第六章 计数原理 专题三 利用消序法和隔板法求解平均分组分配和不定方程的正整数解组数问题 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第三册
文档属性
| 名称 | 第六章 计数原理 专题三 利用消序法和隔板法求解平均分组分配和不定方程的正整数解组数问题 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第三册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 310.4KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-05-14 17:28:54 | ||
图片预览
文档简介
中小学教育资源及组卷应用平台
计数原理 专题三 利用消序法和隔板法求解
平均分组分配和不定方程的正整数解组数问题
2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第三册
一、单选题
1．若将4名志愿者分配到3个服务点参加抗疫工作，每人只去1个服务点，每个服务点至少安排1人，则不同的安排方法共有（ ）
A．36种 B．48种 C．96种 D．108种
2．方程的非负整数解个数为（ ）．
A．220 B．120 C．84 D．24
3．把分别写有1，2，3，4，5，6的六张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，若分得的卡片超过一张，则必须是连号，那么不同的分法种数为（ ）
A．60 B．36 C．30 D．12
二、多选题
4．下列说法正确的为（ ）
A．6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，有种不同的分法
B．6本不同的书分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本，有种不同的分法
C．6本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有10种不同的分法
D．6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有450种不同的分法
5．现有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（ ）
A．分给甲、乙两人，每人3本，有20种分法
B．分给甲、乙两人，一人4本，一人2本，有60种分法
C．分给甲、乙每人各2本，分给丙、丁每人各1本，有180种分法
D．分给甲、乙、丙、丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有2160种分法
6．2023宿迁马拉松赛事设置全程马拉松、半程马拉松和欢乐跑（5.5公里）三个项目，每个项目均设置4000个参赛名额．在宿大学生踊跃参加志愿服务，现有甲、乙等5名大学生志愿者，通过培训后，拟安排在全程马拉松、半程马拉松和欢乐跑（5.5公里）三个项目进行志愿者活动，则下列说法正确的是（ ）
A．若全程马拉松项目必须安排3人，其余两项各安排1人，则有20种不同的分配方案
B．若每个比赛项目至少安排1人，且每人均被安排，则有150种不同的分配方案
C．安排这5人排成一排拍照，若甲、乙相邻，则有42种不同的站法
D．已知这5人的身高各不相同，若安排5人拍照，前排2人，后排3人，且后排3人中身高最高的站中间，则有40种不同的站法
7．有方程，试讨论有序数对解的个数．下列分析正确的是（ ）
A．若，，均为正整数，则解的个数为
B．若，，均为非负整数，则解的个数为
C．若，，均为正整数，且，，两两不等，则解的个数为341044
D．若，，均为正整数且满足，则解的个数为341044
三、填空题
8．某年级将甲、乙、丙三位体育老师分配到 5 个不同班级指导学生体育活动，要求每位体育老师至少指导一个班级，每个班级只有一位体育老师指导，则不同的分配方案有 种．
9．某环保局派遣包括张三，李四，王五在内的12名工作人员到A，B，C三个镇开展环境保护的宣传工作，每个镇至少派遣3人，因工作需要，张三，李四，王五3人要派遣到同一个镇，则不同的派遣方案共有 种．（结果用数字表示）
四、解答题
10．某火车站共设有4个安检入口，每个入口每次只能进入1位乘客，求一个4人小组进站的不同方案种数．
11．（1）将个不同的小球放入个不同的盒子中，没有空盒子，共有多少种不同的放法
（2）将个不同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，共有多少种不同的放法
（3）将个相同的小球放入个不同的盒子中，没有空盒子，共有多少种不同的放法
（4）将个相同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，共有多少种不同的放法
（注：要写出算式，结果用数字表示）
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 A A A ABC AC ABD ABD
1．A
【分析】利用分组分配方法求解即可.
【详解】将4个人分成3个组有种方法，
再将3个组分配到3个服务点有种方法，
故选:A.
2．A
【分析】将问题转化为：将排成一列的13个完全相同的小球分成部分，利用隔板法即可得解.
【详解】依题意，可知为非负整数，
因为，
所以，
从而将问题转化为：将排成一列的13个完全相同的小球分成部分，每部分至少一个球，
一共有12个间隔，利用4个隔板插入即可，故共有种.
故选：A
3．A
【分析】分析可知原题意相当于将，，，，，这六个数用两个隔板隔开，在五个空位插上两个隔板，再对应到具体三个人，利用隔板法分析求解.
【详解】先将卡片分为符合条件的三份，
由题意知：三人分六张卡片，且每人至少一张，至多四张，
若分得的卡片超过一张，则必须是连号，
相当于将，，，，，这六个数用两个隔板隔开，在五个空位插上两个隔板，共种情况，
再对应到三个人有种情况，则共有种法.
故选：A．
4．ABC
【分析】根据给定条件，利用分组分配的方法，列式判断AB；利用隔板法计算判断C；利用分类加法计数原理列式计算判断D.
【详解】对于A，6本不同的书分给甲、乙、丙三人，先取2本给甲，再从余下4本中取2本给乙，最后2本给丙，
不同分法有种，A正确；
对于B，把6本不同的书按分成3组有种方法，再分给甲、乙、丙三人有种方法，
不同分法种数是，B正确；
对于C，6本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，相当于把6本相同的书排成一排，中间形成5个间隙，
取两块隔板插入两个间隙，把6本书分成3部分，分给甲、乙、丙三人的不同分法数为，C正确；
对于D，6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，可以有3类办法，每人2本有种，
一人1本，一人2本，一人3本有种，一人4本，另两人各一本有种，
所以6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本的不同分法数是：
，D错误.
故选：ABC
5．AC
【分析】利用平均分配和部分平均分配原则，按选项要求一一计算可判定选项.
【详解】先从6本书中分给甲3本有种，剩3本给乙，所以共有种分法，故A正确；
先把6本书分成2组，有种，再分别给甲、乙两人，共有种分法，故B错误；
6本不同的书先分给甲、乙每人各2本，有种分法；其余2本分给丙、丁，有种分法．
所以不同的分配方法有种，故C正确；
先把6本不同的书分成4组：2本、2本、1本、1本，有种分法；
再分给甲、乙、丙、丁四人，所以不同的分配方法有种，故D错误．
故选：AC.
6．ABD
【分析】根据先分组再排列结合分步乘法原理和分类加法原理分别计算各个选项即可求解.
【详解】对于A，先从5人中选3人安排到全程马拉松项目，有种方法，
然后剩下2人安排到其余两个项目，每个项目安排1人，有（种），
则由分步乘法计数原理可知共有种分配方案，所以A正确．
对于B，将5个人分成3组，且每组至少1人，有两种分法，
分别为1，1，3和1，2，2，若为1，1，3，则不同的分配方案有（种）；
若为1，2，2，则不同的分配方案有（种），
所以由分类加法计数原理可知，共有种不同的分配方案，所以B正确．
对于C，先将甲、乙捆绑在一起看成一个整体，再与剩下的3人进行全排列，
所以不同的站法有（种），所以C错误．
对于D，先选2人站前排有（种），
然后剩下3人中身高最高的站后排的中间，剩下2人站后排两边有（种），
所以由分步乘法计数原理可知共有种不同的站法，所以D正确．
故选:ABD．
7．ABD
【分析】AB可转化为排列组合问题用档板法可得；C选项可先求，，相等时的解个数，再用排除法可得；D选项分为由相等和不相等并且的不同的类，利用分类加法可得.
【详解】选项A：因，，均为正整数，
则解的个数相当于把个用两个档板分成3份，分别对应，，，
所以解的个数为，故A正确；
选项B： 由得，
因，，均为非负整数，所以，，均为正整数，
与一一对应，
相当于把个用两个档板分成3份，分别对应，，，
所以解的个数为，故B正确；
C选项：因，，均为正整数，，
若，则，不满足为正整数，
故，，至多有两个相等，
若，则,故的取值为从到的整数，共个，
所以，，有两个相等时的个数为个，
故，，两两不等时，解的个数为个，故C错误；
选项D：若，，均为正整数且满足，
当时，因，
所以，得，即，
所以的取值为从1到的整数，共674个，
此时的个数为674个.
当时，因，
所以，得，即，
因取正整数，所以的取值为从1到的奇数，共337个，
此时的个数为337个.
当时，
个用两个隔板分成3份，将其从小到大，分别对应，，，
有
共有，故D正确.
故选：ABD
8．150
【分析】先将5个班级分组，再进行分配即可.
【详解】将5个班级分成三组，有和两种类型，
故有种不同的分配方案.
故答案为：150.
9．
【分析】分类讨论人员的分组情况并依次求出对应的不同分组方法数，再将各组安排到三个镇，结合排列组合数及分类分步计数求不同的派遣方案数.
【详解】先分类讨论人员分组情况：
当张三 李四 王五所在组恰有3人时，余下9人分成2组，有210种方法；
当张三 李四 王五所在组恰有4人时，先从其他9人中选1人到这组，再将余下8人分成2组，有种方法；
当张三 李四 王五所在组恰有5人时，先从其他9人中选2人到这组，余下7人分成2组，有种方法；
当张三 李四 王五所在组恰有6人时，先从其他9人中选3人到这组，余下6人分成2组，有种方法．
再将三组人员分配到三个镇：
因为这三组分配到三个地区有种方法，
所以安排方法总数为．
故答案为：
10．840
【分析】利用隔板法和分步计数原理可求答案.
【详解】设4名乘客中分别有，，，个人在第1个、第2个、第3个、第4个安检口通过，则，
即问题转化为求方程的非负整数解的组数，
，于是问题转化为正整数，，，，
满足，则不同的有序实数对有多少种可能．
于是把8个1排成1列，放入3个隔板即可，共有种情况，
每一种进站情况的4个位置由4个人去站有种方法，
由分步乘法计数原理得不同的进站方案有种，
所以一个4人小组进站的不同方案种数是840种．
11．（1）；（2）；（3）；（4）.
【分析】（1）先将个不同的小球分为三组，确定每组小球的数量，然后将三组小球放入三个盒子，结合分步计数原理可得结果；
（2）确定每个小球的放法种数，利用分步乘法计数原理可得结果；
（3）只需在个相同的小球中间所形成的个空位中插入块板即可，利用隔板法可求得结果；
（4）问题等价于在个相同的小球中间所形成的个空位中插入块板即可，利用隔板法可求得结果.
【详解】解：（1）将个不同的小球分为三组，每组的小球数量分别为、、或、、，
然后再将这三组小球放入三个盒子中，
因此，不同的放法种数为种；
（2）每个小球有种方法，由分步乘法计数原理可知，
将个不同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，不同的放法种数为种；
（3）将个相同的小球放入个不同的盒子中，没有空盒子，
只需在个相同的小球中间所形成的个空位中插入块板即可，
所以，不同的放法种数为种；
（4）将个相同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，
等价于将个相同的小球放入个不同的盒子中，每个盒子不空，
只需在个相同的小球中间所形成的个空位中插入块板即可，
所以，不同的放法种数为种.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
计数原理 专题三 利用消序法和隔板法求解
平均分组分配和不定方程的正整数解组数问题
2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第三册
一、单选题
1．若将4名志愿者分配到3个服务点参加抗疫工作，每人只去1个服务点，每个服务点至少安排1人，则不同的安排方法共有（ ）
A．36种 B．48种 C．96种 D．108种
2．方程的非负整数解个数为（ ）．
A．220 B．120 C．84 D．24
3．把分别写有1，2，3，4，5，6的六张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，若分得的卡片超过一张，则必须是连号，那么不同的分法种数为（ ）
A．60 B．36 C．30 D．12
二、多选题
4．下列说法正确的为（ ）
A．6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，有种不同的分法
B．6本不同的书分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本，有种不同的分法
C．6本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有10种不同的分法
D．6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有450种不同的分法
5．现有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（ ）
A．分给甲、乙两人，每人3本，有20种分法
B．分给甲、乙两人，一人4本，一人2本，有60种分法
C．分给甲、乙每人各2本，分给丙、丁每人各1本，有180种分法
D．分给甲、乙、丙、丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有2160种分法
6．2023宿迁马拉松赛事设置全程马拉松、半程马拉松和欢乐跑（5.5公里）三个项目，每个项目均设置4000个参赛名额．在宿大学生踊跃参加志愿服务，现有甲、乙等5名大学生志愿者，通过培训后，拟安排在全程马拉松、半程马拉松和欢乐跑（5.5公里）三个项目进行志愿者活动，则下列说法正确的是（ ）
A．若全程马拉松项目必须安排3人，其余两项各安排1人，则有20种不同的分配方案
B．若每个比赛项目至少安排1人，且每人均被安排，则有150种不同的分配方案
C．安排这5人排成一排拍照，若甲、乙相邻，则有42种不同的站法
D．已知这5人的身高各不相同，若安排5人拍照，前排2人，后排3人，且后排3人中身高最高的站中间，则有40种不同的站法
7．有方程，试讨论有序数对解的个数．下列分析正确的是（ ）
A．若，，均为正整数，则解的个数为
B．若，，均为非负整数，则解的个数为
C．若，，均为正整数，且，，两两不等，则解的个数为341044
D．若，，均为正整数且满足，则解的个数为341044
三、填空题
8．某年级将甲、乙、丙三位体育老师分配到 5 个不同班级指导学生体育活动，要求每位体育老师至少指导一个班级，每个班级只有一位体育老师指导，则不同的分配方案有 种．
9．某环保局派遣包括张三，李四，王五在内的12名工作人员到A，B，C三个镇开展环境保护的宣传工作，每个镇至少派遣3人，因工作需要，张三，李四，王五3人要派遣到同一个镇，则不同的派遣方案共有 种．（结果用数字表示）
四、解答题
10．某火车站共设有4个安检入口，每个入口每次只能进入1位乘客，求一个4人小组进站的不同方案种数．
11．（1）将个不同的小球放入个不同的盒子中，没有空盒子，共有多少种不同的放法
（2）将个不同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，共有多少种不同的放法
（3）将个相同的小球放入个不同的盒子中，没有空盒子，共有多少种不同的放法
（4）将个相同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，共有多少种不同的放法
（注：要写出算式，结果用数字表示）
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 A A A ABC AC ABD ABD
1．A
【分析】利用分组分配方法求解即可.
【详解】将4个人分成3个组有种方法，
再将3个组分配到3个服务点有种方法，
故选:A.
2．A
【分析】将问题转化为：将排成一列的13个完全相同的小球分成部分，利用隔板法即可得解.
【详解】依题意，可知为非负整数，
因为，
所以，
从而将问题转化为：将排成一列的13个完全相同的小球分成部分，每部分至少一个球，
一共有12个间隔，利用4个隔板插入即可，故共有种.
故选：A
3．A
【分析】分析可知原题意相当于将，，，，，这六个数用两个隔板隔开，在五个空位插上两个隔板，再对应到具体三个人，利用隔板法分析求解.
【详解】先将卡片分为符合条件的三份，
由题意知：三人分六张卡片，且每人至少一张，至多四张，
若分得的卡片超过一张，则必须是连号，
相当于将，，，，，这六个数用两个隔板隔开，在五个空位插上两个隔板，共种情况，
再对应到三个人有种情况，则共有种法.
故选：A．
4．ABC
【分析】根据给定条件，利用分组分配的方法，列式判断AB；利用隔板法计算判断C；利用分类加法计数原理列式计算判断D.
【详解】对于A，6本不同的书分给甲、乙、丙三人，先取2本给甲，再从余下4本中取2本给乙，最后2本给丙，
不同分法有种，A正确；
对于B，把6本不同的书按分成3组有种方法，再分给甲、乙、丙三人有种方法，
不同分法种数是，B正确；
对于C，6本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，相当于把6本相同的书排成一排，中间形成5个间隙，
取两块隔板插入两个间隙，把6本书分成3部分，分给甲、乙、丙三人的不同分法数为，C正确；
对于D，6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，可以有3类办法，每人2本有种，
一人1本，一人2本，一人3本有种，一人4本，另两人各一本有种，
所以6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本的不同分法数是：
，D错误.
故选：ABC
5．AC
【分析】利用平均分配和部分平均分配原则，按选项要求一一计算可判定选项.
【详解】先从6本书中分给甲3本有种，剩3本给乙，所以共有种分法，故A正确；
先把6本书分成2组，有种，再分别给甲、乙两人，共有种分法，故B错误；
6本不同的书先分给甲、乙每人各2本，有种分法；其余2本分给丙、丁，有种分法．
所以不同的分配方法有种，故C正确；
先把6本不同的书分成4组：2本、2本、1本、1本，有种分法；
再分给甲、乙、丙、丁四人，所以不同的分配方法有种，故D错误．
故选：AC.
6．ABD
【分析】根据先分组再排列结合分步乘法原理和分类加法原理分别计算各个选项即可求解.
【详解】对于A，先从5人中选3人安排到全程马拉松项目，有种方法，
然后剩下2人安排到其余两个项目，每个项目安排1人，有（种），
则由分步乘法计数原理可知共有种分配方案，所以A正确．
对于B，将5个人分成3组，且每组至少1人，有两种分法，
分别为1，1，3和1，2，2，若为1，1，3，则不同的分配方案有（种）；
若为1，2，2，则不同的分配方案有（种），
所以由分类加法计数原理可知，共有种不同的分配方案，所以B正确．
对于C，先将甲、乙捆绑在一起看成一个整体，再与剩下的3人进行全排列，
所以不同的站法有（种），所以C错误．
对于D，先选2人站前排有（种），
然后剩下3人中身高最高的站后排的中间，剩下2人站后排两边有（种），
所以由分步乘法计数原理可知共有种不同的站法，所以D正确．
故选:ABD．
7．ABD
【分析】AB可转化为排列组合问题用档板法可得；C选项可先求，，相等时的解个数，再用排除法可得；D选项分为由相等和不相等并且的不同的类，利用分类加法可得.
【详解】选项A：因，，均为正整数，
则解的个数相当于把个用两个档板分成3份，分别对应，，，
所以解的个数为，故A正确；
选项B： 由得，
因，，均为非负整数，所以，，均为正整数，
与一一对应，
相当于把个用两个档板分成3份，分别对应，，，
所以解的个数为，故B正确；
C选项：因，，均为正整数，，
若，则，不满足为正整数，
故，，至多有两个相等，
若，则,故的取值为从到的整数，共个，
所以，，有两个相等时的个数为个，
故，，两两不等时，解的个数为个，故C错误；
选项D：若，，均为正整数且满足，
当时，因，
所以，得，即，
所以的取值为从1到的整数，共674个，
此时的个数为674个.
当时，因，
所以，得，即，
因取正整数，所以的取值为从1到的奇数，共337个，
此时的个数为337个.
当时，
个用两个隔板分成3份，将其从小到大，分别对应，，，
有
共有，故D正确.
故选：ABD
8．150
【分析】先将5个班级分组，再进行分配即可.
【详解】将5个班级分成三组，有和两种类型，
故有种不同的分配方案.
故答案为：150.
9．
【分析】分类讨论人员的分组情况并依次求出对应的不同分组方法数，再将各组安排到三个镇，结合排列组合数及分类分步计数求不同的派遣方案数.
【详解】先分类讨论人员分组情况：
当张三 李四 王五所在组恰有3人时，余下9人分成2组，有210种方法；
当张三 李四 王五所在组恰有4人时，先从其他9人中选1人到这组，再将余下8人分成2组，有种方法；
当张三 李四 王五所在组恰有5人时，先从其他9人中选2人到这组，余下7人分成2组，有种方法；
当张三 李四 王五所在组恰有6人时，先从其他9人中选3人到这组，余下6人分成2组，有种方法．
再将三组人员分配到三个镇：
因为这三组分配到三个地区有种方法，
所以安排方法总数为．
故答案为：
10．840
【分析】利用隔板法和分步计数原理可求答案.
【详解】设4名乘客中分别有，，，个人在第1个、第2个、第3个、第4个安检口通过，则，
即问题转化为求方程的非负整数解的组数，
，于是问题转化为正整数，，，，
满足，则不同的有序实数对有多少种可能．
于是把8个1排成1列，放入3个隔板即可，共有种情况，
每一种进站情况的4个位置由4个人去站有种方法，
由分步乘法计数原理得不同的进站方案有种，
所以一个4人小组进站的不同方案种数是840种．
11．（1）；（2）；（3）；（4）.
【分析】（1）先将个不同的小球分为三组，确定每组小球的数量，然后将三组小球放入三个盒子，结合分步计数原理可得结果；
（2）确定每个小球的放法种数，利用分步乘法计数原理可得结果；
（3）只需在个相同的小球中间所形成的个空位中插入块板即可，利用隔板法可求得结果；
（4）问题等价于在个相同的小球中间所形成的个空位中插入块板即可，利用隔板法可求得结果.
【详解】解：（1）将个不同的小球分为三组，每组的小球数量分别为、、或、、，
然后再将这三组小球放入三个盒子中，
因此，不同的放法种数为种；
（2）每个小球有种方法，由分步乘法计数原理可知，
将个不同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，不同的放法种数为种；
（3）将个相同的小球放入个不同的盒子中，没有空盒子，
只需在个相同的小球中间所形成的个空位中插入块板即可，
所以，不同的放法种数为种；
（4）将个相同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，
等价于将个相同的小球放入个不同的盒子中，每个盒子不空，
只需在个相同的小球中间所形成的个空位中插入块板即可，
所以，不同的放法种数为种.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)