第六章 计数原理 专题五 利用赋值法和利用二项式定理求展开式的系数的和、余数问题 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第三册
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| 名称 | 第六章 计数原理 专题五 利用赋值法和利用二项式定理求展开式的系数的和、余数问题 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第三册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 429.7KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-05-14 17:28:54 | ||
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文档简介
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第六章 计数原理 专题五 利用赋值法和利用二项式定理求展开式的系数的和、余数问题
2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第三册
一、单选题
1．已知，则下列说法不正确的是（ ）
A．展开式中所有项的二项式系数和为
B．展开式中所有偶次项系数和为
C．展开式中所有奇次项系数和为
D．
2．若，，则（ ）
A． B．31 C． D．32
3．被8整除的余数为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．5
4．若既能被9整除又能被7整除，则正整数a的最小值为（ ）
A．6 B．10 C．55 D．63
5．被3除的余数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
6．已知，则（ ）
A．
B．
C．
D．
7．根据切比雪夫多项式可知能表示为的多项式，即，若设函数，则由可得（ ）
A． B．
C． D．
8．若，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．当时，除以8的余数是1
D．展开式中二项式系数最大项为第3项
三、填空题
9．已知，若，则 ．
10．若，则的值被4除的余数为 ．
四、解答题
11．设.
(1)求；
(2)若是，，，，中唯一的最大值，求的值；
(3)若，求.
12．（1）用二项式定理证明能被100整除；
（2）求被100除所得的余数．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B C C B ABD BC BC
1．C
【分析】根据二项式系数和判断A，利用赋值法判断B、C、D.
【详解】对于A，二项式系数和为，故A正确；
对于B，令，得，①
令，得，②
①②，可得，
，故B正确；
对于C，①②，得，
，故C错误；
对于D，令，得，令，得.
，故D正确.
故选：C.
2．B
【分析】利用赋值法求解即可.
【详解】解：令，得 ，即 ，
令，得 ，
即 ，
所以 .
故选：B.
3．C
【分析】由，利用二项式定理展开即可求得余数.
【详解】由
，
所以被8除所得的余数是7.
故选：C.
4．C
【分析】分别由和结合二项式定理得和，再一一检验时和的解的情况即可得解.
【详解】因为，
所以
，
所以若既能被7整除，则，故
又，
所以
，
所以若既能被9整除，则，故，
对于A，若，则由可知无解，故A错误；
对于B，若，则由可知无解，故B错误；
对于C，若，则由和得，故C正确；
对于D，若，则由可知无解，故D错误.
故选：C.
5．B
【分析】利用二项式定理赋值化简，再将写成形式展开后可求余数.
【详解】由二项式定理得，
令得，①，
令得，②，
①②得，，
解得，，
由
，
故被3除的余数为.
故选：B.
6．ABD
【分析】A选项，先把拆成.分别在两部分里找的系数，再相加得到.B选项用赋值法，令和得到两个等式，两式相减消去，算出.C选项令得，因，所以.D选项等价于各项系数和，令就能算出结果.
【详解】根据二项式定理，展开式的通项为（）.
.
要求的系数，在中，令，得，
此时该项系数为；
在中，令，得，此时该项系数为.
所以，故A选项正确.
令，得①；
令，得②.
①-②得，所以，故B选项正确.
令，得，
又因为，所以，故C选项错误.
相当于的各项系数和.
令，则，故D选项正确.
故选：ABD.
7．BC
【分析】结合余弦函数值，应用赋值法分别计算判断各个选项即可.
【详解】由，
令，则，此时，A选项错误；
令，则，，又，
，B选项正确；
令，则，，
于是，C选项正确；
令，则，，
所以，D选项错误.
故选：BC.
8．BC
【分析】利用赋值法可判断AC，利用导数可判断B，利用二项式系数的性质可判断D.
【详解】对于A，令，可得，令，可得，
所以，故A错误；
对于B，，
两边求导，可得，
令，可得，故B正确；
对于C，当时，，所以除以8的余数是1，故C正确；
对于D，展开式共有7项，所以展开式中二项式系数最大项为第4项，故D错误.
故选：BC.
9．0
【分析】先根据条件求出，然后由赋值法即可求解.
【详解】由题意，所以，即，
令，则，令，则，
所以.
故答案为：0.
10．3
【分析】利用赋值法，可得系数之和，根据二项式定理可得展开式，可得系数的正负，从而可得系数绝对值之和，结合二项式定理，可得答案.
【详解】令，得，
因为，
所以当为奇数时，展开式中偶数项的系数为负，即，
当为偶数时，展开式中奇数项的系数为正，即，
所以，
又，
故被4除余3．
故答案为：.
11．(1)
(2)17，18，19.
(3)
【分析】（1）分别令，即可求解；
（2）由求解不等式即可；
（3）由，结合通项公式即可求解.
【详解】（1）令，可得；
令，可得；
所以.
（2）由题意知的展开式的通项为，，
所以，.
因为是中唯一的最大值，
可得，
即，
解得，又因为，所以的取值为17，18，19.
（3）由题意可得：，
所以，，
则.
12．（1）证明见解析； （2）81．
【分析】（1）由于，利用二项式公式展开可证得结论，
（2），所以只需求最后一项除以100的余数，而，再通过分析后三项从而可求得结果
【详解】（1）因为
．
故能被100整除．
（2），
因为展开式中前92项均能被100整除，所以只需求最后一项除以100的余数．
又．
前91项均能被100整除，后两项和为－919，因余数为正，
可从前面的数中分离出1000，
结果为，
故被100除所得的余数为81．
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第六章 计数原理 专题五 利用赋值法和利用二项式定理求展开式的系数的和、余数问题
2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第三册
一、单选题
1．已知，则下列说法不正确的是（ ）
A．展开式中所有项的二项式系数和为
B．展开式中所有偶次项系数和为
C．展开式中所有奇次项系数和为
D．
2．若，，则（ ）
A． B．31 C． D．32
3．被8整除的余数为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．5
4．若既能被9整除又能被7整除，则正整数a的最小值为（ ）
A．6 B．10 C．55 D．63
5．被3除的余数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
6．已知，则（ ）
A．
B．
C．
D．
7．根据切比雪夫多项式可知能表示为的多项式，即，若设函数，则由可得（ ）
A． B．
C． D．
8．若，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．当时，除以8的余数是1
D．展开式中二项式系数最大项为第3项
三、填空题
9．已知，若，则 ．
10．若，则的值被4除的余数为 ．
四、解答题
11．设.
(1)求；
(2)若是，，，，中唯一的最大值，求的值；
(3)若，求.
12．（1）用二项式定理证明能被100整除；
（2）求被100除所得的余数．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B C C B ABD BC BC
1．C
【分析】根据二项式系数和判断A，利用赋值法判断B、C、D.
【详解】对于A，二项式系数和为，故A正确；
对于B，令，得，①
令，得，②
①②，可得，
，故B正确；
对于C，①②，得，
，故C错误；
对于D，令，得，令，得.
，故D正确.
故选：C.
2．B
【分析】利用赋值法求解即可.
【详解】解：令，得 ，即 ，
令，得 ，
即 ，
所以 .
故选：B.
3．C
【分析】由，利用二项式定理展开即可求得余数.
【详解】由
，
所以被8除所得的余数是7.
故选：C.
4．C
【分析】分别由和结合二项式定理得和，再一一检验时和的解的情况即可得解.
【详解】因为，
所以
，
所以若既能被7整除，则，故
又，
所以
，
所以若既能被9整除，则，故，
对于A，若，则由可知无解，故A错误；
对于B，若，则由可知无解，故B错误；
对于C，若，则由和得，故C正确；
对于D，若，则由可知无解，故D错误.
故选：C.
5．B
【分析】利用二项式定理赋值化简，再将写成形式展开后可求余数.
【详解】由二项式定理得，
令得，①，
令得，②，
①②得，，
解得，，
由
，
故被3除的余数为.
故选：B.
6．ABD
【分析】A选项，先把拆成.分别在两部分里找的系数，再相加得到.B选项用赋值法，令和得到两个等式，两式相减消去，算出.C选项令得，因，所以.D选项等价于各项系数和，令就能算出结果.
【详解】根据二项式定理，展开式的通项为（）.
.
要求的系数，在中，令，得，
此时该项系数为；
在中，令，得，此时该项系数为.
所以，故A选项正确.
令，得①；
令，得②.
①-②得，所以，故B选项正确.
令，得，
又因为，所以，故C选项错误.
相当于的各项系数和.
令，则，故D选项正确.
故选：ABD.
7．BC
【分析】结合余弦函数值，应用赋值法分别计算判断各个选项即可.
【详解】由，
令，则，此时，A选项错误；
令，则，，又，
，B选项正确；
令，则，，
于是，C选项正确；
令，则，，
所以，D选项错误.
故选：BC.
8．BC
【分析】利用赋值法可判断AC，利用导数可判断B，利用二项式系数的性质可判断D.
【详解】对于A，令，可得，令，可得，
所以，故A错误；
对于B，，
两边求导，可得，
令，可得，故B正确；
对于C，当时，，所以除以8的余数是1，故C正确；
对于D，展开式共有7项，所以展开式中二项式系数最大项为第4项，故D错误.
故选：BC.
9．0
【分析】先根据条件求出，然后由赋值法即可求解.
【详解】由题意，所以，即，
令，则，令，则，
所以.
故答案为：0.
10．3
【分析】利用赋值法，可得系数之和，根据二项式定理可得展开式，可得系数的正负，从而可得系数绝对值之和，结合二项式定理，可得答案.
【详解】令，得，
因为，
所以当为奇数时，展开式中偶数项的系数为负，即，
当为偶数时，展开式中奇数项的系数为正，即，
所以，
又，
故被4除余3．
故答案为：.
11．(1)
(2)17，18，19.
(3)
【分析】（1）分别令，即可求解；
（2）由求解不等式即可；
（3）由，结合通项公式即可求解.
【详解】（1）令，可得；
令，可得；
所以.
（2）由题意知的展开式的通项为，，
所以，.
因为是中唯一的最大值，
可得，
即，
解得，又因为，所以的取值为17，18，19.
（3）由题意可得：，
所以，，
则.
12．（1）证明见解析； （2）81．
【分析】（1）由于，利用二项式公式展开可证得结论，
（2），所以只需求最后一项除以100的余数，而，再通过分析后三项从而可求得结果
【详解】（1）因为
．
故能被100整除．
（2），
因为展开式中前92项均能被100整除，所以只需求最后一项除以100的余数．
又．
前91项均能被100整除，后两项和为－919，因余数为正，
可从前面的数中分离出1000，
结果为，
故被100除所得的余数为81．
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