第六章 计数原理 专题一 利用计数原理解决因数个数和涂色问题 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第三册
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| 名称 | 第六章 计数原理 专题一 利用计数原理解决因数个数和涂色问题 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第三册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 325.2KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-05-14 17:28:54 | ||
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文档简介
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计数原理 专题一 利用计数原理解决因数个数和涂色问题 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第三册
一、单选题
1．求整数的正整数因数时可将其改写成若干个质数的乘积，例如的正整数因数只需分别从中各选一个元素相乘即可，则500的正整数因数的个数为（ ）
A．12 B．15 C．16 D．18
2．一个正整数n称为具有“因数积性质”：若n的所有正因数的乘积等于，则不超过400的正整数中具有“因数积性质”的数的个数为（ ）
A．55 B．50 C．51 D．前三个答案都不对
3．如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在用7种颜色给5个小区域（，，，，）涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法有（ ）
A．2520种 B．3360种 C．3570种 D．4410种
4．如图，用 6 种不同的颜色把图中 A，B，C，D 四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有（ ）
A．400 种 B．460 种 C．480 种 D．496 种
二、多选题
5．用种不同的颜色涂图中的矩形，要求相邻的矩形涂色不同，不同的涂色方法总种数记为，则（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，用种不同的颜色把图中五块区域涂上颜色，相邻区域不能涂同一种颜色，则（ ）
A．
B．当时，若同色，共有48种涂法
C．当时，若不同色，共有48种涂法
D．当时，总的涂色方法有420种
三、填空题
7．1800的不同的正奇数因数有 个．
8．5320的因数有 个，从小到大排列后，第24个因数为 ．
9．完美数（Perfectnumber）是一类特殊的自然数，它的所有真因数（除自身之外的正因数）的和恰好等于它本身，寻找“完美数”用到函数，为n的所有真因数之和，如，28是一个“完美数”，则再写出一个“完美数”为 ； .
10．在如图所示的三棱锥中，现有红、黄、蓝、绿4种不同的颜色供选择，要求相邻两个顶点不能涂相同颜色，则不同的涂色方法共有 ．
11．如图所示给五个区域涂色，现有四种颜色可供选择，要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法有 ．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 A C D C AD ABD
1．A
【分析】因为，结合题意分析求解即可.
【详解】因为，
由题意可知：500的正整数因数只需分别从中各选一个元素相乘即可，
所以500的正整数因数的个数为.
故选：A.
2．C
【分析】就n形如和（为质数）分类计算后可得它们的个数.
【详解】显然符合题意．当时，根据题意，n有6个正因数．
情形一 n形如，其中a，b都是质数．先写出质数表：
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29
31 37 41 43 47 53 59 61 67 71
73 79 83 89 97 101 103 107 109 113
依据b的取值分类：
b 2 3 5 7 11 13 17
a
个数 24 13 5 3 2 1 0
因此这种类型的具有“因数积性质”的数有．
情形二 n形如，其中a是质数．这种类型的“因数积性质”共有2个．
综上所述，所求的具有“因数积性质”的数共有51个．
故选：C.
3．D
【分析】利用分类加法计数原理，分步乘法计数原理解决.
【详解】分4步进行分析：
①对于区域，有7种颜色可选；
②对于区域，与区域相邻，有6种颜色可选；
③对于区域，与、区域相邻，有5种颜色可选；
④对于区域、
若与颜色相同，区域有5种颜色可选，
若与颜色不相同，区域有4种颜色可选，区域有4种颜色可选，
则区域、有种选择.
综上所述，不同的涂色方案有种.
故选：D.
4．C
【分析】完成此事可能使用4种颜色，也可能使用3种颜色，当使用3种颜色时，和涂一种颜色，利用分类加法、分步乘法计数原理即可求解.
【详解】完成此事可能使用4种颜色，也可能使用3种颜色，
当使用4种颜色时，有6种涂法，有5种涂法，有4种涂法，有3种涂法，
所以共有种方法；
当使用3种颜色时，和涂一种颜色，共有6种涂法，
有5种涂法，有4种涂法，
所以共有种方法；
所以不同的涂法共有种.
故选：.
5．AD
【分析】利用分类计数原理即可得解.
【详解】当时，分四步：
第一步，涂处，有3种涂色方案；第二步，涂处，有2种涂色方案；
第三步，涂处，有2种涂色方案；第四步，涂处，有1种涂色方案.
所以不同的涂色方法共种数为，所以，故A正确；
当时，分四步：
第一步，涂处，有4种涂色方案；第二步，涂处，有3种涂色方案；
第三步，涂处，有3种涂色方案；第四步，涂处，有2种涂色方案.
所以不同的涂色方法共种数为，所以，故B错误；
当时，分四步：
第一步，涂处，有5种涂色方案；第二步，涂处，有4种涂色方案；
第三步，涂处，有4种涂色方案；第四步，涂处，有3种涂色方案.
所以不同的涂色方法共种数为，所以，故C错误；
当时，分四步：
第一步，涂处，有6种涂色方案；第二步，涂处，有5种涂色方案；
第三步，涂处，有5种涂色方案；第四步，涂处，有4种涂色方案.
所以不同的涂色方法共种数为，所以，故D正确.
故选：AD.
6．ABD
【分析】根据同色或者不同色，即可结合选项，根据分步乘法计数原理求解.
【详解】对于A，由于区域,两两相邻，所以至少需要三种及以上的颜色才能保证相邻区域不同色，故A正确，
对于B，当时，此时按照的顺序涂，每一个区域需要一个颜色，此时有种涂法，
涂时，由于同色（D只有一种颜色可选），所以只需要从剩下的颜色或者与同色的两种颜色中选择一种涂，
故共有种涂法，B正确；
对于C，当时，涂有种，
当不同色（D只有一种颜色可选），此时四块区域所用颜色各不相同，涂只能用与同色，此时共有24种涂法，C错误；
对于D，当时，此时按照的顺序涂，每一个区域需要一个颜色，此时有种涂法，
涂时，当同色（D只有一种颜色可选），所以只需要从剩下的两种颜色中或者与同色的颜色中选择一种涂，
故共有种涂法，
当不同色，此时四块区域所用颜色各不相同，共有，
只需要从剩下的颜色或者与同色的两种颜色中选择一种涂此时共有种涂法，
综上可知，总的涂色方法有420种，故D正确，
故选：ABD
7．9
【分析】先得到，然后根据题意以及分步乘法计数原理来求得正确答案.
【详解】由题意得，，则1800的正因数，
由题意，，可取0，1，2；可取0，1，2；
根据分步乘法计数原理，可得不同的正奇数因数有个.
故答案为：
8． 32 280
【分析】先将5320分解成质数相乘，然后可求出其所有的因数，从而可求出第24个因数.
【详解】因为，
所以当因数是一个质数时，有4种，
当因数是2个质数的乘积时，有种，
当因数是3个质数的乘积时，有种，
当因数是4个质数的乘积时，有种，
当因数是5个质数的乘积时，有种，
当因数是6个质数的乘积时，有1种，还有一个1，
所以5320共有32个因数，
或
，
所以5320的因数有32个，
从小到大排列为1，2，4，5，7，8，10，14，19，20，28，35，38，40，56，70，76，95，133，140，152，190，266，280，380，532，665，760，1064，1330，2660，5320，
所以第24个因数为280.
故答案为：32，280
【点睛】关键点点睛：此题考查排列组合的应用，解题的关键是将5320分解成质数的乘积，然后分情况求解即可，考查分类思想，属于较难题.
9． 6（或496，8128，33550336等） 5280
【分析】根据为n的所有真因数之和，第一空直接计算即可，分析的正因素的特点，求解即可.
【详解】，
，2160的所有真因数的个数为，
，
故答案为：6；5280
10．
【分析】利用分步乘法计数原理即可得解.
【详解】依题意，先涂点，有种颜色可供选择；
再涂点，有种颜色可供选择；
接着涂点，有种颜色可供选择；
最后涂点，只有种颜色可供选择；
综上，利用分步乘法计数原理，不同的涂色方法共有.
故答案为：.
11．72
【分析】对进行分类，再利用分步计数原理，进行求解.
【详解】分两种情况：①A，C不同色，先涂A有4种，C有3种，E有2种，B，D有1种，有种；
②A，C同色，先涂A，C有4种，再涂E有3种，B，D各有2种，有种．故不同的涂色方法有种．
故答案为：72
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计数原理 专题一 利用计数原理解决因数个数和涂色问题 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第三册
一、单选题
1．求整数的正整数因数时可将其改写成若干个质数的乘积，例如的正整数因数只需分别从中各选一个元素相乘即可，则500的正整数因数的个数为（ ）
A．12 B．15 C．16 D．18
2．一个正整数n称为具有“因数积性质”：若n的所有正因数的乘积等于，则不超过400的正整数中具有“因数积性质”的数的个数为（ ）
A．55 B．50 C．51 D．前三个答案都不对
3．如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在用7种颜色给5个小区域（，，，，）涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法有（ ）
A．2520种 B．3360种 C．3570种 D．4410种
4．如图，用 6 种不同的颜色把图中 A，B，C，D 四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有（ ）
A．400 种 B．460 种 C．480 种 D．496 种
二、多选题
5．用种不同的颜色涂图中的矩形，要求相邻的矩形涂色不同，不同的涂色方法总种数记为，则（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，用种不同的颜色把图中五块区域涂上颜色，相邻区域不能涂同一种颜色，则（ ）
A．
B．当时，若同色，共有48种涂法
C．当时，若不同色，共有48种涂法
D．当时，总的涂色方法有420种
三、填空题
7．1800的不同的正奇数因数有 个．
8．5320的因数有 个，从小到大排列后，第24个因数为 ．
9．完美数（Perfectnumber）是一类特殊的自然数，它的所有真因数（除自身之外的正因数）的和恰好等于它本身，寻找“完美数”用到函数，为n的所有真因数之和，如，28是一个“完美数”，则再写出一个“完美数”为 ； .
10．在如图所示的三棱锥中，现有红、黄、蓝、绿4种不同的颜色供选择，要求相邻两个顶点不能涂相同颜色，则不同的涂色方法共有 ．
11．如图所示给五个区域涂色，现有四种颜色可供选择，要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法有 ．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 A C D C AD ABD
1．A
【分析】因为，结合题意分析求解即可.
【详解】因为，
由题意可知：500的正整数因数只需分别从中各选一个元素相乘即可，
所以500的正整数因数的个数为.
故选：A.
2．C
【分析】就n形如和（为质数）分类计算后可得它们的个数.
【详解】显然符合题意．当时，根据题意，n有6个正因数．
情形一 n形如，其中a，b都是质数．先写出质数表：
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29
31 37 41 43 47 53 59 61 67 71
73 79 83 89 97 101 103 107 109 113
依据b的取值分类：
b 2 3 5 7 11 13 17
a
个数 24 13 5 3 2 1 0
因此这种类型的具有“因数积性质”的数有．
情形二 n形如，其中a是质数．这种类型的“因数积性质”共有2个．
综上所述，所求的具有“因数积性质”的数共有51个．
故选：C.
3．D
【分析】利用分类加法计数原理，分步乘法计数原理解决.
【详解】分4步进行分析：
①对于区域，有7种颜色可选；
②对于区域，与区域相邻，有6种颜色可选；
③对于区域，与、区域相邻，有5种颜色可选；
④对于区域、
若与颜色相同，区域有5种颜色可选，
若与颜色不相同，区域有4种颜色可选，区域有4种颜色可选，
则区域、有种选择.
综上所述，不同的涂色方案有种.
故选：D.
4．C
【分析】完成此事可能使用4种颜色，也可能使用3种颜色，当使用3种颜色时，和涂一种颜色，利用分类加法、分步乘法计数原理即可求解.
【详解】完成此事可能使用4种颜色，也可能使用3种颜色，
当使用4种颜色时，有6种涂法，有5种涂法，有4种涂法，有3种涂法，
所以共有种方法；
当使用3种颜色时，和涂一种颜色，共有6种涂法，
有5种涂法，有4种涂法，
所以共有种方法；
所以不同的涂法共有种.
故选：.
5．AD
【分析】利用分类计数原理即可得解.
【详解】当时，分四步：
第一步，涂处，有3种涂色方案；第二步，涂处，有2种涂色方案；
第三步，涂处，有2种涂色方案；第四步，涂处，有1种涂色方案.
所以不同的涂色方法共种数为，所以，故A正确；
当时，分四步：
第一步，涂处，有4种涂色方案；第二步，涂处，有3种涂色方案；
第三步，涂处，有3种涂色方案；第四步，涂处，有2种涂色方案.
所以不同的涂色方法共种数为，所以，故B错误；
当时，分四步：
第一步，涂处，有5种涂色方案；第二步，涂处，有4种涂色方案；
第三步，涂处，有4种涂色方案；第四步，涂处，有3种涂色方案.
所以不同的涂色方法共种数为，所以，故C错误；
当时，分四步：
第一步，涂处，有6种涂色方案；第二步，涂处，有5种涂色方案；
第三步，涂处，有5种涂色方案；第四步，涂处，有4种涂色方案.
所以不同的涂色方法共种数为，所以，故D正确.
故选：AD.
6．ABD
【分析】根据同色或者不同色，即可结合选项，根据分步乘法计数原理求解.
【详解】对于A，由于区域,两两相邻，所以至少需要三种及以上的颜色才能保证相邻区域不同色，故A正确，
对于B，当时，此时按照的顺序涂，每一个区域需要一个颜色，此时有种涂法，
涂时，由于同色（D只有一种颜色可选），所以只需要从剩下的颜色或者与同色的两种颜色中选择一种涂，
故共有种涂法，B正确；
对于C，当时，涂有种，
当不同色（D只有一种颜色可选），此时四块区域所用颜色各不相同，涂只能用与同色，此时共有24种涂法，C错误；
对于D，当时，此时按照的顺序涂，每一个区域需要一个颜色，此时有种涂法，
涂时，当同色（D只有一种颜色可选），所以只需要从剩下的两种颜色中或者与同色的颜色中选择一种涂，
故共有种涂法，
当不同色，此时四块区域所用颜色各不相同，共有，
只需要从剩下的颜色或者与同色的两种颜色中选择一种涂此时共有种涂法，
综上可知，总的涂色方法有420种，故D正确，
故选：ABD
7．9
【分析】先得到，然后根据题意以及分步乘法计数原理来求得正确答案.
【详解】由题意得，，则1800的正因数，
由题意，，可取0，1，2；可取0，1，2；
根据分步乘法计数原理，可得不同的正奇数因数有个.
故答案为：
8． 32 280
【分析】先将5320分解成质数相乘，然后可求出其所有的因数，从而可求出第24个因数.
【详解】因为，
所以当因数是一个质数时，有4种，
当因数是2个质数的乘积时，有种，
当因数是3个质数的乘积时，有种，
当因数是4个质数的乘积时，有种，
当因数是5个质数的乘积时，有种，
当因数是6个质数的乘积时，有1种，还有一个1，
所以5320共有32个因数，
或
，
所以5320的因数有32个，
从小到大排列为1，2，4，5，7，8，10，14，19，20，28，35，38，40，56，70，76，95，133，140，152，190，266，280，380，532，665，760，1064，1330，2660，5320，
所以第24个因数为280.
故答案为：32，280
【点睛】关键点点睛：此题考查排列组合的应用，解题的关键是将5320分解成质数的乘积，然后分情况求解即可，考查分类思想，属于较难题.
9． 6（或496，8128，33550336等） 5280
【分析】根据为n的所有真因数之和，第一空直接计算即可，分析的正因素的特点，求解即可.
【详解】，
，2160的所有真因数的个数为，
，
故答案为：6；5280
10．
【分析】利用分步乘法计数原理即可得解.
【详解】依题意，先涂点，有种颜色可供选择；
再涂点，有种颜色可供选择；
接着涂点，有种颜色可供选择；
最后涂点，只有种颜色可供选择；
综上，利用分步乘法计数原理，不同的涂色方法共有.
故答案为：.
11．72
【分析】对进行分类，再利用分步计数原理，进行求解.
【详解】分两种情况：①A，C不同色，先涂A有4种，C有3种，E有2种，B，D有1种，有种；
②A，C同色，先涂A，C有4种，再涂E有3种，B，D各有2种，有种．故不同的涂色方法有种．
故答案为：72
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