第七章 随机变量及其分布 专题二 利用条件概率公式结合排列组合和乘法公式求解条件概率和判断事件的独立性 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第三册
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| 名称 | 第七章 随机变量及其分布 专题二 利用条件概率公式结合排列组合和乘法公式求解条件概率和判断事件的独立性 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第三册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 310.1KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-05-14 17:28:54 | ||
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文档简介
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随机变量及其分布 专题二 利用条件概率公式结合排列组合和乘法公式求解条件概率和判断事件的独立性 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第三册
一、单选题
1．从标有1，2，3，4，5，6的六张卡片中不放回地抽取两次，每次抽取1张，则在第一次抽到的卡片所标数字为奇数的条件下，第二次抽到的卡片所标数字仍为奇数的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．一个盒子中装有个白球和个黑球（且），从中随机取出n个球，发现这n个球颜色相同，则这n个球都是黑球的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．已知甲袋里只有红球，乙袋里只有白球，丙袋里只有黑球，丁袋里这三种球都有.现从这四个袋子中随机抽取一个袋子，设事件为“所抽袋子里有红球”，事件为“所抽袋子里有白球”，事件为“所抽袋子里有黑球”，则下列说法正确的是（ ）
A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立
C．事件与事件相互对立 D．事件与事件相互独立
二、多选题
4．一个袋子里装有3个红球，7个黄球，每次随机的摸出一个球，摸出的球不再放回.则下列说法正确的是（ ）
A．第二次摸出红球的概率为
B．第一次摸出黄球的条件下，第二次摸出红球的概率为
C．第一次摸出黄球且第二次摸出红球的概率为
D．第三次摸出黄球的概率为
5．将一枚质地均匀的骰子随机抛掷两次，甲表示事件“第一次点数为奇数”，乙表示事件“第二次点数为偶数”，丙表示“两次点数相同”，丁表示“两次点数之和为偶数”，则下列选项中的两个事件相互独立的有（ ）
A．甲与丙 B．乙与丙 C．乙与丁 D．丙与丁
6．下列等式能推出事件、是独立事件的有（ ）
A． B．
C． D．
7．已知某工人需至少使用甲，乙两种仪器中的一种对某产品进行质量检测，记事件“该工人在检测过程中使用过甲仪器”，事件“该工人在检测过程中使用过乙仪器”，事件“该工人在检测过程中使用过甲，乙两种仪器”，事件“该工人在检测过程中仅使用过甲，乙两种仪器中的一种”，已知，则（ ）
A．与相互独立 B．与互为对立
C． D．
三、填空题
8．第十五届中国国际航空航天博览会在2024年11月12日至17日在广东珠海举行.此次航展，观众累计参观近60万人次，签约金额超2800亿人民币.为庆祝这一盛会的成功举行，珠海某商场决定在航展期间举行“购物抽奖送航模”活动，奖品为“隐形战机歼-20S”模型.抽奖规则如下：盒中装有7个大小相同的小球，其中3个是红球，4个是黄球.每位顾客均有两次抽奖机会，每次抽奖从盒中随机取出2球，若取出的球颜色不相同，则没有中奖，小球不再放回盒中，若取出的球颜色相同，则中奖，并将小球放回盒中、某顾客两次抽奖都中奖的概率为 ；该顾客第一次抽奖没有中奖的条件下，第二次抽奖中奖的概率为 .
9．石室校园，望楼汉阙，红墙掩映，步移景异！现有甲、乙、丙、丁四位校友到“文翁化蜀”、“锦水文风”、“魁星阁”、“银杏大道”4处景点追忆石室读书时光.若每人只去一处景点，设事件为“4个人去的景点各不相同”，事件为“只有甲去了锦水文风”，则 ， .
10．连续抛掷一枚质地均匀的硬币2次，每次结果要么正面向上，要么反面向上，且两种结果等可能．记事件A表示“2次结果中有正面向上，也有反面向上”，事件B表示“2次结果中最多有1次正面向上”，事件C表示“2次结果中没有正面向上”，有以下说法：
①事件B与事件C互斥；②；③事件A与事件B独立；其中所有正确的说法是 ．
11．给出下列各对事件，其中是相互独立事件的为 （填序号）．
①甲组有3名男生，2名女生；乙组有2名男生，3名女生．现从甲、乙两组中各选1名参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；
②容器内装有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，球除颜色外没有其他差异，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“再从剩下的7个球中任意取出1个，取出的是白球”；
③掷一枚骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 C A B ABD ABC AD BCD
1．C
【分析】由条件概率计算公式求解即可.
【详解】记“第一次抽到的卡片所标数字为奇数”，“第二次抽到的卡片所标数字为奇数”，
由题意得，，
所以．
故选：C
2．A
【分析】记事件A为摸出n个球颜色相同，事件B为摸出n个黑球，先由条件概率求出，再结合组合数的性质计算.
【详解】记事件A为摸出n个球颜色相同，事件B为摸出n个黑球，则
（第二个等式是因为）
，，因此
由组合数性质，故.
故选：A
3．B
【分析】根据要写条件，利用互斥事件、对立事件和相互独立的定义，逐一判断选项即可.
【详解】对于A，事件和事件可以同时发生，即抽取丁袋，事件与事件不互斥，A错误；
对于B，，，，事件与事件相互独立，B正确；
对于C，事件与事件可以同时发生，即抽取丁袋，事件与事件不对立，C错误；
对于D，，，，事件与事件不独立，D错误.
故选：B
4．ABD
【分析】A利用全概率公式求解；B利用条件概率求解；C 利用概率的乘法公式求解；D必备知识：无论第几次抽取黄球，其概率均为.
【详解】解：对于A、第二次摸出红球分两种情况：
第一次摸出黄球，第二次摸出红球，其概率为
第一次摸出红球，第二次摸出红球，其概率为，
可得第二次摸出红球的概率为：，所以选项A正确；
对于B、设“第一次摸出黄球”为事件A，“第二次摸出红球”为事件，
由选项A的分析可知，，
根据条件概率公式，所以选项B正确；
对于C、由选项A可知，第一次摸出黄球且第一次摸出红球的概率为，
所以选项C错误；
对于D、因为袋子里共有个球，其中黄球有7个，
所以每次摸出黄球的概率都是，即第三次摸出黄球的概率为，所以选项D正确.
故选：ABD.
5．ABC
【分析】根据相互独立事件的定义来判断各选项中的两个事件是否相互独立.分别求出各事件发生的概率以及它们同时发生的概率，然后进行比较.
【详解】抛掷一枚质地均匀的骰子，每次都有种不同的结果.
事件甲：第一次点数为奇数，即第一次掷出、、，共种情况，所以.
事件乙：第二次点数为偶数，即第二次掷出、、，共种情况，所以.
事件丙：两次点数相同，即、、、、、，共种情况，所以.
事件丁：两次点数之和为偶数，可分为“两次点数均为奇数”和“两次点数均为偶数”.
“两次点数均为奇数”有种情况，“两次点数均为偶数”也有种情况，所以.
甲与丙：甲与丙同时发生，即第一次点数为奇数且两次点数相同，有、、，
共种情况，所以.
而，即，所以甲与丙相互独立.
乙与丙：乙与丙同时发生，即第二次点数为偶数且两次点数相同，有、、，共种情况，所以.
而，即，所以乙与丙相互独立.
乙与丁：乙与丁同时发生，即第二次点数为偶数且两次点数之和为偶数，
也就是第一次点数也为偶数，有种情况，所以.
而，即，所以乙与丁相互独立.
丙与丁：丙与丁同时发生，即两次点数相同且两次点数之和为偶数，
也就是两次点数均为偶数或均为奇数，有、、、、、，共种情况，
所以.
而，即，所以丙与丁不相互独立.
甲与丙、乙与丙、乙与丁相互独立.
故选：ABC.
6．AD
【分析】利用独立事件的定义、条件概率公式、互斥事件的概率公式逐项判断即可.
【详解】对于A选项，，则事件、独立，A满足要求；
对于B选项，，则事件、互斥，B不满足要求；
对于C选项，因为为条件概率公式总成立，不能说明事件、独立，C不满足要求；
对于D选项，，则，D满足要求.
故选：AD.
7．BCD
【分析】根据给定条件，利用概率的基本性质、对立事件、相互独立事件及条件概率逐项分析判断.
【详解】对于A，依题意，，则，A错误；
对于B，，，，，则，互为对立，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，，D正确.
故选：BCD
8． /
【分析】根据相互独立事件的乘法公式和条件概率的计算公式求解.
【详解】由题意，某顾客两次抽奖都中奖的概率为，
设顾客第一次抽奖没有中奖为事件，第二次抽奖中奖为事件，
则，，
，
该顾客第一次抽奖没有中奖的条件下，第二次抽奖中奖的概率为.
故答案为：，.
9．
【分析】根据古典概型结合排列数计算，再应用条件概率公式计算求解即可.
【详解】由题意可知，4人去4个不同的景点，事件数有，总事件数为，
故，
又事件的总数为，所以，
事件和事件同时发生，即“只有甲去了锦水文风，另外3人去了另外3个不同的景点”，则事件的总数为，
所以，所以.
故答案为：.
10．②
【分析】有互斥事件的定义、古典概型求概率以及独立事件的乘法公式依次判断即可.
【详解】事件B包括“1次正面向上，1次反面向上”和“2次结果中没有正面向上”，事件B和事件C可以同时发生，①错误；
事件A表示“2次结果中有1次正面向上，有1次反面向上”，则，②正确；
，，，则③错误.
故答案为：②.
11．①③/③①
【分析】根据相互独立事件的定义判断①②，检验是否成立判断③．
【详解】①“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件．
②“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“再从剩下的7个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为．可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以两者不是相互独立事件．
③记事件 “出现偶数点”，事件 “出现3点或6点”，则，，，所以，，，所以，所以事件与相互独立．
故答案为：①③
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随机变量及其分布 专题二 利用条件概率公式结合排列组合和乘法公式求解条件概率和判断事件的独立性 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第三册
一、单选题
1．从标有1，2，3，4，5，6的六张卡片中不放回地抽取两次，每次抽取1张，则在第一次抽到的卡片所标数字为奇数的条件下，第二次抽到的卡片所标数字仍为奇数的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．一个盒子中装有个白球和个黑球（且），从中随机取出n个球，发现这n个球颜色相同，则这n个球都是黑球的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．已知甲袋里只有红球，乙袋里只有白球，丙袋里只有黑球，丁袋里这三种球都有.现从这四个袋子中随机抽取一个袋子，设事件为“所抽袋子里有红球”，事件为“所抽袋子里有白球”，事件为“所抽袋子里有黑球”，则下列说法正确的是（ ）
A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立
C．事件与事件相互对立 D．事件与事件相互独立
二、多选题
4．一个袋子里装有3个红球，7个黄球，每次随机的摸出一个球，摸出的球不再放回.则下列说法正确的是（ ）
A．第二次摸出红球的概率为
B．第一次摸出黄球的条件下，第二次摸出红球的概率为
C．第一次摸出黄球且第二次摸出红球的概率为
D．第三次摸出黄球的概率为
5．将一枚质地均匀的骰子随机抛掷两次，甲表示事件“第一次点数为奇数”，乙表示事件“第二次点数为偶数”，丙表示“两次点数相同”，丁表示“两次点数之和为偶数”，则下列选项中的两个事件相互独立的有（ ）
A．甲与丙 B．乙与丙 C．乙与丁 D．丙与丁
6．下列等式能推出事件、是独立事件的有（ ）
A． B．
C． D．
7．已知某工人需至少使用甲，乙两种仪器中的一种对某产品进行质量检测，记事件“该工人在检测过程中使用过甲仪器”，事件“该工人在检测过程中使用过乙仪器”，事件“该工人在检测过程中使用过甲，乙两种仪器”，事件“该工人在检测过程中仅使用过甲，乙两种仪器中的一种”，已知，则（ ）
A．与相互独立 B．与互为对立
C． D．
三、填空题
8．第十五届中国国际航空航天博览会在2024年11月12日至17日在广东珠海举行.此次航展，观众累计参观近60万人次，签约金额超2800亿人民币.为庆祝这一盛会的成功举行，珠海某商场决定在航展期间举行“购物抽奖送航模”活动，奖品为“隐形战机歼-20S”模型.抽奖规则如下：盒中装有7个大小相同的小球，其中3个是红球，4个是黄球.每位顾客均有两次抽奖机会，每次抽奖从盒中随机取出2球，若取出的球颜色不相同，则没有中奖，小球不再放回盒中，若取出的球颜色相同，则中奖，并将小球放回盒中、某顾客两次抽奖都中奖的概率为 ；该顾客第一次抽奖没有中奖的条件下，第二次抽奖中奖的概率为 .
9．石室校园，望楼汉阙，红墙掩映，步移景异！现有甲、乙、丙、丁四位校友到“文翁化蜀”、“锦水文风”、“魁星阁”、“银杏大道”4处景点追忆石室读书时光.若每人只去一处景点，设事件为“4个人去的景点各不相同”，事件为“只有甲去了锦水文风”，则 ， .
10．连续抛掷一枚质地均匀的硬币2次，每次结果要么正面向上，要么反面向上，且两种结果等可能．记事件A表示“2次结果中有正面向上，也有反面向上”，事件B表示“2次结果中最多有1次正面向上”，事件C表示“2次结果中没有正面向上”，有以下说法：
①事件B与事件C互斥；②；③事件A与事件B独立；其中所有正确的说法是 ．
11．给出下列各对事件，其中是相互独立事件的为 （填序号）．
①甲组有3名男生，2名女生；乙组有2名男生，3名女生．现从甲、乙两组中各选1名参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；
②容器内装有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，球除颜色外没有其他差异，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“再从剩下的7个球中任意取出1个，取出的是白球”；
③掷一枚骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 C A B ABD ABC AD BCD
1．C
【分析】由条件概率计算公式求解即可.
【详解】记“第一次抽到的卡片所标数字为奇数”，“第二次抽到的卡片所标数字为奇数”，
由题意得，，
所以．
故选：C
2．A
【分析】记事件A为摸出n个球颜色相同，事件B为摸出n个黑球，先由条件概率求出，再结合组合数的性质计算.
【详解】记事件A为摸出n个球颜色相同，事件B为摸出n个黑球，则
（第二个等式是因为）
，，因此
由组合数性质，故.
故选：A
3．B
【分析】根据要写条件，利用互斥事件、对立事件和相互独立的定义，逐一判断选项即可.
【详解】对于A，事件和事件可以同时发生，即抽取丁袋，事件与事件不互斥，A错误；
对于B，，，，事件与事件相互独立，B正确；
对于C，事件与事件可以同时发生，即抽取丁袋，事件与事件不对立，C错误；
对于D，，，，事件与事件不独立，D错误.
故选：B
4．ABD
【分析】A利用全概率公式求解；B利用条件概率求解；C 利用概率的乘法公式求解；D必备知识：无论第几次抽取黄球，其概率均为.
【详解】解：对于A、第二次摸出红球分两种情况：
第一次摸出黄球，第二次摸出红球，其概率为
第一次摸出红球，第二次摸出红球，其概率为，
可得第二次摸出红球的概率为：，所以选项A正确；
对于B、设“第一次摸出黄球”为事件A，“第二次摸出红球”为事件，
由选项A的分析可知，，
根据条件概率公式，所以选项B正确；
对于C、由选项A可知，第一次摸出黄球且第一次摸出红球的概率为，
所以选项C错误；
对于D、因为袋子里共有个球，其中黄球有7个，
所以每次摸出黄球的概率都是，即第三次摸出黄球的概率为，所以选项D正确.
故选：ABD.
5．ABC
【分析】根据相互独立事件的定义来判断各选项中的两个事件是否相互独立.分别求出各事件发生的概率以及它们同时发生的概率，然后进行比较.
【详解】抛掷一枚质地均匀的骰子，每次都有种不同的结果.
事件甲：第一次点数为奇数，即第一次掷出、、，共种情况，所以.
事件乙：第二次点数为偶数，即第二次掷出、、，共种情况，所以.
事件丙：两次点数相同，即、、、、、，共种情况，所以.
事件丁：两次点数之和为偶数，可分为“两次点数均为奇数”和“两次点数均为偶数”.
“两次点数均为奇数”有种情况，“两次点数均为偶数”也有种情况，所以.
甲与丙：甲与丙同时发生，即第一次点数为奇数且两次点数相同，有、、，
共种情况，所以.
而，即，所以甲与丙相互独立.
乙与丙：乙与丙同时发生，即第二次点数为偶数且两次点数相同，有、、，共种情况，所以.
而，即，所以乙与丙相互独立.
乙与丁：乙与丁同时发生，即第二次点数为偶数且两次点数之和为偶数，
也就是第一次点数也为偶数，有种情况，所以.
而，即，所以乙与丁相互独立.
丙与丁：丙与丁同时发生，即两次点数相同且两次点数之和为偶数，
也就是两次点数均为偶数或均为奇数，有、、、、、，共种情况，
所以.
而，即，所以丙与丁不相互独立.
甲与丙、乙与丙、乙与丁相互独立.
故选：ABC.
6．AD
【分析】利用独立事件的定义、条件概率公式、互斥事件的概率公式逐项判断即可.
【详解】对于A选项，，则事件、独立，A满足要求；
对于B选项，，则事件、互斥，B不满足要求；
对于C选项，因为为条件概率公式总成立，不能说明事件、独立，C不满足要求；
对于D选项，，则，D满足要求.
故选：AD.
7．BCD
【分析】根据给定条件，利用概率的基本性质、对立事件、相互独立事件及条件概率逐项分析判断.
【详解】对于A，依题意，，则，A错误；
对于B，，，，，则，互为对立，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，，D正确.
故选：BCD
8． /
【分析】根据相互独立事件的乘法公式和条件概率的计算公式求解.
【详解】由题意，某顾客两次抽奖都中奖的概率为，
设顾客第一次抽奖没有中奖为事件，第二次抽奖中奖为事件，
则，，
，
该顾客第一次抽奖没有中奖的条件下，第二次抽奖中奖的概率为.
故答案为：，.
9．
【分析】根据古典概型结合排列数计算，再应用条件概率公式计算求解即可.
【详解】由题意可知，4人去4个不同的景点，事件数有，总事件数为，
故，
又事件的总数为，所以，
事件和事件同时发生，即“只有甲去了锦水文风，另外3人去了另外3个不同的景点”，则事件的总数为，
所以，所以.
故答案为：.
10．②
【分析】有互斥事件的定义、古典概型求概率以及独立事件的乘法公式依次判断即可.
【详解】事件B包括“1次正面向上，1次反面向上”和“2次结果中没有正面向上”，事件B和事件C可以同时发生，①错误；
事件A表示“2次结果中有1次正面向上，有1次反面向上”，则，②正确；
，，，则③错误.
故答案为：②.
11．①③/③①
【分析】根据相互独立事件的定义判断①②，检验是否成立判断③．
【详解】①“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件．
②“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“再从剩下的7个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为．可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以两者不是相互独立事件．
③记事件 “出现偶数点”，事件 “出现3点或6点”，则，，，所以，，，所以，所以事件与相互独立．
故答案为：①③
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