人教新课标A版选修2-2数学1.5定积分的概念同步练习
文档属性
| 名称 | 人教新课标A版选修2-2数学1.5定积分的概念同步练习 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 938.0KB | ||
| 资源类型 | 素材 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-06-16 08:55:06 | ||
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文档简介
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1.5定积分的概念同步练习
1. 关于定积分m=，下列说法正确的是( )
A.被积函数为y=-x
B.被积函数为y=-
C.被积函数为y=-x+C，
D.被积函数为y=-x3
答案：B
解析：解答：.由定积分的定义知，被积函数为y=-.
分析： 简单题，积分，其中a,b是积分的上下限，f(x)是被积函数
2. 定积分 (f(x)>0)的积分区间是( )
A.[-2，2] B.[0，2]
C.[-2，0] D.不确定
答案：A
解析：解答：由定积分的概念得定积分的积分区间是[-2，2].
分析：简单题，积分，其中a,b是积分的上下限，f(x)是被积函数
3. 设f(x)=则f(x)dx的值是( )
A.x2dx B.2xdx
C.x2dx+2xdx D.2xdx+x2dx
答案：D
解析：解答：因为f(x)在不同区间上的解析式不同，所以积分区间应该与对应的解析式一致.利用定积分的性质可得正确答案为D.
分析：定积分满足加法定律，即，简单题.
4. 下列等式不成立的是( )
A. [mf(x)+ng(x)]dx=mf(x)dx+ng(x)dx
B.[f(x)+1]dx=f(x)dx+b-a
C.f(x)g(x)dx=f(x)dx·g(x)dx
D.sinxdx=sinxdx+sinxdx
答案：D
解析：解答：选C.由定积分的性质知选项A，B，D正确.
分析：定积分满足加法定律和数乘定律，即，（m为常数），简单题
5.在“近似代替”中，函数f(x)在区间[xi，xi+1]上的近似值等于( )
A.只能是左端点的函数值f(xi)
B.只能是右端点的函数值f(xi+1)
C.可以是该区间内任一点的函数值f(ξi)(ξi∈[xi，xi+1])
D.以上答案均不正确
答案：C
解析：解答：由求曲边梯形面积的“近似代替”知，C正确.
分析： 简单题，熟练掌握定积分的基本概念
6. 直线x=0，x=2，y=0与曲线y=x2+1围成的曲边梯形，将区间[0， 2]5等分，按照区间左端点和右端点估计梯形面积分别为( )
A.3.92，5.52 B.4，5
C.2，51，3.92 D.5.25，3.59
答案：D
解析：解答：选A.区间长度为，区间分别为，
，，，.
取左端点值时面积为
=3.92，
同理可得取右端点值时面积为5.52.
分析：用矩形面积代替梯形面积，计算矩形的高时常常出错，一是忽视题目要求的限制条件，二是对应点的函数值计算错误.
7. 定积分f(x)dx的大小( )
A．与f(x)和积分区间[a，b]有关，与ξi的取法无关
B．与f(x)有关，与区间[a，b]以及ξi的取法无关
C．与f(x)以及ξi的取法有关，与区间[a，b]无关
D．与f(x)、区间[a，b]和ξi的取法都有关
答案：A
解析：解答：由定积分定义及求曲边梯形面积的四个步骤知A正确．
分析： 简单题，熟练掌握定积分的概念
8.已知f(x)dx＝56，则( )
A.f(x)dx＝28 B.f(x)dx＝28
C.2f(x)dx＝56 D.f(x)dx＋f(x)dx＝56
答案：D
解析：解答：由y＝f(x)，x＝1，x＝3及y＝0围成的曲边梯形可分拆成两个：由y＝f(x)，x＝1，x＝2及y＝0围成的曲边梯形知由y＝f(x)，x＝2，x＝3及y＝0围成的曲边梯形．
∴f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx，即f(x)dx＋f(x)dx＝56.
故应选D.
分析：定积分满足加法定律，即，简单题.
9. 已知f(x)dx＝6，则6f(x)dx等于( )
A．6 B．6(b－a)
C．36 D．不确定
答案：C
解析：解答：∵f(x)dx＝6，∴在6f(x)dx中曲边梯形上、下底长变为原来的6倍，由梯形面积公式，知6f(x)dx＝6f(x)dx＝36.故应选C.
分析：定积分满足数乘定律，即（m为常数），简单题
10 ．下列命题不正确的是( )
A．若f(x)是连续的奇函数，则=0
B．若f(x)是连续的偶函数，则
C．若f(x)在[a，b]上连续且恒正，则f(x)dx>0
D．若f(x)在[a，b)上连续且f(x)dx>0，则f(x)在[a，b)上恒正
答案：D
解析：解答：本题考查定积分的几何意义，对A：因为f(x)是奇函数，所以图象关于原点对称，所以x轴上方的面积和x轴下方的面积相等，故积分是0，所以A正确．对B：因为f(x)是偶函数，所以图象关于y轴对称，故图象都在x轴下方或上方且面积相等，故B正确．C显然正确．D选项中f(x)也可以小于0，但必须有大于0的部分，且f(x)>0的曲线围成的面积比f(x)<0的曲线围成的面积大．
分析：简单题，考查定积分的相关性质，要求熟练掌握
11．如图所示，阴影部分的面积为( )
A.f(x)dx B.g(x)dx
C.[f(x)－g(x)]dx D.[g(x)－f(x)]dx
答案：C
解析：解答：由题图易知，当x∈[a，b]时，f(x)>g(x)，所以阴影部分的面积为[f(x)－g(x)]dx.
分析： 阴影部分的面积S=[f(x)－g(x)]dx.，注意
12.如图所示，阴影部分的面积是( )
A．2 B．2－
C. D.
答案：C
解析：解答：S＝ (3－x2－2x)dx
即F(x)＝3x－x3－x2，
则F(1)＝3－1－＝，
F(－3)＝－9－9＋9＝－9.
∴S＝F(1)－F(－3)＝＋9＝.故应选C.
分析：夹在两个函数f(x),g(x)的面积S= |[f(x)－g(x)]|dx.
13. 一物体以速度v＝(3t2＋2t)m/s做直线运动，则它在t＝0s到t＝3s时间段内的位移是
( )
A．31m B．36m
C．38m D．40m
答案：B
解析：解答：S＝(3t2＋2t)dt＝(t3＋t2)＝33＋32＝36(m)，故应选B.
分析： 位移的导数是速度，故速度的积分是位移，考查积分的物理意义，属于简单题
14. 由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形面积为( )
A. B.
C. D.
答案：A
解析：解答：由得交点为(0,0)，(1,1)．
∴S＝(x2－x3)dx＝＝.
分析：求两个函数所围成的封闭图形的面积首先要求它们的交点，即确定积分的上下限.
15. 若某产品一天内的产量(单位：百件)是时间t的函数，若已知产量的变化率为a＝，那么从3小时到6小时期间内的产量为( )
A. B．3－
C．6＋3 D．6－3
答案：D
解析：解答：dt＝＝6－3，故应选D.
分析： 对产量的变化率积分即可得到产量，考查定积分的实际意义，属于中档题
16．定积分(-3)dx=__________
答案：-6
解析：解答：3dx表示图中阴影部分的面积S=3×2=6，
(-3)dx=-3dx= -6.
分析：简单题，考查定积分的基本公式.
17. 计算：(1-cosx)dx=________.
答案：2π
解析：解答：根据定积分的几何意义，得1dx=2π，
cosxdx=cosxdx+cosxdx+cosxdx+cosxdx
=cosxdx-cosxdx-cosxdx+cosxdx=0，
所以(1-cosx)dx=1dx-cosxdx=2π-0=2π.
分析：根据定积分的几何意义，运用余弦曲线的对称性计算，或通过补形转化为矩形的面积计算.
18.由曲线y2＝2x，y＝x－4所围图形的面积是________．
答案：18
解析：解答：为了确定图形的范围，先求出这两条曲线交点的坐标，解方程组得交点坐标为(2，－2)，(8,4)．因此所求图形的面积S＝－2(y＋4－)dy
取F(y)＝y2＋4y－，则F′(y)＝y＋4－，从而S＝F(4)－F(－2)＝18.
分析：求两个函数所围成的封闭图形的面积首先要求它们的交点，即确定积分的上下限.
19.一变速运动物体的运动速度v(t)＝ 则该物体在0≤t≤e时间段内运动的路程为(速度单位：m/s，时间单位：s)______________________．
答案：9－8ln2＋
解析：解答：∵0≤t≤1时，v(t)＝2t，∴v(1)＝2；
又1≤t≤2时，v(t)＝at，
∴v(1)＝a＝2，v(2)＝a2＝22＝4；
又2≤t≤e时，v(t)＝，
∴v(2)＝＝4，∴b＝8.
∴路程为S＝2tdt＋2tdt＋dt＝9－8ln2＋
分析： 对速度积分就是路程，考查积分的物理意义，简单题
20.由两条曲线y＝x2，y＝x2与直线y＝1围成平面区域的面积是________．
答案：
解析：解答：如图，y＝1与y＝x2交点A(1,1)，y＝1与y＝交点B(2,1)，由对称性可知面积S＝2(x2dx＋dx－x2dx)＝.
分析：先简单的做出函数图像，再根据图像确定积分的上下限.此题难度中等.
21. 已知 EMBED Equation.DSMT4 dx=， EMBED Equation.DSMT4 dx=， EMBED Equation.DSMT4 dx=， EMBED Equation.DSMT4 dx=，求：
（1）3dx.
答案：3dx=3x3dx
=3
=3=12.
（2）6dx.
答案：6dx=6dx=6(dx+dx)
=6=126.
（3）(3-2)dx.
答案：(3-2)dx=3dx-2dx
=3×-2×= -.
解析：分析：定积分满足加法定律和数乘定律，即，（m为常数），简单题
22. 求定积分(-x)dx的值.
答案： QUOTE (-x)dx表示圆(x-1)2+y2=1(y≥0)的一部分与直线y=x所围成的图形的面积，故原式=×π×12-×1×1=-
解析：分析：利用定积分的几何意义求定积分的方法步骤：(1)确定被积函数和积分区间.(2)准确画出图形.(3)求出各部分的面积.(4)写出定积分，注意当f(x)≥0时，S= f(x)dx，而当f(x)≤0时，S=- f(x)dx.；利用定积分的几何意义求定积分的注意点：准确理解其几何意义，同时要合理利用函数的奇偶性、对称性来解决问题.另外，要注意结合图形的直观辅助作用.
23.计算曲线y＝－2x＋3与直线y＝x＋3所围图形的面积．
答案： 由解得x＝0及x＝3.
从而所求图形的面积
S＝(x＋3)dx－(－2x＋3)dx
＝[(x＋3)－(－2x＋3)]dx
＝(－＋3x)dx
＝（）＝.
解析：分析： 常规题，此题关键在于确定积分的上下限.
24. A、B两站相距7.2km，一辆电车从A站开往B站，电车开出ts后到达途中C点，这一段速度为1.2t(m/s)，到C点的速度达24m/s，从C点到B站前的D点以等速行驶，从D点开始刹车，经ts后，速度为(24－1.2t)m/s，在B点恰好停车，试求：
（1）A、C间的距离；
答案：设A到C经过t1s，
由1.2t＝24得t1＝20(s)，所以AC＝∫1.2tdt＝0.6t2＝240(m)．
（2）B、D间的距离；
答案：设从D→B经过t2s，
由24－1.2t2＝0得t2＝20(s)，
所以DB＝∫(24－1.2t)dt＝240(m)．
（3）电车从A站到B站所需的时间．
答案：CD＝7200－2×240＝6720(m)．
从C到D的时间为t3＝＝280(s)．
于是所求时间为20＋280＋20＝320(s)．
解析：分析：对路程求导是速度，对速度积分是加速度，此题考查导数和积分的物理意义
25.计算由抛物线和所围成的平面图形的面积.
答案：解方程： 得：或，所以，所求面积为：
解析：分析：先令，求出方程的两个根，确定积分的上下限.从而求出平面图形的面积.
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1.5定积分的概念同步练习
1. 关于定积分m=，下列说法正确的是( )
A.被积函数为y=-x
B.被积函数为y=-
C.被积函数为y=-x+C，
D.被积函数为y=-x3
答案：B
解析：解答：.由定积分的定义知，被积函数为y=-.
分析： 简单题，积分，其中a,b是积分的上下限，f(x)是被积函数
2. 定积分 (f(x)>0)的积分区间是( )
A.[-2，2] B.[0，2]
C.[-2，0] D.不确定
答案：A
解析：解答：由定积分的概念得定积分的积分区间是[-2，2].
分析：简单题，积分，其中a,b是积分的上下限，f(x)是被积函数
3. 设f(x)=则f(x)dx的值是( )
A.x2dx B.2xdx
C.x2dx+2xdx D.2xdx+x2dx
答案：D
解析：解答：因为f(x)在不同区间上的解析式不同，所以积分区间应该与对应的解析式一致.利用定积分的性质可得正确答案为D.
分析：定积分满足加法定律，即，简单题.
4. 下列等式不成立的是( )
A. [mf(x)+ng(x)]dx=mf(x)dx+ng(x)dx
B.[f(x)+1]dx=f(x)dx+b-a
C.f(x)g(x)dx=f(x)dx·g(x)dx
D.sinxdx=sinxdx+sinxdx
答案：D
解析：解答：选C.由定积分的性质知选项A，B，D正确.
分析：定积分满足加法定律和数乘定律，即，（m为常数），简单题
5.在“近似代替”中，函数f(x)在区间[xi，xi+1]上的近似值等于( )
A.只能是左端点的函数值f(xi)
B.只能是右端点的函数值f(xi+1)
C.可以是该区间内任一点的函数值f(ξi)(ξi∈[xi，xi+1])
D.以上答案均不正确
答案：C
解析：解答：由求曲边梯形面积的“近似代替”知，C正确.
分析： 简单题，熟练掌握定积分的基本概念
6. 直线x=0，x=2，y=0与曲线y=x2+1围成的曲边梯形，将区间[0， 2]5等分，按照区间左端点和右端点估计梯形面积分别为( )
A.3.92，5.52 B.4，5
C.2，51，3.92 D.5.25，3.59
答案：D
解析：解答：选A.区间长度为，区间分别为，
，，，.
取左端点值时面积为
=3.92，
同理可得取右端点值时面积为5.52.
分析：用矩形面积代替梯形面积，计算矩形的高时常常出错，一是忽视题目要求的限制条件，二是对应点的函数值计算错误.
7. 定积分f(x)dx的大小( )
A．与f(x)和积分区间[a，b]有关，与ξi的取法无关
B．与f(x)有关，与区间[a，b]以及ξi的取法无关
C．与f(x)以及ξi的取法有关，与区间[a，b]无关
D．与f(x)、区间[a，b]和ξi的取法都有关
答案：A
解析：解答：由定积分定义及求曲边梯形面积的四个步骤知A正确．
分析： 简单题，熟练掌握定积分的概念
8.已知f(x)dx＝56，则( )
A.f(x)dx＝28 B.f(x)dx＝28
C.2f(x)dx＝56 D.f(x)dx＋f(x)dx＝56
答案：D
解析：解答：由y＝f(x)，x＝1，x＝3及y＝0围成的曲边梯形可分拆成两个：由y＝f(x)，x＝1，x＝2及y＝0围成的曲边梯形知由y＝f(x)，x＝2，x＝3及y＝0围成的曲边梯形．
∴f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx，即f(x)dx＋f(x)dx＝56.
故应选D.
分析：定积分满足加法定律，即，简单题.
9. 已知f(x)dx＝6，则6f(x)dx等于( )
A．6 B．6(b－a)
C．36 D．不确定
答案：C
解析：解答：∵f(x)dx＝6，∴在6f(x)dx中曲边梯形上、下底长变为原来的6倍，由梯形面积公式，知6f(x)dx＝6f(x)dx＝36.故应选C.
分析：定积分满足数乘定律，即（m为常数），简单题
10 ．下列命题不正确的是( )
A．若f(x)是连续的奇函数，则=0
B．若f(x)是连续的偶函数，则
C．若f(x)在[a，b]上连续且恒正，则f(x)dx>0
D．若f(x)在[a，b)上连续且f(x)dx>0，则f(x)在[a，b)上恒正
答案：D
解析：解答：本题考查定积分的几何意义，对A：因为f(x)是奇函数，所以图象关于原点对称，所以x轴上方的面积和x轴下方的面积相等，故积分是0，所以A正确．对B：因为f(x)是偶函数，所以图象关于y轴对称，故图象都在x轴下方或上方且面积相等，故B正确．C显然正确．D选项中f(x)也可以小于0，但必须有大于0的部分，且f(x)>0的曲线围成的面积比f(x)<0的曲线围成的面积大．
分析：简单题，考查定积分的相关性质，要求熟练掌握
11．如图所示，阴影部分的面积为( )
A.f(x)dx B.g(x)dx
C.[f(x)－g(x)]dx D.[g(x)－f(x)]dx
答案：C
解析：解答：由题图易知，当x∈[a，b]时，f(x)>g(x)，所以阴影部分的面积为[f(x)－g(x)]dx.
分析： 阴影部分的面积S=[f(x)－g(x)]dx.，注意
12.如图所示，阴影部分的面积是( )
A．2 B．2－
C. D.
答案：C
解析：解答：S＝ (3－x2－2x)dx
即F(x)＝3x－x3－x2，
则F(1)＝3－1－＝，
F(－3)＝－9－9＋9＝－9.
∴S＝F(1)－F(－3)＝＋9＝.故应选C.
分析：夹在两个函数f(x),g(x)的面积S= |[f(x)－g(x)]|dx.
13. 一物体以速度v＝(3t2＋2t)m/s做直线运动，则它在t＝0s到t＝3s时间段内的位移是
( )
A．31m B．36m
C．38m D．40m
答案：B
解析：解答：S＝(3t2＋2t)dt＝(t3＋t2)＝33＋32＝36(m)，故应选B.
分析： 位移的导数是速度，故速度的积分是位移，考查积分的物理意义，属于简单题
14. 由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形面积为( )
A. B.
C. D.
答案：A
解析：解答：由得交点为(0,0)，(1,1)．
∴S＝(x2－x3)dx＝＝.
分析：求两个函数所围成的封闭图形的面积首先要求它们的交点，即确定积分的上下限.
15. 若某产品一天内的产量(单位：百件)是时间t的函数，若已知产量的变化率为a＝，那么从3小时到6小时期间内的产量为( )
A. B．3－
C．6＋3 D．6－3
答案：D
解析：解答：dt＝＝6－3，故应选D.
分析： 对产量的变化率积分即可得到产量，考查定积分的实际意义，属于中档题
16．定积分(-3)dx=__________
答案：-6
解析：解答：3dx表示图中阴影部分的面积S=3×2=6，
(-3)dx=-3dx= -6.
分析：简单题，考查定积分的基本公式.
17. 计算：(1-cosx)dx=________.
答案：2π
解析：解答：根据定积分的几何意义，得1dx=2π，
cosxdx=cosxdx+cosxdx+cosxdx+cosxdx
=cosxdx-cosxdx-cosxdx+cosxdx=0，
所以(1-cosx)dx=1dx-cosxdx=2π-0=2π.
分析：根据定积分的几何意义，运用余弦曲线的对称性计算，或通过补形转化为矩形的面积计算.
18.由曲线y2＝2x，y＝x－4所围图形的面积是________．
答案：18
解析：解答：为了确定图形的范围，先求出这两条曲线交点的坐标，解方程组得交点坐标为(2，－2)，(8,4)．因此所求图形的面积S＝－2(y＋4－)dy
取F(y)＝y2＋4y－，则F′(y)＝y＋4－，从而S＝F(4)－F(－2)＝18.
分析：求两个函数所围成的封闭图形的面积首先要求它们的交点，即确定积分的上下限.
19.一变速运动物体的运动速度v(t)＝ 则该物体在0≤t≤e时间段内运动的路程为(速度单位：m/s，时间单位：s)______________________．
答案：9－8ln2＋
解析：解答：∵0≤t≤1时，v(t)＝2t，∴v(1)＝2；
又1≤t≤2时，v(t)＝at，
∴v(1)＝a＝2，v(2)＝a2＝22＝4；
又2≤t≤e时，v(t)＝，
∴v(2)＝＝4，∴b＝8.
∴路程为S＝2tdt＋2tdt＋dt＝9－8ln2＋
分析： 对速度积分就是路程，考查积分的物理意义，简单题
20.由两条曲线y＝x2，y＝x2与直线y＝1围成平面区域的面积是________．
答案：
解析：解答：如图，y＝1与y＝x2交点A(1,1)，y＝1与y＝交点B(2,1)，由对称性可知面积S＝2(x2dx＋dx－x2dx)＝.
分析：先简单的做出函数图像，再根据图像确定积分的上下限.此题难度中等.
21. 已知 EMBED Equation.DSMT4 dx=， EMBED Equation.DSMT4 dx=， EMBED Equation.DSMT4 dx=， EMBED Equation.DSMT4 dx=，求：
（1）3dx.
答案：3dx=3x3dx
=3
=3=12.
（2）6dx.
答案：6dx=6dx=6(dx+dx)
=6=126.
（3）(3-2)dx.
答案：(3-2)dx=3dx-2dx
=3×-2×= -.
解析：分析：定积分满足加法定律和数乘定律，即，（m为常数），简单题
22. 求定积分(-x)dx的值.
答案： QUOTE (-x)dx表示圆(x-1)2+y2=1(y≥0)的一部分与直线y=x所围成的图形的面积，故原式=×π×12-×1×1=-
解析：分析：利用定积分的几何意义求定积分的方法步骤：(1)确定被积函数和积分区间.(2)准确画出图形.(3)求出各部分的面积.(4)写出定积分，注意当f(x)≥0时，S= f(x)dx，而当f(x)≤0时，S=- f(x)dx.；利用定积分的几何意义求定积分的注意点：准确理解其几何意义，同时要合理利用函数的奇偶性、对称性来解决问题.另外，要注意结合图形的直观辅助作用.
23.计算曲线y＝－2x＋3与直线y＝x＋3所围图形的面积．
答案： 由解得x＝0及x＝3.
从而所求图形的面积
S＝(x＋3)dx－(－2x＋3)dx
＝[(x＋3)－(－2x＋3)]dx
＝(－＋3x)dx
＝（）＝.
解析：分析： 常规题，此题关键在于确定积分的上下限.
24. A、B两站相距7.2km，一辆电车从A站开往B站，电车开出ts后到达途中C点，这一段速度为1.2t(m/s)，到C点的速度达24m/s，从C点到B站前的D点以等速行驶，从D点开始刹车，经ts后，速度为(24－1.2t)m/s，在B点恰好停车，试求：
（1）A、C间的距离；
答案：设A到C经过t1s，
由1.2t＝24得t1＝20(s)，所以AC＝∫1.2tdt＝0.6t2＝240(m)．
（2）B、D间的距离；
答案：设从D→B经过t2s，
由24－1.2t2＝0得t2＝20(s)，
所以DB＝∫(24－1.2t)dt＝240(m)．
（3）电车从A站到B站所需的时间．
答案：CD＝7200－2×240＝6720(m)．
从C到D的时间为t3＝＝280(s)．
于是所求时间为20＋280＋20＝320(s)．
解析：分析：对路程求导是速度，对速度积分是加速度，此题考查导数和积分的物理意义
25.计算由抛物线和所围成的平面图形的面积.
答案：解方程： 得：或，所以，所求面积为：
解析：分析：先令，求出方程的两个根，确定积分的上下限.从而求出平面图形的面积.
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