第六章 计数原理 专题四 利用二项式展开式的通项公式和构建不等式组求指定项的系数和展开式中项的系数的最小项 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第三册
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| 名称 | 第六章 计数原理 专题四 利用二项式展开式的通项公式和构建不等式组求指定项的系数和展开式中项的系数的最小项 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第三册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 347.4KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-05-14 17:28:54 | ||
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文档简介
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计数原理 专题四 利用二项式展开式的通项公式和构建不等式组求指定项的系数和展开式中项的系数的最小项
2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第三册
一、单选题
1．已知的展开式中第3项与倒数第3项的二项式系数之和等于72，则该展开式中的常数项为（ ）
A． B． C． D．
2．在的展开式中，的系数为（ ）
A．200 B．180 C．150 D．120
3．在的展开式中，若仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第（ ）项.
A． B． C．2或3 D．3或4
4．已知的展开式中第9项是常数项，则展开式中系数的绝对值最大的项是（ ）
A．第6项 B．第7项
C．第8项 D．第9项
二、多选题
5．已知，且展开式第6项与第7项的二项式系数相等，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．在的展开式中，则（ ）
A．x的系数为135 B．第4项的二项式系数为10
C．无常数项 D．所有项的系数之和为125
7．在（是常数）的展开式中，各项的二项式系数中只有第4项最大，且的系数为160，则（ ）
A． B．
C．展开式中的常数项为240 D．各项系数的和为
8．在的展开式中二项式系数之和是64，则下列说法正确的是（ ）
A．二项式系数最大的项是第4项 B．展开式没有常数项
C．各项系数之和为 D．系数最大的项是第3项
三、填空题
9．二项式的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，则展开式中的系数为 .
四、解答题
10．已知在的展开式中第二项的二项式系数是5.
(1)求的值；
(2)求展开式中含的项.
11．（1）已知的展开式中，各项的系数和比各项的二项式系数和大240，求展开式中二项式系数最大的项.
（2）已知的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，求该展开式中系数最大的项.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D D C BC BC AC AD
1．A
【分析】根据给定条件，列式求出，再求出二项展开式的通项，进而求出幂指数为0的项即可.
【详解】依题意，，即，而n为正整数，解得，
则展开式的通项公式为，
由，解得，
所以该展开式中的常数项为.
故选：A.
2．D
【分析】利用二项展开式的通项公式进行合理赋值即可得到答案.
【详解】的展开式的二项式通项为，令，则．
的展开式的二项式通项为，
令，可得．
故项的系数为．
故选：D.
3．D
【分析】首先根据二项式系数最大值问题求，再根据第项的系数大于前一项，也大于后一项，根据不等式，即可求解.
【详解】由的展开式中，仅第5项的二项式系数最大，得展开式共9项，则，
的展开式的通项公式，
设展开式中系数最大项是，则，即，
解得，而，因此或，，，
所以展开式中系数最大的项是第3或4项.
故选：D.
4．C
【分析】先求出展开式的通项，从而依据展开式中第9项是常数项得到，再依据第项的系数绝对值大于或等于第项且大于或等于第项列不等式组即可求得.
【详解】由题意，二项式展开式的通项公式为：
因为展开式中第9项是常数项，故，解得，
故第项的系数绝对值为.
设展开式中第项的系数绝对值最大，则有
由①可得：，即，解得；
由②可得：，即，解得.
即，又因为，故，即第8项的系数绝对值最大.
故选：C.
5．BC
【分析】先求出，然后利用赋值法判断选项A，B，C的正误；然后将二项式两边求导，再赋值即可判断选项D的正误.
【详解】因为第6项与第7项的二项式系数相等，所以，则.
令，得，所以选项A不正确；
令，得，所以，所以选项B正确；
令，得，所以，所以，所以选项C正确；
因为，所以两边同时求导得
，令，得，
所以，所以选项D错误．
故选：BC．
6．BC
【分析】求出二项展开式的通项公式，再逐项计算判断即可.
【详解】的展开式的通项公式为，
对于A，令，则，故的系数为，
故A错误；
对于B，令，则，故第4项的二项式系数为，故B正确；
对于C，因为为奇数，故展开式中无常数项，故C正确；
对于D，令，则所有项的系数之和为，故D错误；
故选：BC.
7．AC
【分析】利用二项式系数的性质判断A；利用二项展开式式的通项公式判断BC；利用赋值法判断D.
【详解】对于A，因为展开式中二项式系数只有第4项最大，所以展开式共有7项，则，故A正确；
对于B，展开式的通项，
令，得，因为的系数为160，所以，解得，故B错误；
对于C，令，得，所以常数项为，故C正确；
对于D，在中，令，得的展开式中各项系数的和为，故D错误．
故选：AC.
8．AD
【分析】由二项式系数之和为可得的值，写出二项式展开式的通项，当为偶数时，二项式系数最大项为第项判断A，根据通项公式求常数项判断B，令即可得各项系数之和判断C，根据二项式的通项公式求解系数最大项即可判断D.
【详解】因为二项式系数之和为64，即有，所以，
则的通项，
对于A，二项式系数最大的是，它是第4项的二项式系数，正确；
对于B，令，得，得常数项为，错误；
对于C，令，得该展开式的各项系数之和为，错误；
对于D，由通项公式可得为偶数时，系数才有可能取到最大值，
由，
可知展开式中系数最大的项是第3项，正确.
故选：AD
9．
【分析】依题意可得，即可求出，再由展开式的通项计算可得.
【详解】二项式展开式的通项为（且），
依题意，所以，
所以二项式展开式的通项为（且），
令，解得，所以，
所以展开式中的系数为为.
故答案为：
10．(1)
(2)
【分析】（1）依题意可得，即可得解；
（2）写出展开式的通项，令，解得，再代入计算可得.
【详解】（1）二项式展开式的通项为（其中且），
依题意可得，解得；
（2）二项式展开式的通项为（其中且），
令，解得，
所以，即展开式中含的项为.
11．（1）；（2）
【分析】（1）利用赋值法表示出系数和，由题意建立方程求得指数，结合通项即可求解；
（2）由题意求得，设第项的系数最大，建立方程求得指数，代入通项即得答案.
【详解】（1）令，可得各项系数和为，
展开式各项的二项式系数之和为，
由已知得，
即，
解得或（舍去），
所以，
故的展开式中二项式系数最大的项为.
（2）由题意可知，解得，
故展开式的通项为，
设第项的系数最大，则，
，解得，
因为，所以，
故展开式中的系数最大的项为.
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计数原理 专题四 利用二项式展开式的通项公式和构建不等式组求指定项的系数和展开式中项的系数的最小项
2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第三册
一、单选题
1．已知的展开式中第3项与倒数第3项的二项式系数之和等于72，则该展开式中的常数项为（ ）
A． B． C． D．
2．在的展开式中，的系数为（ ）
A．200 B．180 C．150 D．120
3．在的展开式中，若仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第（ ）项.
A． B． C．2或3 D．3或4
4．已知的展开式中第9项是常数项，则展开式中系数的绝对值最大的项是（ ）
A．第6项 B．第7项
C．第8项 D．第9项
二、多选题
5．已知，且展开式第6项与第7项的二项式系数相等，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．在的展开式中，则（ ）
A．x的系数为135 B．第4项的二项式系数为10
C．无常数项 D．所有项的系数之和为125
7．在（是常数）的展开式中，各项的二项式系数中只有第4项最大，且的系数为160，则（ ）
A． B．
C．展开式中的常数项为240 D．各项系数的和为
8．在的展开式中二项式系数之和是64，则下列说法正确的是（ ）
A．二项式系数最大的项是第4项 B．展开式没有常数项
C．各项系数之和为 D．系数最大的项是第3项
三、填空题
9．二项式的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，则展开式中的系数为 .
四、解答题
10．已知在的展开式中第二项的二项式系数是5.
(1)求的值；
(2)求展开式中含的项.
11．（1）已知的展开式中，各项的系数和比各项的二项式系数和大240，求展开式中二项式系数最大的项.
（2）已知的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，求该展开式中系数最大的项.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D D C BC BC AC AD
1．A
【分析】根据给定条件，列式求出，再求出二项展开式的通项，进而求出幂指数为0的项即可.
【详解】依题意，，即，而n为正整数，解得，
则展开式的通项公式为，
由，解得，
所以该展开式中的常数项为.
故选：A.
2．D
【分析】利用二项展开式的通项公式进行合理赋值即可得到答案.
【详解】的展开式的二项式通项为，令，则．
的展开式的二项式通项为，
令，可得．
故项的系数为．
故选：D.
3．D
【分析】首先根据二项式系数最大值问题求，再根据第项的系数大于前一项，也大于后一项，根据不等式，即可求解.
【详解】由的展开式中，仅第5项的二项式系数最大，得展开式共9项，则，
的展开式的通项公式，
设展开式中系数最大项是，则，即，
解得，而，因此或，，，
所以展开式中系数最大的项是第3或4项.
故选：D.
4．C
【分析】先求出展开式的通项，从而依据展开式中第9项是常数项得到，再依据第项的系数绝对值大于或等于第项且大于或等于第项列不等式组即可求得.
【详解】由题意，二项式展开式的通项公式为：
因为展开式中第9项是常数项，故，解得，
故第项的系数绝对值为.
设展开式中第项的系数绝对值最大，则有
由①可得：，即，解得；
由②可得：，即，解得.
即，又因为，故，即第8项的系数绝对值最大.
故选：C.
5．BC
【分析】先求出，然后利用赋值法判断选项A，B，C的正误；然后将二项式两边求导，再赋值即可判断选项D的正误.
【详解】因为第6项与第7项的二项式系数相等，所以，则.
令，得，所以选项A不正确；
令，得，所以，所以选项B正确；
令，得，所以，所以，所以选项C正确；
因为，所以两边同时求导得
，令，得，
所以，所以选项D错误．
故选：BC．
6．BC
【分析】求出二项展开式的通项公式，再逐项计算判断即可.
【详解】的展开式的通项公式为，
对于A，令，则，故的系数为，
故A错误；
对于B，令，则，故第4项的二项式系数为，故B正确；
对于C，因为为奇数，故展开式中无常数项，故C正确；
对于D，令，则所有项的系数之和为，故D错误；
故选：BC.
7．AC
【分析】利用二项式系数的性质判断A；利用二项展开式式的通项公式判断BC；利用赋值法判断D.
【详解】对于A，因为展开式中二项式系数只有第4项最大，所以展开式共有7项，则，故A正确；
对于B，展开式的通项，
令，得，因为的系数为160，所以，解得，故B错误；
对于C，令，得，所以常数项为，故C正确；
对于D，在中，令，得的展开式中各项系数的和为，故D错误．
故选：AC.
8．AD
【分析】由二项式系数之和为可得的值，写出二项式展开式的通项，当为偶数时，二项式系数最大项为第项判断A，根据通项公式求常数项判断B，令即可得各项系数之和判断C，根据二项式的通项公式求解系数最大项即可判断D.
【详解】因为二项式系数之和为64，即有，所以，
则的通项，
对于A，二项式系数最大的是，它是第4项的二项式系数，正确；
对于B，令，得，得常数项为，错误；
对于C，令，得该展开式的各项系数之和为，错误；
对于D，由通项公式可得为偶数时，系数才有可能取到最大值，
由，
可知展开式中系数最大的项是第3项，正确.
故选：AD
9．
【分析】依题意可得，即可求出，再由展开式的通项计算可得.
【详解】二项式展开式的通项为（且），
依题意，所以，
所以二项式展开式的通项为（且），
令，解得，所以，
所以展开式中的系数为为.
故答案为：
10．(1)
(2)
【分析】（1）依题意可得，即可得解；
（2）写出展开式的通项，令，解得，再代入计算可得.
【详解】（1）二项式展开式的通项为（其中且），
依题意可得，解得；
（2）二项式展开式的通项为（其中且），
令，解得，
所以，即展开式中含的项为.
11．（1）；（2）
【分析】（1）利用赋值法表示出系数和，由题意建立方程求得指数，结合通项即可求解；
（2）由题意求得，设第项的系数最大，建立方程求得指数，代入通项即得答案.
【详解】（1）令，可得各项系数和为，
展开式各项的二项式系数之和为，
由已知得，
即，
解得或（舍去），
所以，
故的展开式中二项式系数最大的项为.
（2）由题意可知，解得，
故展开式的通项为，
设第项的系数最大，则，
，解得，
因为，所以，
故展开式中的系数最大的项为.
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