人教新课标A版选修2-2数学1.4生活中的优化问题举例同步练习

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1.4生活中的优化问题举例同步练习
1. 函数的单调递增区间是 （ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：解答：,解得x>2,故选D．
分析：导函数在区间（a,b）有，则函数f(x)在区间（a,b）上递增
2. 已知是R上的单调增函数，则b的取值范围是( ）
A.或 B. C. D.或
答案：B
解析：解答：先求出函数为递增时b的范围，∵已知∴y′=x2+2bx+b+2，∵f（x）是R上的单调增函数，∴x2+2bx+b+2≥0恒成立，∴△≤0，即b2 b 2≤0，则b的取值是1≤b≤2，故选B.
分析：函数在R上单调递增，即导函数在R上非负。
3. 已知函数的导函数为, ,如果,则实数x的取值范围为（ ）
A. B.(0,) C.(-1,) D.(-1,1)
答案：B
解析：解答：因为在R上恒成立，所以f(x)在R上递增，又，所以-1分析：简单题，利用函数的单调性即可解题
4. 函数的图象过原点且它的导函数的图象是如图所示的一条直线, 则的图象的顶点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案：A
解析：解答：由图像得与x轴的正半轴相交，设为（a,0）,当xa,f(x)递减，所以（a,f(a)）是函数的顶点，又函数的图象过原点，所以f(a)>f(0)=0,故选A
分析：简单题，利用函数的单调性解题
5. 已知函数上任一点处的切线斜率，则该函数的单调减区间为 ( )
A.[-1,+] B.(-,2] C.(-,-1),(-1,2) D.[2,+)
答案：B
解析：解答：易得，令，，故选B
分析：简单题，函数的导数即过该点的切线的斜率
6. 函数，是单调函数，则b的取值范围（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：解答：因为函数在上为单调函数，所以所以,.
分析：二次函数在对称轴的两侧是单调的
7. 已知是奇函数，当时，，当时，的最小值为1，则a的值等于（ ）
A. B. C. D.1
答案：D
解析：解答：根据奇函数关于原点对称，在内有最大值-1，又，可知当时取最大值，代入可得a=1.
分析：f(x)在（0,2）上的最小值就是f(x)在（-2,0）的最大值
8. 若函数在R上可导，且满足，则（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：解答：由于，恒成立，因此在R上时单调递增函数，，即，故答案为A
分析：熟练掌握求导公式，构造函数解题，本题难度较大
9. 函数f(x)的定义域为R，f(－1)=2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x+4的解集为（ ）
A．(－1，1) B．(－1，+∞)
C．(－∞，－1) D．(－∞，+∞)
答案：B
解析：解答：依题意可设，所以.所以函数g(x)在R上单调递增又因为.所以要使>0，只需要x>-1.故选B.
分析：构造函数方法解题，属于中档题
10. 设函数在定义域内可导，的图象如图，则导函数的图象可能为 （ ）
A．
B．
C．
D．
答案：D
解析：解答：根据函数的图象，函数在上是增函数，，在上先增再减后又增，则先正再变负最后变成正，所以选D
考点：函数的单调性与的关系；
分析：函数f(x)递增（递减），导函数（）。
11. 函数存在与直线平行的切线，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：解答：直线的斜率为2，且，令得，因为x>0，则，所以.故正确答案为B.
分析：函数存在与直线平行的切线，即有解。
12. 曲线上的任意一点P处切线的斜率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：解答：由题意，f（x）=，∴=-≥-∴曲线上的任意一点P处切线的斜率的取值范围是[-，+∞)，故选D
分析：本题以函数为载体，考查导数的几何意义，解题的关键是求导函数，并确定函数的值域，先求导函数，进而可确定导函数的范围，利用导数的几何意义，可求曲线上的任意一点P处切线的斜率的取值范围解
13. 若，则等于（ ）
A.-2 B.-4 C.2 D.0
答案：C
解析：解答：根据题意，由于若，则令x=1，则可知,，那么求解导数，，那么可知x=1时得到，故选C.
分析：考查了导数的运算，属于基础题，重在理解f’(1)是常数。
14. 若对可导函数，恒有，则（ ）
A．恒大于0 B．恒小于0
C．恒等于0 D．和0的大小关系不确定
答案：A
解析：解答：单调递增，当x>0时，,即，所以；同理可得当x<0时，由在中令x=0得，综上可知恒大于0.
分析：解决本题的关键是构造出函数从而知道其单调性进而知道的符号
15. 已知函数的大致图象如图所示， 则函数的解析式应为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：解答：如图，因为函数定义域是{x|x≠0}，排除A选项，
当x→-∞，f（x）→0，排除B，根据函数图象不关于y轴对称可知函数不是偶函数，故可排除选项C，故选D．
分析：判断图像可以采用特殊点法，单调性法，奇偶性，极限法来判断课标A版选修2-2数学1.4生活中的优化问题举例同步练习
16. 函数的单调增区间是___________________________.
答案：答案
解析：解答：，令 ，得 或，故函数的单调增区间是
分析：考查函数的单调性与导数的关系，属于基础题
17. 已知函数，既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是 ________________.
答案： a<-1或a>2
解析：解答：，，令，得a<-1或a>2.
分析：,三次函数f(x)既有极大值也有极小值，，三次函数f(x)有一个驻点， 三次函数f(x)是单调函数
18. 设与是函数的两个极值点.则常数=____ .
答案：
解析：解答：，因为与是函数的两个极值点，，解得
分析：x=a是函数f(x)的极值点的必要条件是。
19. 若函数在其定义域的一个子区间上不是单调函数，则实数的取值范围_______．
答案：
解析：解答： ， ，令得,由题意，∴，又, ，∴,即实数的取值范围
分析：掌握导数的计算及运用解决此类问题的关键，解题时不要忘掉定义域的限制
20. 设，当时，恒成立，则实数m的取值范围为___ .
答案：
解析：解答：欲使当时，恒成立，只需成立。
因为， ，所以，令得，,。计算得，，故实数的取值范围为。
分析：中档题，不等式的恒成立问题，往往转化成函数的最值问题。恒成立，须成立
21. 设，函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
答案： ．
当时，，，所以曲线在点处的切线方程为，即．
（2）当a>2时，求函数在上的最小值．
答案：令，解得或．
，则当时，，函数在上单调递减，
所以，当时，函数取得最小值，最小值为．
解析：分析：函数的最值点在端点和极值点处取到，利用导数求出函数的单调性，判断出极值点，再把极值和端点的函数值做比较就可以求得最值点
22. 预计某地区明年从年初开始的前个月内，对某种商品的需求总量 （万件）近似满足：，且）
（1）写出明年第个月的需求量（万件）与月份 的函数关系式，并求出哪个月份的需求量超过万件；
答案：时，（万件）
当时，
且．
由即
化简得，解得.
又，．
答：第月份的需求量超过万件．
（2）如果将该商品每月都投放到该地区万件（不包含积压商品），要保证每月都满足供应， 应至少为多少万件？（积压商品转入下月继续销售）
答案：保证每月都满足供应，则对于，恒成立
时取最大值
答：每月至少应投放万件．
解析： 分析：（1）利用 导出 的解析式,再解不等式 . （2）关键列出关系式对于，恒成立,即, , ,都成立.
23. 已知函数，讨论的单调性.
答案：时，在内单调递增；或时，函数的增区间为和，减区间为
解析试题分析：，
①当即时 在内单调递增，
②当即或时
解得，
函数的增区间为和
减区间为
解析：分析：函数单调性与其导数的关系：若在某一区间上，则函数是增函数；若，则函数是减函数。本题要对分情况讨论，从而确定是否有极值点，才能确定单调区间
24. 已知函数。
（1）求函数的单调区间；
答案：函数求导，令得或，令得，所以增区间：，减区间：
（2）求在曲线上一点的切线方程
答案：，所以过点的切线斜率为0，切线方程为
解析： 分析：函数导数可得增区间，可得减区间，函数在某点处的导数值等于该点处的切线斜率
25. 设函数
（1）若，求的单调区间；
答案：若
在上递减，在上递增
（2）若时，恒成立，求的范围
答案： 因为
（i）当即时，
在上是增函数，
在上也是增函数
此时 恒成立
（ii）当，即时,
令得，
易得在上递减，在上递增
在上，
在上，也是减函数
在上，
这与已知相悖
综上所述：的取值集合是
解析：分析：导数做为一种工具，出现在函数中，主要处理一些关于函数单调性的问题，以及函数的最值和极值问题的运用。对于不等式的恒成立问题，通常要构造函数，分离参数的思想来求解函数的最值来得到。属于难度试题
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