人教新课标A版选修2-2数学1.6微积分基本定理同步练习
文档属性
| 名称 | 人教新课标A版选修2-2数学1.6微积分基本定理同步练习 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 314.0KB | ||
| 资源类型 | 素材 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-06-16 08:58:51 | ||
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文档简介
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1.6微积分基本定理同步练习
1. (＋－30)dx ＝( )
A．56 B．28
C. D．14
答案：C
解析：解答： (＋－30)dx ＝＝(43－23)＋(44－24)－30(4－2)＝.故选C.
分析：简单题，根据微积分基本定律有
2. 若(2x ＋k)dx ＝2，则k等于( )
A．0 B．1
C．2 D．3
答案：B
解析：解答：(2x ＋k)dx =，所以k=1,故选B
分析：简单题，根据微积分基本定律有
3. 下列定积分值是0的是( )
A.x sinx dx B.x 2cosx dx
C.(x 2＋x 4)dx D.2(x 3＋5x 5)dx
答案：D
解析：解答： 利用当f(x )是奇函数时，f(x )dx ＝0，当f(x )是偶函数时，f(x )dx ＝2f(x )dx .易得答案为D
分析： 利用当f(x )是奇函数时，f(x )dx ＝0，当f(x )是偶函数时，f(x )dx ＝2f(x )dx .
4. 函数y＝costdt的导数是( )
A．cosx B．－sinx
C．cosx －1 D．sinx
答案：A
解析：解答：，所以．函数y＝costdt的导数是cosx ，故选A
分析：由微积分基本定理可以推出（，简单题
5. eq \i\in(－\f (π,2),,) (1＋cosx )dx 等于( )
A．π B．2
C．π－2 D．π＋2
答案：D
解析：解答；eq \i\in(－\f (π,2),,) (1＋cosx )dx ＝2eq \i\in(0,,) (1＋cosx )dx ＝2(x ＋sinx ) eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(,0))＝2(＋1)＝π＋2.
分析：简单题，根据微积分基本定律有，熟记基本函数的原函数。
6. 若F′(x )＝x 2，则F(x )的解析式不正确的是( )
A．F(x )＝x 3
B．F(x )＝x 3
C．F(x )＝x 3＋1
D．F(x )＝x 3＋c(c为常数)
答案：B
解析：解答：由微积分基本定理得F(x )＝x 3＋c(c为常数)，所以选B
分析：简单题，根据微积分基本定律有，熟记基本函数的原函数。
7. dx ＝( )
A．4 B．6
C．3 D．1
答案：A
解析：解答 ∵()′＝(1＋x 2)－1·(1＋x 2)′＝＝，
∴dx ＝2dx ＝2＝2(－)＝4.故选A
分析：简单题，根据微积分基本定律有，熟记基本函数的原函数。
8. dx 等于( )
A．8－ln B．8＋ln
C．16－ln D．16＋ln
答案：B
解析：解答 dx ＝x dx ＋dx ＝x 2＋lnx ＝(52－32)＋ln5－ln3＝8＋ln，故选B.
分析：简单题，根据微积分基本定律有，熟记基本函数的原函数。
9. (ex －sinx )dx 等于( )
A．e5π－1 B．e5π－2
C．e5π－3 D．e5π－4
答案：C
解析：解答(ex －sinx )dx ＝ex dx －sinx dx ＝ex ＋cosx ＝e5π－e0＋cos5π－cos0＝e5π－1－1－1＝e5π－3.
分析：简单题，根据微积分基本定律有，熟记基本函数的原函数。
10.直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ）
A、 B、 C、2 D、4
答案：D
解析：解答选D.由，得交点为，
所以，故选D.
分析：本题考查了定积分的应用，先求出直线与曲线在第一象限的交点，再利用牛顿-莱布尼茨公式求出封闭图形的面积.
11.一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)=7―3t+（t的单位：s，v的单位：m/s）行驶至停止。在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m）是（ ）
A.1+25㏑5 B.8+25㏑ C.4+25㏑5 D.4+50㏑2
答案：C
解析：解答选C. =0，解得t ＝4或t＝（不合题意，舍去），即汽车经过4秒中后停止，在此期间汽车继续行驶的距离为
=＝.
分析：先求行驶至停止时所用时间.再求积分
12.若 ，,则s1,s2,s3的大小关系为( )
A. s1＜s2＜s3 B.s2＜s1＜s3 C.s2＜s3＜s1 D.s3＜s2＜s1
答案：B
解析：解答：选B.因为 s1；
s2；s3.所以s2＜s1＜s3
分析：根据微积分基本定理，分别求出的值，进行比较即可.
13.已知二次函数y =f(x )=-x 2+1 ，则它与x 轴所围图形的面积为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：解答：选B.由,
∴S.
分析：解答本题可先求出函数表达式,再利用积分求解.
14.如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（ ）
A． B． C． D． ( http: / / www. )
答案：C
解析：解答：，S=1×1=1,
点P恰好取自阴影部分的概率为.
分析：本题考查微积分基本原理、定积分，同时考查学生正确运算微积分的能力．正确写出原函数是解决本题的关键
15.由直线x =与曲线y=cosx所围成的封闭图形的面积为（ ）
A． B．1 C． D．
答案：D
解析：解答：选D.所求图形的面积是==.
分析：本题主要考查不规则图形面积的求法：定积分法
16. 如果f(x )dx ＝1，f(x )dx ＝－1，那么f(x )dx ＝________.
答案：-2
解析：解答：∵f(x )dx ＝f(x )dx ＋f(x )dx ，∴1＋f(x )dx ＝－1.∴f(x )dx ＝－2.
分析：简单题，利用定积分的可加性即可解题
17. 已知函数f(x )＝3x 2＋2x ＋1，若f(x )dx ＝2f(a)成立，则a＝________.
答案： 或－1
解析：解答：∵(x 3＋x 2＋x )′＝3x 2＋2x ＋1，
∴f(x )dx ＝(x 3＋x 2＋x )＝(1＋1＋1)－(－1＋1－1)＝4.
又2f(a)＝6a2＋4a＋2，∴6a2＋4a＋2＝4，即3a2＋2a－1＝0，
解得a＝或a＝－1.
分析：简单题，根据微积分基本定律有，利用待定系数法即可解题
18.如图，在边长为（为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为______.
答案：
解析：解答：和互为反函数，不妨将样本空间缩小到左上方的三角形，
则
分析：本题考查了反函数在图象上的性质，利用对称性，将问题化为可利用定积分求解面积的问题。
19.若 .
答案：3
解析：解答：
分析：本题结合公式 ，其中，来计算积分上限值.
20.设，若曲线与直线所围成封闭图形的面积为，则
答案：
解析：解答：求曲线与直线所围成封闭图形的面积，
即：，解得.
分析：本题考查利用定积分求封闭图形的面积，求出的原函数即可得到面积.
21. 求下列定积分．
(1) dx ；
答案：dx ＝x dx －x 2dx ＋dx ＝－＋ln x ＝－＋ln 2＝ln 2－.
(2) (cos x ＋ex )dx .
答案： (cos x ＋ex )dx ＝cos x dx ＋ex dx ＝sin x ＋ex ＝1－.
解析： 分析： 根据微积分基本定律有
22. 曲线C：y＝2x 3－3x 2－2x ＋1，点P，求过P的切线l与C围成的图形的面积．
答案：解：设切点坐标为(x 0，y0)
y′＝6x 2－6x －2，
则y′|x ＝x 0＝6x －6x 0－2，
切线方程为y＝(6x －6x 0－2)，
则y0＝(6x －6x 0－2)，
即2x －3x －2x 0＋1＝(6x －6x 0－2).
整理得x 0(4x －6x 0＋3)＝0，
解得x 0＝0，则切线方程为y＝－2x ＋1.
解方程组
得或
由y＝2x 3－3x 2－2x ＋1与y＝－2x ＋1的图象可知
S＝∫0[(－2x ＋1)－(2x 3－3x 2－2x ＋1)]dx
＝∫0(－2x 3＋3x 2)dx ＝.
解析：分析：先求出切线方程，在求出积分的上下限，利用微积分基本定理求解积分
23. 已知f(x )在R上可导，f(x )＝x 2＋2f′(2)x ＋3，试求f(x )dx 的值．
答案：解：∵f(x )＝x 2＋2f′(2)x ＋3，∴f′(x )＝2x ＋2f′(2)，
∴f′(2)＝4＋2f′(2)，∴f′(2)＝－4，∴f(x )＝x 2－8x ＋3.
∴f(x )dx ＝＝－18.
解析：分析：第一步求f(x )的解析式，第二步在求解积分
24. 求曲线y＝x 2，直线y＝x ，y＝3x 围成的图形的面积．
答案：解：作出曲线y＝x 2，直线y＝x ，y＝3x 的图象，所求面积为图中阴影部分的面积．
解方程组得交点(1,1)，
解方程组得交点(3,9)，
因此，所求图形的面积为
S＝(3x －x )dx ＋(3x －x 2)dx
＝2x dx ＋(3x －x 2)dx
＝x 2
＝1＋－
＝.
解析： 分析：先求出切线方程，在求出积分的上下限，利用微积分基本定理求解积分
25. 如图所示，过点A(6,4)作曲线f(x )＝的切线l.
(1)求切线l的方程；
答案：解 ：由f(x )＝，∴f′(x )＝
又点A(6,4)为切点，∴f′(6)＝，
因此切线方程为y－4＝(x －6)，即x －2y＋2＝0.
(2)求切线l，x 轴及曲线f(x )＝所围成的封闭图形的面积S.
答案：解 ：令f(x )＝0，则x ＝2，即点C(2,0)．
在x －2y＋2＝0中，令y＝0，则x ＝－2，∴点B(－2,0)．
故S＝dx －dx
解析：分析：先求出切线方程，在求出积分的上下限，利用微积分基本定理求解积分
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1.6微积分基本定理同步练习
1. (＋－30)dx ＝( )
A．56 B．28
C. D．14
答案：C
解析：解答： (＋－30)dx ＝＝(43－23)＋(44－24)－30(4－2)＝.故选C.
分析：简单题，根据微积分基本定律有
2. 若(2x ＋k)dx ＝2，则k等于( )
A．0 B．1
C．2 D．3
答案：B
解析：解答：(2x ＋k)dx =，所以k=1,故选B
分析：简单题，根据微积分基本定律有
3. 下列定积分值是0的是( )
A.x sinx dx B.x 2cosx dx
C.(x 2＋x 4)dx D.2(x 3＋5x 5)dx
答案：D
解析：解答： 利用当f(x )是奇函数时，f(x )dx ＝0，当f(x )是偶函数时，f(x )dx ＝2f(x )dx .易得答案为D
分析： 利用当f(x )是奇函数时，f(x )dx ＝0，当f(x )是偶函数时，f(x )dx ＝2f(x )dx .
4. 函数y＝costdt的导数是( )
A．cosx B．－sinx
C．cosx －1 D．sinx
答案：A
解析：解答：，所以．函数y＝costdt的导数是cosx ，故选A
分析：由微积分基本定理可以推出（，简单题
5. eq \i\in(－\f (π,2),,) (1＋cosx )dx 等于( )
A．π B．2
C．π－2 D．π＋2
答案：D
解析：解答；eq \i\in(－\f (π,2),,) (1＋cosx )dx ＝2eq \i\in(0,,) (1＋cosx )dx ＝2(x ＋sinx ) eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(,0))＝2(＋1)＝π＋2.
分析：简单题，根据微积分基本定律有，熟记基本函数的原函数。
6. 若F′(x )＝x 2，则F(x )的解析式不正确的是( )
A．F(x )＝x 3
B．F(x )＝x 3
C．F(x )＝x 3＋1
D．F(x )＝x 3＋c(c为常数)
答案：B
解析：解答：由微积分基本定理得F(x )＝x 3＋c(c为常数)，所以选B
分析：简单题，根据微积分基本定律有，熟记基本函数的原函数。
7. dx ＝( )
A．4 B．6
C．3 D．1
答案：A
解析：解答 ∵()′＝(1＋x 2)－1·(1＋x 2)′＝＝，
∴dx ＝2dx ＝2＝2(－)＝4.故选A
分析：简单题，根据微积分基本定律有，熟记基本函数的原函数。
8. dx 等于( )
A．8－ln B．8＋ln
C．16－ln D．16＋ln
答案：B
解析：解答 dx ＝x dx ＋dx ＝x 2＋lnx ＝(52－32)＋ln5－ln3＝8＋ln，故选B.
分析：简单题，根据微积分基本定律有，熟记基本函数的原函数。
9. (ex －sinx )dx 等于( )
A．e5π－1 B．e5π－2
C．e5π－3 D．e5π－4
答案：C
解析：解答(ex －sinx )dx ＝ex dx －sinx dx ＝ex ＋cosx ＝e5π－e0＋cos5π－cos0＝e5π－1－1－1＝e5π－3.
分析：简单题，根据微积分基本定律有，熟记基本函数的原函数。
10.直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ）
A、 B、 C、2 D、4
答案：D
解析：解答选D.由，得交点为，
所以，故选D.
分析：本题考查了定积分的应用，先求出直线与曲线在第一象限的交点，再利用牛顿-莱布尼茨公式求出封闭图形的面积.
11.一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)=7―3t+（t的单位：s，v的单位：m/s）行驶至停止。在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m）是（ ）
A.1+25㏑5 B.8+25㏑ C.4+25㏑5 D.4+50㏑2
答案：C
解析：解答选C. =0，解得t ＝4或t＝（不合题意，舍去），即汽车经过4秒中后停止，在此期间汽车继续行驶的距离为
=＝.
分析：先求行驶至停止时所用时间.再求积分
12.若 ，,则s1,s2,s3的大小关系为( )
A. s1＜s2＜s3 B.s2＜s1＜s3 C.s2＜s3＜s1 D.s3＜s2＜s1
答案：B
解析：解答：选B.因为 s1；
s2；s3.所以s2＜s1＜s3
分析：根据微积分基本定理，分别求出的值，进行比较即可.
13.已知二次函数y =f(x )=-x 2+1 ，则它与x 轴所围图形的面积为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：解答：选B.由,
∴S.
分析：解答本题可先求出函数表达式,再利用积分求解.
14.如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（ ）
A． B． C． D． ( http: / / www. )
答案：C
解析：解答：，S=1×1=1,
点P恰好取自阴影部分的概率为.
分析：本题考查微积分基本原理、定积分，同时考查学生正确运算微积分的能力．正确写出原函数是解决本题的关键
15.由直线x =与曲线y=cosx所围成的封闭图形的面积为（ ）
A． B．1 C． D．
答案：D
解析：解答：选D.所求图形的面积是==.
分析：本题主要考查不规则图形面积的求法：定积分法
16. 如果f(x )dx ＝1，f(x )dx ＝－1，那么f(x )dx ＝________.
答案：-2
解析：解答：∵f(x )dx ＝f(x )dx ＋f(x )dx ，∴1＋f(x )dx ＝－1.∴f(x )dx ＝－2.
分析：简单题，利用定积分的可加性即可解题
17. 已知函数f(x )＝3x 2＋2x ＋1，若f(x )dx ＝2f(a)成立，则a＝________.
答案： 或－1
解析：解答：∵(x 3＋x 2＋x )′＝3x 2＋2x ＋1，
∴f(x )dx ＝(x 3＋x 2＋x )＝(1＋1＋1)－(－1＋1－1)＝4.
又2f(a)＝6a2＋4a＋2，∴6a2＋4a＋2＝4，即3a2＋2a－1＝0，
解得a＝或a＝－1.
分析：简单题，根据微积分基本定律有，利用待定系数法即可解题
18.如图，在边长为（为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为______.
答案：
解析：解答：和互为反函数，不妨将样本空间缩小到左上方的三角形，
则
分析：本题考查了反函数在图象上的性质，利用对称性，将问题化为可利用定积分求解面积的问题。
19.若 .
答案：3
解析：解答：
分析：本题结合公式 ，其中，来计算积分上限值.
20.设，若曲线与直线所围成封闭图形的面积为，则
答案：
解析：解答：求曲线与直线所围成封闭图形的面积，
即：，解得.
分析：本题考查利用定积分求封闭图形的面积，求出的原函数即可得到面积.
21. 求下列定积分．
(1) dx ；
答案：dx ＝x dx －x 2dx ＋dx ＝－＋ln x ＝－＋ln 2＝ln 2－.
(2) (cos x ＋ex )dx .
答案： (cos x ＋ex )dx ＝cos x dx ＋ex dx ＝sin x ＋ex ＝1－.
解析： 分析： 根据微积分基本定律有
22. 曲线C：y＝2x 3－3x 2－2x ＋1，点P，求过P的切线l与C围成的图形的面积．
答案：解：设切点坐标为(x 0，y0)
y′＝6x 2－6x －2，
则y′|x ＝x 0＝6x －6x 0－2，
切线方程为y＝(6x －6x 0－2)，
则y0＝(6x －6x 0－2)，
即2x －3x －2x 0＋1＝(6x －6x 0－2).
整理得x 0(4x －6x 0＋3)＝0，
解得x 0＝0，则切线方程为y＝－2x ＋1.
解方程组
得或
由y＝2x 3－3x 2－2x ＋1与y＝－2x ＋1的图象可知
S＝∫0[(－2x ＋1)－(2x 3－3x 2－2x ＋1)]dx
＝∫0(－2x 3＋3x 2)dx ＝.
解析：分析：先求出切线方程，在求出积分的上下限，利用微积分基本定理求解积分
23. 已知f(x )在R上可导，f(x )＝x 2＋2f′(2)x ＋3，试求f(x )dx 的值．
答案：解：∵f(x )＝x 2＋2f′(2)x ＋3，∴f′(x )＝2x ＋2f′(2)，
∴f′(2)＝4＋2f′(2)，∴f′(2)＝－4，∴f(x )＝x 2－8x ＋3.
∴f(x )dx ＝＝－18.
解析：分析：第一步求f(x )的解析式，第二步在求解积分
24. 求曲线y＝x 2，直线y＝x ，y＝3x 围成的图形的面积．
答案：解：作出曲线y＝x 2，直线y＝x ，y＝3x 的图象，所求面积为图中阴影部分的面积．
解方程组得交点(1,1)，
解方程组得交点(3,9)，
因此，所求图形的面积为
S＝(3x －x )dx ＋(3x －x 2)dx
＝2x dx ＋(3x －x 2)dx
＝x 2
＝1＋－
＝.
解析： 分析：先求出切线方程，在求出积分的上下限，利用微积分基本定理求解积分
25. 如图所示，过点A(6,4)作曲线f(x )＝的切线l.
(1)求切线l的方程；
答案：解 ：由f(x )＝，∴f′(x )＝
又点A(6,4)为切点，∴f′(6)＝，
因此切线方程为y－4＝(x －6)，即x －2y＋2＝0.
(2)求切线l，x 轴及曲线f(x )＝所围成的封闭图形的面积S.
答案：解 ：令f(x )＝0，则x ＝2，即点C(2,0)．
在x －2y＋2＝0中，令y＝0，则x ＝－2，∴点B(－2,0)．
故S＝dx －dx
解析：分析：先求出切线方程，在求出积分的上下限，利用微积分基本定理求解积分
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