三角函数与解三角形高频考点 押题练 2025年高考数学三轮复习备考

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三角函数与解三角形高频考点 押题练
2025年高考数学三轮复习备考
1．已知函数在上单调递增，在上单调递减，设为曲线的对称中心．
(1)求；
(2)记的角对应的边分别为，若，求边上的高长的最大值．
2．在中，内角所对的边分别为，且.
(1)求的值；
(2)若，求的长.
3．已知向量，函数.
(1)求函数的最小正周期及函数图象的对称轴；
(2)当，且时，求的值.
4．已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．
(1)求A；
(2)若，的面积为，求a的值．
5．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求B；
(2)设D为边的中点，若，的面积为14，求的长
6．在中，，BC边上的高等于．
(1)求的值；
(2)若，求的周长．
7．已知在中，角，，所对的边分别为，，，且.
(1)求；
(2)若，为边上一点，，，求的面积.
8．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量，，且．
(1)求A；
(2)若，求周长的最大值．
9．已知在中，角，，的对边分别是，，，若，.
(1)求；
(2)若的周长为，是内一点，且，求面积的最大值.
10．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)若，求B；
(2)若D为AC中点，且，求．
11．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)证明：a，b，c成等差数列；
(2)求B的最大值．
12．已知函数，其中．
(1)当时，求方程的解集；
(2)若是偶函数，当取最小值时，求函数的取值范围；
(3)若是常数函数，求的值．
参考答案
1．(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦型函数的单调性求出解析式，即可求；
（2）利用余弦定理得到，结合三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）因为在上单调递增，在上单调递减，
所以且，所以，可知，
又由，可知，所以，故，
由，可得，即．
（2），
化简得，
因为，所以，
所以，
又，所以，当且仅当时取等号，
所以，
所以，故长的最大值为．
2．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等变换计算可得；
（2）利用余弦定理计算可得，再由向量定比分点以及余弦定理计算可得的长.
【详解】（1）依题意可得，
得.
因为，所以，
则，
因为，所以，所以
（2）由题意得，
解得（负根已舍去）.
因为，所以，
所以由余弦定理可得.
3．(1)最小正周期为，对称轴为
(2)
【分析】（1）先求函数的解析式，利用性质可得答案；
（2）根据条件求出，，结合角之间的关系可求答案.
【详解】（1）因为，
所以
，所以.
最小正周期为，令,得，
即图象的对称轴为.
（2）由得，
因为，所以，所以；
.
4．(1)
(2)
【分析】（1）由已知结合正弦定理及余弦定理可求，进而可求；
（2）由已知结合三角形的面积公式可求，然后结合余弦定理即可求解．
【详解】（1）由得，由正弦定理得．
由余弦定理得．
，．
（2）由于的面积为，
，
，
由余弦定理得：．
．
5．(1)；
(2).
【分析】（1）先由正弦定理边化角已知条件，再由两角和正弦公式和诱导公式化简已知条件即可求解；
（2）先由题设求出，接着由正弦定理求出，进而由面积公式求出，再在三角形中由余弦定理即可计算求解.
【详解】（1）由正弦定理可得，
即.
在中，由，得，
所以，
又，，所以，所以；
（2）因为，所以，
所以，
所以，即，
因为，即，所以，
在三角形中，由余弦定理可得
，
所以.
6．(1)
(2)
【分析】（1）根据三角形的面积公式和正弦定理计算即可求解；
（2）根据正弦、余弦定理和完全平方公式计算可得，即可求解.
【详解】（1）设中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
由题意可得，即，
由正弦定理得，又，
所以．
（2）由正弦定理得，
由余弦定理得，
又，所以，
所以的周长为．
7．(1)
(2)
【分析】（1）结合正弦定理和诱导公式求解即可.
（2）在中根据余弦定理列方程，再把用和表示，两边平方列方程，解方程组求出边长即可求出三角形的面积.
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，
因为为三角形的内角，，所以，
又，
所以，
因此，
因为，，所以，
即，故的值为.
（2）由（1）知，且，
在△中，由余弦定理得，
即①
由于，
所以，
平方得，
即②
由①②得：，
所以△的面积为，
即所求面积为.
8．(1)
(2)
【分析】（1）由，得，由正弦定理求得，可得答案；
（2）由余弦定理得，利用基本不等式可得，可解周长最大值.
【详解】（1）.，，
，
根据正弦定理，
，，
，即，
，所以，则，
；
（2）由余弦定理，
得，
根据基本不等式，，可得，
则，当且仅当时，等号成立，
所以当时，周长最大值是6.
9．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，由正弦定理和三角函数的基本关系式，化简得，进而得到，即，得到，结合即可求解；
（2）由（1）和的周长为，求得，利用余弦定理，化简得到，结合基本不等式，求得，利用三角形的面积公式，即可求解.
【详解】（1）解：因为，由正弦定理得，
所以，则，
又因为，可得，
所以，则，所以，
因为且，所以.
（2）解：由（1）知，可得，
因为的周长为，所以，
由余弦定理得，
可得，
又由基本不等式可知，当且仅当时，等号成立，
即，解得，
所以面积最大值为.
10．(1)
(2)
【分析】（1）由题意，根据余弦定理，结合三角形内角性质以及正弦定理，可得答案；
（2）由题意，根据向量的基本性质，结合余弦定理，整理齐次方程，可得答案.
【详解】（1）由余弦定理得.
又，所以，即.
由正弦定理得，因为，所以，
因为，所以.又因为，所以.
（2）因为点是的中点，所以，
所以.
.
因为，所以.
又因为，所以，即，
解得.
11．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由正弦定理的边角互化以及正弦的和差角公式代入计算，即可证明；
（2）由余弦定理结合基本不等式代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）由，
结合正弦定理可得，
整理得，①
因为，所以，②
将②代入①，得，
再由正弦定理得，故a，b，c成等差数列．
（2）由余弦定理得
，
当且仅当时，等号成立，
由，可得，
所以B的最大值为．
12．(1)，或
(2)
(3)
【分析】（1）当时，，求解方程即可；
（2）的定义域为，由是偶函数得，展开并整理得，进而为正奇数，当取最小值即时，，化简，，利用换元法令，，将的值域问题转化为函数，且的值域即可.
（3）因为，，若是常数函数，则，当时不是常数函数；当时，通过说明不是常数函数；证明当时成立；当时，通过，说明不是常数函数即可.
【详解】（1）当时，，
由得：，解得，或，
即，或，
故所求方程的解集为，或；
（2）的定义域为，由是偶函数得：，即：
，
所以，
从而，进而，所以为正奇数，
当取最小值即时，，
所以，，
令，，则，且，
所以函数的值域转化为，且的值域，
对称轴，所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得最小值；当时，取得最大值；
又当时，，当时，；
故函数的取值范围为；
（3）因为，，所以若是常数函数，则，
①当时，由（1）知，不是常数函数；
②当时，，此时，，
不是常数函数；
③当时，
，
所以，是常数函数；
④当时，，不是常数函数；
综上所述：．
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