第七章 随机变量及其分布 专题五 利用期望方差的性质和正态分布的对称性结合基本不等式求解新随机变量的期望方差和最值 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第三册
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| 名称 | 第七章 随机变量及其分布 专题五 利用期望方差的性质和正态分布的对称性结合基本不等式求解新随机变量的期望方差和最值 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第三册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 364.6KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-05-14 17:28:54 | ||
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文档简介
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随机变量及其分布 专题五 利用期望方差的性质和正态分布的对称性结合基本不等式求解新随机变量的期望方差和最值
2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第三册
一、单选题
1．已知随机变量的分布列如表
-1 0 1
P
若，则（ ）
A．或 B．或 C． 或 D．
2．已知随机变量服从二项分布，且，，则（ ）
A．7 B．3 C．6 D．2
3．已知随机变量，且，则当时，的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．若随机变量，且，则的最小值为（ ）
A．8 B．10 C． D．
二、多选题
5．已知随机变量服从正态分布，随机变量，若，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知随机变量的分布列为．若，则（ ）
A．随机变量的均值为1 B．随机变量的均值为2
C．随机变量的方差为3 D．随机变量的方差为
7．已知，且（均为正数），则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
8．若随机变量，随机变量，则 ．
9．已知随机变量，且，则的最小值为 ．
10．已知随机变量服从标准正态分布，， 其中，的平均数为的平均数为， 则样本数据的平均数的最小值为 .
四、解答题
11．已知随机变量X的分布列如表所示，且．
X 0 1 x
P p
(1)求的值；
(2)若，求的值；
(3)若，求的值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 B B B C BCD AD AD
1．B
【分析】根据概率之和为1，以及方差的计算公式求解即可.
【详解】由题意得，即①，
，，
又因为，所以②，
联立①，②，解得，所以，
当时，；当时，，
故，解得或.
故选：B.
2．B
【分析】根据方差的性质求出，再由二项分布的方差公式得到方程，求出，再检验，即可求出，再由期望的性质计算可得.
【详解】由题意得，所以，
又，则，解得或．
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意．
所以，所以，所以．
故选：B
3．B
【分析】利用正态曲线关于直线对称，得出，即，再利用基本不等式，即可求出结果．
【详解】由题意知，随机变量，
所以正态曲线关于直线对称，
又，
所以，即，
所以，
因为，则，
所以
，
当且仅当，时取等号，
所以的最小值为．
故选：B．
4．C
【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性可得，再借助二次函数求出最小值.
【详解】由随机变量，且，得，
则，当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
故选：C
5．BCD
【分析】根据正态分布的意义,对称性及法则可得结果.
【详解】对于选项A，B：由得，，
因为，所以，，而，所以，得，故A错误、B正确．
对于选项C：由于，所以，即，故C正确．
对于选项D：依题意得，所以，
即，故D正确．
故选：BCD.
6．AD
【分析】根据题意，由随机变量的期望的计算公式即可判断A，再由期望的性质即可B，由随机变量方差的计算公式即可判断C，再由方差的性质即可判断D
【详解】由题可得，，
，，
故，A正确；
，B错误；
，C错误；
，D正确．
故选：AD
7．AD
【分析】根据题设得，对于选项A，利用基本不等式，即可求解；对于B，利用基本不等式，再结合选项A中结果，即可求解；对于C，通过取特殊值，，即可求解；对于D，通过变形得，根据条件，利用选项A中结果，即可求解.
【详解】因为随机变量，且，由正态曲线的对称性，可得，
对于选项A，∵，，所以，可得，解得，
当且仅当时，等号成立，所以选项A正确，
对于选项B，由，当且仅当，
即时取等号，由选项A知，，当且仅当时，等号成立，
所以，故选项B错误，
对于选项C，令，，满足，此时，所以选项C错误，
对于选项D， 因为由选项A知，
所以，当且仅当时取等号，所以选项D正确，
故选：AD.
8．/
【分析】利用正态分布的两个参数就是随机变量的期望和方差，再由两个线性随机变量之间的期望和方差公式，即，，就可以求出结果.
【详解】由可知：，
又因为，所以，
，则.
故答案为：.
9．
【分析】由正态分布的对称性求得参数的值，再用基本不等式求出的最小值，即可得到答案.
【详解】由随机变量，则正态分布的曲线的对称轴为．
又因为，所以，解得．
当时，由基本不等式得，.
将两个不等式相加，就有，从而.
而当时，有.
所以的最小值为．
故答案为：.
10．
【分析】由正态分布概率计算确定，再结合基本不等式即可求解.
【详解】由题意得，，
故答案为：
11．(1)
(2)
(3)5
【分析】（1）利用离散型随机变量的分布列的性质以及期望和方差的计算公式即可求解；
（2）利用方差的性质求解即可；
（3）利用方差的性质求解即可.
【详解】（1）由题意可知，解得，
又∵，解得．
∴．
（2）∵，
∴．
（3）∵，
∴．
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随机变量及其分布 专题五 利用期望方差的性质和正态分布的对称性结合基本不等式求解新随机变量的期望方差和最值
2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第三册
一、单选题
1．已知随机变量的分布列如表
-1 0 1
P
若，则（ ）
A．或 B．或 C． 或 D．
2．已知随机变量服从二项分布，且，，则（ ）
A．7 B．3 C．6 D．2
3．已知随机变量，且，则当时，的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．若随机变量，且，则的最小值为（ ）
A．8 B．10 C． D．
二、多选题
5．已知随机变量服从正态分布，随机变量，若，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知随机变量的分布列为．若，则（ ）
A．随机变量的均值为1 B．随机变量的均值为2
C．随机变量的方差为3 D．随机变量的方差为
7．已知，且（均为正数），则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
8．若随机变量，随机变量，则 ．
9．已知随机变量，且，则的最小值为 ．
10．已知随机变量服从标准正态分布，， 其中，的平均数为的平均数为， 则样本数据的平均数的最小值为 .
四、解答题
11．已知随机变量X的分布列如表所示，且．
X 0 1 x
P p
(1)求的值；
(2)若，求的值；
(3)若，求的值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 B B B C BCD AD AD
1．B
【分析】根据概率之和为1，以及方差的计算公式求解即可.
【详解】由题意得，即①，
，，
又因为，所以②，
联立①，②，解得，所以，
当时，；当时，，
故，解得或.
故选：B.
2．B
【分析】根据方差的性质求出，再由二项分布的方差公式得到方程，求出，再检验，即可求出，再由期望的性质计算可得.
【详解】由题意得，所以，
又，则，解得或．
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意．
所以，所以，所以．
故选：B
3．B
【分析】利用正态曲线关于直线对称，得出，即，再利用基本不等式，即可求出结果．
【详解】由题意知，随机变量，
所以正态曲线关于直线对称，
又，
所以，即，
所以，
因为，则，
所以
，
当且仅当，时取等号，
所以的最小值为．
故选：B．
4．C
【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性可得，再借助二次函数求出最小值.
【详解】由随机变量，且，得，
则，当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
故选：C
5．BCD
【分析】根据正态分布的意义,对称性及法则可得结果.
【详解】对于选项A，B：由得，，
因为，所以，，而，所以，得，故A错误、B正确．
对于选项C：由于，所以，即，故C正确．
对于选项D：依题意得，所以，
即，故D正确．
故选：BCD.
6．AD
【分析】根据题意，由随机变量的期望的计算公式即可判断A，再由期望的性质即可B，由随机变量方差的计算公式即可判断C，再由方差的性质即可判断D
【详解】由题可得，，
，，
故，A正确；
，B错误；
，C错误；
，D正确．
故选：AD
7．AD
【分析】根据题设得，对于选项A，利用基本不等式，即可求解；对于B，利用基本不等式，再结合选项A中结果，即可求解；对于C，通过取特殊值，，即可求解；对于D，通过变形得，根据条件，利用选项A中结果，即可求解.
【详解】因为随机变量，且，由正态曲线的对称性，可得，
对于选项A，∵，，所以，可得，解得，
当且仅当时，等号成立，所以选项A正确，
对于选项B，由，当且仅当，
即时取等号，由选项A知，，当且仅当时，等号成立，
所以，故选项B错误，
对于选项C，令，，满足，此时，所以选项C错误，
对于选项D， 因为由选项A知，
所以，当且仅当时取等号，所以选项D正确，
故选：AD.
8．/
【分析】利用正态分布的两个参数就是随机变量的期望和方差，再由两个线性随机变量之间的期望和方差公式，即，，就可以求出结果.
【详解】由可知：，
又因为，所以，
，则.
故答案为：.
9．
【分析】由正态分布的对称性求得参数的值，再用基本不等式求出的最小值，即可得到答案.
【详解】由随机变量，则正态分布的曲线的对称轴为．
又因为，所以，解得．
当时，由基本不等式得，.
将两个不等式相加，就有，从而.
而当时，有.
所以的最小值为．
故答案为：.
10．
【分析】由正态分布概率计算确定，再结合基本不等式即可求解.
【详解】由题意得，，
故答案为：
11．(1)
(2)
(3)5
【分析】（1）利用离散型随机变量的分布列的性质以及期望和方差的计算公式即可求解；
（2）利用方差的性质求解即可；
（3）利用方差的性质求解即可.
【详解】（1）由题意可知，解得，
又∵，解得．
∴．
（2）∵，
∴．
（3）∵，
∴．
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