人教新课标A版选修2-2数学1.3导数在研究函数中的运用同步练习

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1.3导数在研究函数中的运用同步练习
1. 曲线f(x)=x㏑x在点x=1处的切线方程是（ ）
A． y=2x+2 B．y=2x-2 C．y=x-1 D．y=x+1
答案：C
解析：解答：根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成一般式即可解：y=xlnx, =1×ln+x =1+lnx, =1又当x=1时y=0，∴切线方程为y=x-1即x-y-1=0，故选：C
分析：此题主要考查导数的计算，以及利用导数研究曲线上某点切线方程，属于基础题
2.曲线y= 在点（1，-1）处的切线方程为
A．y=x-2 B．y=-3x+2 C．y=2x-3 D．y= -2x+1
答案：D
解析：解答：根据题意 ，由于曲线y=,则可知其导数，故当x=1时，则可知导数值为-2，则由点斜式方程可知为y= -2x+1，选D.
分析：主要是考查了导数在研究曲线的切线方程中的运用，属于基础题。
3. 函数的单调递减区间为（ ）
A.(-1，1] B.(0，1] C.[1，) D.(0，)
答案：B
解析：解答：根据题意，对于函数，由于（x>0），可知，当y’<0时，则可知0分析：本题考查利用导数求函数的单调区间，注意首先应求函数的定义域
4.已知f(x)＝x3＋x，若a，b，，且a＋b>0，a＋c>0，b＋c>0，则f(a)＋f(b)＋f(c)的值(　 　)
A．一定大于0 B．一定等于0
C．一定小于0 D．正负都有可能
答案：A
解析：解答：由可知函数在定义域内为增函数,又为奇函数，则a+b>0得a>-b，，故，同理，，三式相加可得，即.
分析：此题利用函数的单调性解决不等式，有一定的技巧，属于中档题。
5. 设函数在R上可导，其导函数为且函数的图像如图所示，则下列结论一定成立的是（ ）
A．函数 的极大值是 ，极小值是
B．函数 的极大值是 ，极小值是
C．函数 的极大值是 ，极小值是
D．函数 的极大值是 ，极小值是
答案：D
解析：解答：当时，且，所以；当时，且，所以；当时，且，所以；当时，且，所以。综上可得或时，；当或，即时，。所以在和上单调递增，在上单调递减。当时取得极大值为；当时取得极小值为。故D正确。
分析：此题综合考察了函数，函数图像，导数的关系，难度较大
6.若函数在区间单调递增，则k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：解答：，由已知得在恒成立，故，因为x>1，所以，故k的取值范围是．
分析： 非常函数f(x)在区间[a,b]上递增，则导函数在区间[a,b]上有
7. 函数，则（ ）
A．在 上递增； B．在 上递减；
C．在 上递增； D．在 上递减
答案：D
解析：解答：因为函数，所以lnx+1, >0,解得x> ,则函数的单调递增区间为，又<0,解得0分析：非常函数f(x)在区间[a,b]上递增，则导函数在区间[a,b]上有，非常函数f(x)在区间[a,b]上递减，则导函数在区间[a,b]上有
8. 已知定义域为R的函数满足，且对任意实数x，总有
则不等式＜3x－15的解集为(　　)
A．(﹣∞，4）
B．（﹣∞，﹣4）
C．（﹣∞，﹣4）∪（4，﹢∞）
D．（4，﹢∞）
答案：C
解析：解答：设,则所求的不等式解集可理解为使的解集.的导函数为,根据题意可知对任意实数x恒成立,所以在R上单调递减.则,令,则根据单调递减可知:.
分析： 求不等式＜3x－15的解集，可以转化为求的解集，考查构造函数，难度较大
9. 函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f ′（x）在（a，b）内的图象如下图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极大值点的个数为（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案：B
解析：解答：函数在点处连续且，若在点附近左侧，右侧，则点为函数的极大值点，满足定义的点有2个.
分析： 导数为0的点是函数极值的可疑点，当导函数图像从上往下穿过x轴时，为极大值点，从下往上穿过x轴时是极小值点，不穿过x轴时为驻点
10. 若函数的导函数则函数的单调递减区间是（ ）
A.（0,2） B.（-3，-1） C.（1，3） D.（2,4）
答案：A
解析：解答：由<0得，，所以，函数的减区间为（1,3）；又函数的的图像向左平移1个单位即得到函数的图象，所以，函数的单调递减区间是（0，2），选A。
分析：简单题，在某区间，导数非负，函数为增函数，导数非正，函数为减函数。
11. 下列函数中，x＝0是其极值点的是 (　　)．
A．y＝－ B．y＝cos2x
C．y＝tan x－x D．y＝
答案：B
解析：解答：对于B，，当x=0，，函数图像从上往下穿过x轴，所以x=0是函数的极大值点，故选B
分析：导数为0的点是函数极值的可疑点，当导函数图像从上往下穿过x轴时，为极大值点，从下往上穿过x轴时是极小值点，不穿过x轴时为驻点
12. 函数的最大值为（ ）
A. B.e C. D.
答案：A
解析：解答：，令，x=e，此时函数图像从上往下穿过x轴，所以x=e是函数的极大值点，在这里也是最大值点，所以最大值为，故选A
分析：f(x)在区间[a,b]上连续，则F(x)的最大值在f(x)的端点和极大值点中取到
13. 当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A.[-5,-3] B.[-6,1] C.[-6,-2] D. [-4,-3]
答案：C
解析：解答：不等式变形为．当x=0时，，故实数a的取值范围是R；当时，，记，，故函数递增，则，故；当时，，记，令，得x=-1或x=9（舍去），当时，；当时，，故，则．综上所述，实数a的取值范围是[-6,-2]．
分析：先用分离常数法把不等式变为只含有x的式子，是此题解题的关键
14.若函数，则（ ）
A．最大值为1，最小值为
B．最大值为1，无最小值
C．最小值为 ，无最大值
D．既无最大值也无最小值查看解析 ( http: / / www.21cnjy.com / " \t "_blank )添 ( http: / / www.21cnjy.com / " \t "_blank )
答案：D
解析：解答：，令，得想x<0或x>1，令，得，因此函数在上单调递增，在(0,1)上单调递减，在(1,+)上单调递增，所以在x=0时，函数取得极大值1，在x=1时，函数取得极小值，但是函数在(-,+)上，既无最大值也无最小值，弄清楚极值与最值是两个不同的概念，就不会选错答案，此处选择D.
分析：弄清楚极值与最值是两个不同的概念.
15. 已知函数的图像与x轴恰有两个公共点，则c= ( )
A．-2或2 B．-9或3 C．-1或1 D．-3或1
答案：A
解析：解答：对函数进行求导即，确定函数的单调性并判断函数的极值点，即令，可得x>1或x<-1；令，可得-1分析： 利用一元三次函数图像的性质解题，难度较大
16. 曲线在点（1，3）处的切线方程为 　 ．
答案：
解析：解答：．先求出导函数，然后x=1得，k=2，再由所求切线方程过点（1，3），所以所求切线方程为：y-3=2(x-1)，化简整理得．故答案为．
分析： 函数在某一点的导数是过该点切线的斜率
17. 函数的单调递增区间是
答案：（0，e）
解析：解答： 因为, ,所以, ，0分析：简单题，在指定区间，导函数值非负，函数为增函数，导函数值非正，函数为减函数。
18. 如图是函数的导函数的图象，对此图象，有如下结论：
①在区间（-2，1）内是增函数；
②在区间（1，3）内是减函数；
③在时，取得极大值；
④在时，取得极小值。
其中正确的是 　 ．
答案：③
解析：解答：由 的图象可知，（-3，-），，函数为减函数；所以，①在区间（-2，1）内是增函数；不正确；②在区间（1，3）内是减函数；
不正确；x=2时， =0，且在x=2的两侧导数值先正后负，③在时，取得极大值；而，x=3附近，导函数值为正，所以，④在时，取得极小值。不正确。
故答案为③。
分析：简单题，在某区间，函数的导数非负，函数为增函数，函数的导数非正，函数为减函数。
19. 函数在区间上的最大值是 　 ．
答案：
解析：解答：对函数y=x+2cosx进行求导，研究函数在区间上的极值，本题极大值就是最大值．解：∵y=x+2cosx，∴y′=1-2sinx，令y′=0而x∈[0，]则x=当x∈[0，]时，y′＞0．当x∈[，]时，y′＜0．所以当x=时取极大值，也是最大值；故答案为
分析：本题考查了利用导数求闭区间上函数的最大值问题，属于导数的基础题
20. 函数在(0,1)内有极小值，则实数b的取值范围 　
答案：(0,1)
解析：解答：∵f（x）=x2－2bx+3a的导数为f'（x）=2x－2b，
∴f（x）极小值点是方程2x－2b=0的根，即x=b，
又∵函数f（x）在区间（0，1）内有极小值，
∴0＜b＜1，故答案为(0,1)
分析： 简单题，由二次函数的极小值点在指定区间内，求参数的取值范围，一般可利用导数求函数极值和二次函数的性质等求解。
21. 已知曲线y=在x=x0处的切线L经过点P(2，)，求切线L的方程。
答案：解：设切于点Q(，)， y'=x 2
则y－=2(x－)经过(2，)
－3+4=0 解得 =－1，或=2
∴所求的切线方程为12x－3y－16=0或3x－y+2=0
解析： 分析：函数在某一点的导数是过该点切线的斜率
22. 已知函数．
（1）试判断函数的单调性，并说明理由；
答案：解：（1）
故在递减
（2）若恒成立，求实数k的取值范围．
答案：由得 记，
再令，则
时 h(x)在上递增。
，从而 故在上也单调递增,
解析： 分析：主要是考查了函数单调性的运用，以及函数单调性与导数的符号的关系的运用，属于中档题。
23. 已知函数的图象过点P（0，2），且在点M（－1，）处的切线方程。
（1）求函数的解析式；
答案：由的图象经过点P(0,2)，知d=2。
所以，则
由在处的切线方程是知，即。所以3-2b+c=6,-1+b-c+2=1解得b=c=-3。
故所求的解析式是。
（2）求函数与的图像有三个交点，求a的取值范围。
答案：因为函数g(x)与 的图像有三个交点
所以有三个根
即有三个根
令，则的图像与y=a图像有三个交点。
接下来求的极大值与极小值（表略）。的极大值为 的极小值为2
因此
解析： 分析： （1）将点P(0,2)代入函数解析式可得d的值，将代入直线可得的值，再由切线方程可知切线的斜率为6，由导数的几何意义可知即，解由和组成的方程组可得b,c的值。（2）可将问题转化为有三个不等的实根问题，将整理变形可得，令，则的图像与y=a图像有三个交点。然后对函数求导，令导数等于0求其根。讨论导数的符号，导数正得增区间，导数负得减区间，根据函数的单调性得函数的极值，数形结合分析可得出a的取值范围。
24. 已知命题p:函数在上单调递增，命题q：函数在R上是增函数.
（1）若p或q为真命题，求a的取值范围；
（2）若或为真命题，求a的取值范围.
答案：(1） ；（2）
解析：解答：解：若命题p 为真，则有 ，即 ,若命题q 为真，a>0
（1）若 为真，则,即a 的取值范围是 .
（2） 为真,则a<-2， 为真，则， 为真时，
即a的取值范围是
分析： （1）利用函数的单调性分别求出命题p和命题q所对应的集合，然后求出这两个集合的并集即可；
（2）由（1）的结果求出命题和命题所对应的集合，然后求出这两个集合的并集即可.
25. 若函数．当x=2时，函数取得极值．
（1）求函数的解析式；
答案：,所以,.即12a-b=0,8a-2b+4=,由此可解得,b=4 ∴
（2）若函数=k有3个解，求实数k的取值范围．
答案：, 所以在x=-2处取得极大值,在x=2处取得极小值 所以
解析： 分析：（1）求函数的定义域；（2）求函数的导数，令，求方程的所有实数根；（3）考察在各实数根左、右的值的符号：
①如果在x0两侧符号相同，则不是的极值点；②如果在附近的左侧，右侧，则是极大值；③如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值．
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