆节放7天假（10月1日至10月7日），马老师、张老师、姚老师被安排到校值班，每人至少值班两天，每天安排一人值班，同一人不连续值两天班，则不同的值班方法共有（ ）种
A．114 B．120 C．126 D．132
4．中国灯笼又统称为灯彩，是一种古老的传统工艺品.经过历代灯彩艺人的继承和发展，形成了丰富多彩的品种和高超的工艺水平，从种类上主要有宫灯、纱灯、吊灯等类型.现将4盏相同的宫灯、3盏不同的纱灯、2盏不同的吊灯挂成一排，要求吊灯挂两端，同一类型的灯笼至多2盏相邻挂，则不同挂法种数为（ ）
A．216 B．228 C．384 D．486
二、多选题
5．象棋作为一种古老的传统棋类益智游戏，具有深远的意义和价值．它具有红黑两种阵营，将、车、马炮、兵等均为象棋中的棋子．现将3个红色的“将”“车”“马”棋子与2个黑色的“将”“车”棋子排成一列，则下列说法正确的是（ ）
A．共有120种排列方式．
B．若两个“将”相邻，则有24种排列方式．
C．若两个“将”不相邻，则有36种排列方式．
D．若同色棋子不相邻，则有12种排列方式．
6．甲、乙、丙等人排成一列，下列说法正确的有（ ）
A．若甲和乙相邻，共有种排法 B．若甲不排第一个共有种排法
C．若甲与丙不相邻，共有种排法 D．若甲在乙的前面，共有种排法
7．某次宴会，有6荤4素2汤共十二道菜品在长桌上摆成一排，下列说法正确的是（ ）
A．两份汤相邻的摆法共有种
B．每道素菜不相邻的摆法共有种
C．若十二道菜品的顺序已经固定，现又上了四道主食，有种不同摆法
D．两汤不摆在首尾的摆法共有种
三、填空题
8．某班一天上午有语文、数学、政治、英语、历史5节课，现要安排该班上午的课程表，要求历史课不排在第一节，语文课和数学课相邻，不同的排法总数是 ．
9．将2个男生和4个女生排成一排，要求2个男生都不与女生甲相邻的排法有 种.
四、解答题
10．有5对夫妇和A，B共12人参加一场婚宴，他们被安排在一张有12个座位的圆桌上就餐（旋转之后算相同坐法），而后进行合影留念.
(1)就餐时，5对夫妇都相邻而坐，其中甲、乙二人的太太是闺蜜要相邻而坐，A，B不相邻，共有多少种坐法；
(2)合影时，若随机选择5人站成一排进行合影，求有且只有1对夫妇被选中且合影时相邻的概率．
11．2024龙年春节档新片《热辣滚烫》是一部充满正能量，讲述感人故事的电影，影片通过主人公杜乐莹的成长历程，让我们感受到了奋斗和坚持的力量，激励着每个人在面对困难时勇敢向前．现有4名男生和2名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果）
(1)女生互不相邻的坐法有多少种？
(2)若甲不坐最左端，乙不坐最右端，则不同排列方式共有多少种？
(3)若甲不坐在两端，乙和丙相邻，则不同排列方式共有多少种？
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 C A A A AD ACD BCD
1．C
【详解】甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排，甲和乙相邻的情况有：所有排列为：,
甲和乙相邻，丙和丁也相邻的情况有：,
所以在甲和乙相邻的条件下，丙和丁也相邻的概率为，
故选：C
2．A
【分析】先求出相邻时排列种数，再求出相邻，且在中间时排列种数，两种情况相减即可.
【详解】当相邻时，不同的排列方式有种，
当相邻，且在中间时，不同的排列方式有种，
则要求相邻，且不相邻，则不同的排列方式有种.
故选：A.
3．A
【分析】依据值班3天的为分类标准，逐类解决即可.
【详解】因为有三位老师值班7天，且每人至少值班两天，每天安排一人值班，同一人不连续值两天班，
所以必有一人值班3天，另两人各值班2天.
第一类：值班3天在、、、、、时，共有种不同的值班方法；
第二类：值班3天在、时，共有种不同的值班方法；
第三类：值班3天在时，共有种不同的值班方法；
第四类：值班3天在时，共有种不同的值班方法；
综上可知三位老师在国庆节7天假期共有种不同的值班方法.
故选：A
4．A
【分析】先在两端挂2盏吊灯，再在2盏吊灯之间挂3盏纱灯，求出其挂法，最后将宫灯插空挂，考虑宫灯的分组情况，结合分步以及分类计数原理，即可求得答案.
【详解】先挂2盏吊灯有种挂法，再在2盏吊灯之间挂3盏纱灯有种挂法，
最后将宫灯插空挂.
当4盏宫灯分成2，2两份插空时有种挂法；
当4盏宫灯分成1，1，2三份插空时有种挂法；
当4盏宫灯分成1，1，1，1四份插空时有1种挂法，
所以共有种不同的挂法.
故选：A
5．AD
【分析】A选项，由全排列知识进行求解，B选项，相邻问题进行捆绑，再由排列知识求出答案；C选项，不相邻问题插空法进行求解；D选项，先将2个黑色的棋子进行全排列，再插空即可.
【详解】A选项，由排列知识可得共有种排列方式，故A正确；
B选项，两个“将”捆绑，有种情况，再和剩余的3个棋子进行全排列，
故共有种情况，故B错误；
C选项，两个“将”不相邻，先将剩余3个棋子进行全排列，共有4个空，
再将两个“将”插空，故共有种情况，故C错误；
D选项，将2个黑色的棋子进行全排列，共有3个空，
再将3个红色的棋子进行插空，则有种排列方式，故D正确.
故选：AD.
6．ACD
【分析】利用捆绑法可判断A选项；利用特殊元素优先可判断B选项；利用插空法可判断C选项；利用组合法可判断D选项.
【详解】甲、乙、丙等人排成一列，
对于A选项，若甲和乙相邻，将甲和乙捆绑，形成一个大元素，与其余四个元素排序，
共有种排法，A对；
对于B选项，若甲不排第一个，则甲有种排法，其余个人全排，
共有种，B错；
对于C选项，若甲与丙不相邻，将除甲和丙以外的人全排，
然后将甲与丙插入人所形成的个空中的个空，
所以，共有种排法，C对；
对于D选项，若甲在乙的前面，只需在个位置中先选两个位置排甲、乙，且甲排在乙的前面，
然后将其余个人全排，共有种排法，D对.
故选：ACD.
7．BCD
【分析】利用捆绑判断A，利用插空法判断B，利用定序倍缩法判断C，利用特殊位置法判断D，从而得解.
【详解】对于A，先将两份汤捆绑在一起，再与其余十道菜品排列在一起，
共有种摆法，故A错误；
对于B，先将6荤2汤共八道菜品进行排列，再将4道素菜插空，
共有种摆法，故B正确；
对于C，先将十六道菜品进行排列，有种摆法，其中十二道菜品的顺序固定，
所以有（种）不同摆法，故C正确；
对于D，将12道菜看成10个空，去掉首尾后还有10个空，
在其中任选两个空将两个汤品放进去，
再将十道菜品排列到剩余的10个空中，共有种摆法，故D正确.
故选：BCD.
8．
【分析】应用排列、组合数，结合捆绑、插空法及分步原理求不同的排法总数.
【详解】将语文课和数学课作排列有种，
再把语文课和数学课作为整体，与除历史课外的其它2节课作全排列有种，
由上得到4个空，最后把历史课插入后3个空有种，
综上，共有种.
故答案为：
9．288
【分析】先将除甲外其它3个女生排一排，再分两种情况：若2个男生与女生甲排一起，再插入4空中的1个、若2个男生中的一个与女生甲排一起，再和另一个男生插入4空中的2个，最后应用分步分类计数、间接法求2个男生都不与女生甲相邻的排法.
【详解】先将除甲外其它3个女生排一排有种，共有4个空，
若2个男生与女生甲排一起有种，再将他们插入上述4个空中的一个有种，
此时，共有种；
若2个男生中的一个与女生甲排一起有种，再将他们和另一个男生插入上述4个空中的两个有种，
此时，共有种；
又6个人做全排列有种，故2个男生都不与女生甲相邻的排法有种.
故答案为：
10．(1)1152种
(2)
【分析】（1）先排甲、乙二人的太太及这两对夫妇，再排余下3对夫妇，最后用插空法排，，借助分步乘法计数原理计算即得.
（2）有且只有1对夫妇被选中且合影时相邻，分都被选中，只有一个被选中，都没被选中，三种情况，再按古典概型求概率.
【详解】（1）分成三步来完成第一步，排甲、乙二人的太太的座位，有2种坐法，
甲、乙二人的座位也随之确定；
第二步，排其余3对夫妇的座位，有种坐法；
第三步，排，，二人的座位，有种坐法，
根据分步乘法计数原理，共有种坐法.
（2）若随机选择5人站成一排进行合影，有种，
有且只有1对夫妇被选中且合影时相邻，
分为：当都被选中，有种，
当只有一个被选中，有种，
当都没被选中，有种，
则概率为：.
11．(1)480
(2)504
(3)144
【分析】（1）插空法求解不相邻问题；
（2）直接法及间接法计算特殊位置问题；
（3）直接法及间接法计算相邻问题.
【详解】（1）不相邻问题插空法，先排4个男生共有种方法，把2个女生插空有种方法，所以不同排列方式共有种：
（2）方法一：“间接法”，不同排列方式共有种
方法二：“直接法”，一类甲坐最右端，有种坐法：另一类甲坐中间四个位置中的一个，有种坐法．故有种不同坐法．
（3）方法一：共有6个位置，因为甲不坐在两端，所以甲有4种坐法，
当甲确定时，要求乙和丙相邻，共有3种可能，
所以不同排列方式共有种．
方法二：第一步乙、丙相邻共有种方法，第二步乙、丙与余下的三人全排列共有种方法，第三步把甲插入到中间的3个空挡，有种方法，故共有种不同的坐法．
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