人教新课标A版选修2-2数学1.7定积分的简单应用同步练习
文档属性
| 名称 | 人教新课标A版选修2-2数学1.7定积分的简单应用同步练习 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 666.0KB | ||
| 资源类型 | 素材 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-06-16 09:03:22 | ||
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文档简介
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1.7定积分的简单应用同步练习
1.由曲线y＝x2－1、直线x＝0、x＝2和x轴围成的封闭图形的面积(如图)是( )
A.(x2－1)dx B．|(x2－1)dx|
C.|x2－1|dx D.(x2－1)dx＋(x2－1)dx
答案：C
解析：解答: y＝|x2－1|将x轴下方阴影反折到x轴上方，其定积分为正，故应选C.
分析： 函数f(x)与x=a,x=b,y=0所围成的封闭图形的面积为
2.曲线y＝x3－3x和y＝x围成的图形面积为( )
A．4 B．8
C．10 D．9
答案：B
解析：解答: 由
解得或或
∵两函数y＝x3－3x与y＝x均为奇函数，
∴S＝2[x－(x3－3x)]dx＝2·(4x－x3)dx
＝2(2x2－x4)＝8，故选B.
分析：求解两个函数围成的面积先求它们的交点确定积分的上下限，在进行积分
3. 一物体以速度v＝(3t2＋2t)m/s做直线运动，则它在t＝0s到t＝3s时间段内的位移是( )
A． 31m B．36m
C．38m D．40m
答案：B
解析：解答: S＝(3t2＋2t)dt＝(t3＋t2)＝33＋32＝36(m)，故应选B.
分析：位移是对速度的积分，速度是位移的导数
4. 一物体在力F(x)＝4x－1(单位：N)的作用下，沿着与力F相同的方向，从x＝1运动到x＝3处(单位：m)，则力F(x)所做的功为( )
A．8J B．10J
C．12J D．14J
答案：C
解析：解答: 由变力做功公式有：W＝(4x－1)dx＝(2x2－x)＝14(J)，故应选D
分析：机械功是力对路程的积分，考查定积分在物理学上的应用
5. 若某产品一天内的产量(单位：百件)是时间t的函数，若已知产量的变化率为a＝，那么从3小时到6小时期间内的产量为( )
A. B．3－
C．6＋3 D．6－3
答案：D
解析：解答: dt＝＝6－3，故应选D.
分析： 产量的变化率是产量的导数，故产量是对产量变化率的积分
6.如图所示，阴影部分的面积为( )
A.f(x)dx
B.g(x)dx
C.[f(x)-g(x)]dx
D.[g(x)-f(x)]dx
答案：C
解析：解答:由题图易知，当x∈[a，b]时，f(x)>g(x)，所以阴影部分的面积为[f(x)-g (x)]dx.
分析：注意在这里式[f(x)-g (x)]dx.中要保证 f(x)>g(x)对于任意x∈[a，b]恒成立
7. 直线x=-1，x=1，y=0与曲线y=sinx所围成的平面图形的面积表示为( )
A.sinxdx B.sinxdx
C.2sinxdx D.2sinxdx
答案：D
解析：解答:选D.由于y=sinx，x∈[-1，1]为奇函数，当x∈[-1，0]时，sinx≤0；当x∈(0，1]时，sinx>0.由定积分的几何意义，直线x=-1，x=1，y=0与曲线y=sinx所围成的平面图形的面积为|sinx|dx=2sinxdx.
分析：定积分满足可加性，定积分也满足奇偶性
8. 由y=，x=1，x=2，y=0所围成的平面图形的面积为( )
A.ln2 B.ln2-1
C.1+ln2 D.2ln2
答案：A
解析：解答: 选A.画出曲线y=(x>0)及直线x=1，x=2，y=0，则所求面积S为如图所示阴影部分面积.所以S=dx=lnx=ln2-ln1=ln2
分析： 简单题，考查定积分在求解面积中的应用
9.已知a=(sinx，cosx)，b=(cosx，sinx)，f(x)=a·b，则直线x=0，x=，y=0以及曲线y=f(x)围成平面图形的面积为( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：解答: 选C.由a=(sinx，cosx)，b=(cosx，sinx)，
得f(x)=a·b=2sinxcosx=sin2x，
当x∈时，sin2x≥0；
当x∈时，sin2x<0.
由定积分的几何意义，直线x=0，x=，y=0以及曲线y=f(x)围成平面图形的面积为
sin2xdx-sin2xdx
=-cos2x|+cos2x|
=1+=.
分析：求出函数解析式，确定积分区间，利用定积分的几何意义计算面积.
10.若两曲线y=x2与y=cx3(c>0)围成图形的面积是，则c等于( )
A. B. C.1 D.
答案：B
解析：解答: 选B.由得交点(0，0)，，
则S=(x2-cx3)dx
=，c=.
分析：解答此题时往往误认为积分上限是1，积分区间错误的确定为[0，1].确定积分区间必须通过解曲线交点确定
11.用S表示图中阴影部分的面积，则S的值是( )
A.f(x)dx
B. f(x)dx|
C.f(x)dx+f(x)dx
D.f(x)dx-f(x)dx
答案：D
解析：解答: s==f(x)dx-f(x)dx,故选D
分析：函数f(x)与x=a,x=b,y=0所围成的封闭图形的面积为
12. (x2＋2)dx＝( )
A. B.
C．2 D．1
答案：B
解析：解答:＝.
分析： 定积分的求解运用到微积分基本定理。
13. 设物体以速度v(t)=3t2+t(m/s)作直线运动，则它在0～4s内所走的路程为( )
A.70m B.72m C.75m D.80m
答案：B
解析：解答: 选B.s=(3t2+t)dt==72(m)
分析：路程是速度对时间的积分
14.设函数f(x)＝ax2＋b(a≠0)，若f(x)dx＝3f(m)，则m＝( )
A．±1 B.
C．± D．2
答案：C
解析：解答: f(x)dx＝(ax2＋b)dx＝＝9a＋3b，
由f(x)dx＝3f(m)，得9a＋3b＝3am2＋3b，
所以m2＝3，所以m＝±.
分析： 简单题，把f(x)的解析式带入求解即可
15.一物体受到与它的运动方向相反的力F(x)＝ex＋x的作用，则它从x＝0运动到x＝1时，F(x)所做的功等于( )
A.＋ B.－
C．－＋ D．－－
答案：D
解析：解答: 解析：W＝－＝－－，故选D.
分析： 功是力对路程的积分。
16.由曲线y2＝2x，y＝x－4所围图形的面积是________．
答案：18
解析：解答: 如图，为了确定图形的范围，先求出这两条曲线交点的坐标，解方程组得交点坐标为(2，－2)，(8,4)．
因此所求图形的面积S＝－2(y＋4－)dy
取F(y)＝y2＋4y－，则F′(y)＝y＋4－，从而S＝F(4)－F(－2)＝18.
分析： 由于对x轴积分比较复杂，我们可以采用对y轴积分简化计算量
17.一物体沿直线以速度v＝m/s运动，该物体运动开始后10s内所经过的路程是________．
答案：(11－1)
解析：解答: S＝dt＝(1＋t)＝(11－1)．
分析： 路程是速度对时间的积分，考查定积分在物理学上的运用
18. 由曲线y=x2+2与y=3x，x=0，x=1所围成的平面图形的面积为________.
答案：
解析：解答: 联立解得交点(1，3)，(2，6)，
S=(x2+2-3x)dx=
分析： 简单题，考查定积分在求解面积中的应用
19. 如图所示，函数y＝－x2＋2x＋1与y＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是
答案：
解析：解答:因为函数y＝－x2＋2x＋1与y＝1的两个交点为(0,1)和(2,1)，所以闭合图形的面积
S＝(－x2＋2x＋1－1)dx
＝＝.
分析：求解两个函数围成的面积先求它们的交点确定积分的上下限，在进行积分
20.函数f(x)的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为 .
答案：
解析：解答: f(x)dx＝x2dx＋(2－x)dx
＝
＝.
分析： 求解两个函数围成的面积先求它们的交点确定积分的上下限，在进行积分
21. 计算曲线y＝x2－2x＋3与直线y＝x＋3所围图形的面积．
答案：由解得x＝0及x＝3.
从而所求图形的面积
S＝[(x＋3)－(x2－2x＋3)]dx
＝(－x2＋3x)dx
＝＝.
解析：分析： 求解两个函数围成的面积先求它们的交点确定积分的上下限，在进行积分
22. 以初速度40m/s竖直向上抛一物体，ts时刻的速度v=40-10t2，求此物体达到最高时的高度为多少？
答案：由v=40-10t2=0，得物体达到最高时t=2(s).
所以物体达到最高时的高度为h=(40-10t2) dt=m
解析： 分析： 路程是速度对时间的积分，考查定积分在物理学上的运用
23.设f(x)是二次函数，其图象过点(0,1)，且在点(－2，f(－2))处的切线方程为2x＋y＋3＝0.
（1）求f(x)的表达式；
答案：设f(x)＝ax2＋bx＋c，
∵其图象过点(0,1)，∴c＝1，
又∵在点(－2，f(－2))处的切线方程为2x＋y＋3＝0，∴
∵f ′(x)＝2ax＋b，∴
∴a＝1，b＝2，故f(x)＝x2＋2x＋1.
（2）求f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积；
答案：依题意，f(x)的图象与两坐标轴所围成的图形如图中阴影部分所示，
故所求面积S＝－1(x2＋2x＋1)dx＝(x3＋x2＋x)|＝.
（3）若直线x＝－t(0答案：依题意，有
S＝－t(x2＋2x＋1)dx＝(x3＋x2＋x)|＝，
即t3－t2＋t＝，
∴2t3－6t2＋6t－1＝0，∴2(t－1)3＝－1，∴t＝1－.
解析：分析：中档题，考查定积分在求解面积中的运用。理解并掌握定积分与面积的关系，函数f(x)与x=a,x=b,y=0所围成的封闭图形的面积为
24. 计算dx＝ .
答案：y＝(－2≤x≤2)表示椭圆＋y2＝1的x轴上方部分，所以S＝πab＝π
解析： 分析：考查定积分的意义，难度较大。
25. 设f(a)＝|x2－a2|dx.
（1）当0≤a≤1与a＞1时，分别求f(a)；
答案：0≤a≤1时，
f(a)＝|x2－a2|dx
＝(a2－x2)dx＋(x2－a2)dx
＝
＝(a3－a3)＋(－a2－＋a3)
＝a3－a2＋.
当a＞1时，
f(a)＝＝a2－，
所以f(a)＝.
（2）当a≥0时，求f(a)的最小值．
答案：当a＞1时，由于f(a)＝a2－在[1，＋∞)上是增函数，
故f(a)在[1，＋∞)上的最小值是f(1)＝1－＝，
当a∈[0,1]时，f′(a)＝4a2－2a＝2a(2a－1)，
由f′(a)＞0知，a＞或a＜0，
故f(a)在[0，]上递减，在[，1]上递增，
因此在[0,1]上，f(a)的最小值为f()＝.
综上可知，f(a)在[0，＋∞)上的最小值为.
解析：分析： 因为f(a)＝|x2－a2|dx中带有绝对值，在计算的过程中首先要分类讨论去掉绝对值，本题考查了分类讨论求解问题的能力，难度较大
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1.7定积分的简单应用同步练习
1.由曲线y＝x2－1、直线x＝0、x＝2和x轴围成的封闭图形的面积(如图)是( )
A.(x2－1)dx B．|(x2－1)dx|
C.|x2－1|dx D.(x2－1)dx＋(x2－1)dx
答案：C
解析：解答: y＝|x2－1|将x轴下方阴影反折到x轴上方，其定积分为正，故应选C.
分析： 函数f(x)与x=a,x=b,y=0所围成的封闭图形的面积为
2.曲线y＝x3－3x和y＝x围成的图形面积为( )
A．4 B．8
C．10 D．9
答案：B
解析：解答: 由
解得或或
∵两函数y＝x3－3x与y＝x均为奇函数，
∴S＝2[x－(x3－3x)]dx＝2·(4x－x3)dx
＝2(2x2－x4)＝8，故选B.
分析：求解两个函数围成的面积先求它们的交点确定积分的上下限，在进行积分
3. 一物体以速度v＝(3t2＋2t)m/s做直线运动，则它在t＝0s到t＝3s时间段内的位移是( )
A． 31m B．36m
C．38m D．40m
答案：B
解析：解答: S＝(3t2＋2t)dt＝(t3＋t2)＝33＋32＝36(m)，故应选B.
分析：位移是对速度的积分，速度是位移的导数
4. 一物体在力F(x)＝4x－1(单位：N)的作用下，沿着与力F相同的方向，从x＝1运动到x＝3处(单位：m)，则力F(x)所做的功为( )
A．8J B．10J
C．12J D．14J
答案：C
解析：解答: 由变力做功公式有：W＝(4x－1)dx＝(2x2－x)＝14(J)，故应选D
分析：机械功是力对路程的积分，考查定积分在物理学上的应用
5. 若某产品一天内的产量(单位：百件)是时间t的函数，若已知产量的变化率为a＝，那么从3小时到6小时期间内的产量为( )
A. B．3－
C．6＋3 D．6－3
答案：D
解析：解答: dt＝＝6－3，故应选D.
分析： 产量的变化率是产量的导数，故产量是对产量变化率的积分
6.如图所示，阴影部分的面积为( )
A.f(x)dx
B.g(x)dx
C.[f(x)-g(x)]dx
D.[g(x)-f(x)]dx
答案：C
解析：解答:由题图易知，当x∈[a，b]时，f(x)>g(x)，所以阴影部分的面积为[f(x)-g (x)]dx.
分析：注意在这里式[f(x)-g (x)]dx.中要保证 f(x)>g(x)对于任意x∈[a，b]恒成立
7. 直线x=-1，x=1，y=0与曲线y=sinx所围成的平面图形的面积表示为( )
A.sinxdx B.sinxdx
C.2sinxdx D.2sinxdx
答案：D
解析：解答:选D.由于y=sinx，x∈[-1，1]为奇函数，当x∈[-1，0]时，sinx≤0；当x∈(0，1]时，sinx>0.由定积分的几何意义，直线x=-1，x=1，y=0与曲线y=sinx所围成的平面图形的面积为|sinx|dx=2sinxdx.
分析：定积分满足可加性，定积分也满足奇偶性
8. 由y=，x=1，x=2，y=0所围成的平面图形的面积为( )
A.ln2 B.ln2-1
C.1+ln2 D.2ln2
答案：A
解析：解答: 选A.画出曲线y=(x>0)及直线x=1，x=2，y=0，则所求面积S为如图所示阴影部分面积.所以S=dx=lnx=ln2-ln1=ln2
分析： 简单题，考查定积分在求解面积中的应用
9.已知a=(sinx，cosx)，b=(cosx，sinx)，f(x)=a·b，则直线x=0，x=，y=0以及曲线y=f(x)围成平面图形的面积为( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：解答: 选C.由a=(sinx，cosx)，b=(cosx，sinx)，
得f(x)=a·b=2sinxcosx=sin2x，
当x∈时，sin2x≥0；
当x∈时，sin2x<0.
由定积分的几何意义，直线x=0，x=，y=0以及曲线y=f(x)围成平面图形的面积为
sin2xdx-sin2xdx
=-cos2x|+cos2x|
=1+=.
分析：求出函数解析式，确定积分区间，利用定积分的几何意义计算面积.
10.若两曲线y=x2与y=cx3(c>0)围成图形的面积是，则c等于( )
A. B. C.1 D.
答案：B
解析：解答: 选B.由得交点(0，0)，，
则S=(x2-cx3)dx
=，c=.
分析：解答此题时往往误认为积分上限是1，积分区间错误的确定为[0，1].确定积分区间必须通过解曲线交点确定
11.用S表示图中阴影部分的面积，则S的值是( )
A.f(x)dx
B. f(x)dx|
C.f(x)dx+f(x)dx
D.f(x)dx-f(x)dx
答案：D
解析：解答: s==f(x)dx-f(x)dx,故选D
分析：函数f(x)与x=a,x=b,y=0所围成的封闭图形的面积为
12. (x2＋2)dx＝( )
A. B.
C．2 D．1
答案：B
解析：解答:＝.
分析： 定积分的求解运用到微积分基本定理。
13. 设物体以速度v(t)=3t2+t(m/s)作直线运动，则它在0～4s内所走的路程为( )
A.70m B.72m C.75m D.80m
答案：B
解析：解答: 选B.s=(3t2+t)dt==72(m)
分析：路程是速度对时间的积分
14.设函数f(x)＝ax2＋b(a≠0)，若f(x)dx＝3f(m)，则m＝( )
A．±1 B.
C．± D．2
答案：C
解析：解答: f(x)dx＝(ax2＋b)dx＝＝9a＋3b，
由f(x)dx＝3f(m)，得9a＋3b＝3am2＋3b，
所以m2＝3，所以m＝±.
分析： 简单题，把f(x)的解析式带入求解即可
15.一物体受到与它的运动方向相反的力F(x)＝ex＋x的作用，则它从x＝0运动到x＝1时，F(x)所做的功等于( )
A.＋ B.－
C．－＋ D．－－
答案：D
解析：解答: 解析：W＝－＝－－，故选D.
分析： 功是力对路程的积分。
16.由曲线y2＝2x，y＝x－4所围图形的面积是________．
答案：18
解析：解答: 如图，为了确定图形的范围，先求出这两条曲线交点的坐标，解方程组得交点坐标为(2，－2)，(8,4)．
因此所求图形的面积S＝－2(y＋4－)dy
取F(y)＝y2＋4y－，则F′(y)＝y＋4－，从而S＝F(4)－F(－2)＝18.
分析： 由于对x轴积分比较复杂，我们可以采用对y轴积分简化计算量
17.一物体沿直线以速度v＝m/s运动，该物体运动开始后10s内所经过的路程是________．
答案：(11－1)
解析：解答: S＝dt＝(1＋t)＝(11－1)．
分析： 路程是速度对时间的积分，考查定积分在物理学上的运用
18. 由曲线y=x2+2与y=3x，x=0，x=1所围成的平面图形的面积为________.
答案：
解析：解答: 联立解得交点(1，3)，(2，6)，
S=(x2+2-3x)dx=
分析： 简单题，考查定积分在求解面积中的应用
19. 如图所示，函数y＝－x2＋2x＋1与y＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是
答案：
解析：解答:因为函数y＝－x2＋2x＋1与y＝1的两个交点为(0,1)和(2,1)，所以闭合图形的面积
S＝(－x2＋2x＋1－1)dx
＝＝.
分析：求解两个函数围成的面积先求它们的交点确定积分的上下限，在进行积分
20.函数f(x)的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为 .
答案：
解析：解答: f(x)dx＝x2dx＋(2－x)dx
＝
＝.
分析： 求解两个函数围成的面积先求它们的交点确定积分的上下限，在进行积分
21. 计算曲线y＝x2－2x＋3与直线y＝x＋3所围图形的面积．
答案：由解得x＝0及x＝3.
从而所求图形的面积
S＝[(x＋3)－(x2－2x＋3)]dx
＝(－x2＋3x)dx
＝＝.
解析：分析： 求解两个函数围成的面积先求它们的交点确定积分的上下限，在进行积分
22. 以初速度40m/s竖直向上抛一物体，ts时刻的速度v=40-10t2，求此物体达到最高时的高度为多少？
答案：由v=40-10t2=0，得物体达到最高时t=2(s).
所以物体达到最高时的高度为h=(40-10t2) dt=m
解析： 分析： 路程是速度对时间的积分，考查定积分在物理学上的运用
23.设f(x)是二次函数，其图象过点(0,1)，且在点(－2，f(－2))处的切线方程为2x＋y＋3＝0.
（1）求f(x)的表达式；
答案：设f(x)＝ax2＋bx＋c，
∵其图象过点(0,1)，∴c＝1，
又∵在点(－2，f(－2))处的切线方程为2x＋y＋3＝0，∴
∵f ′(x)＝2ax＋b，∴
∴a＝1，b＝2，故f(x)＝x2＋2x＋1.
（2）求f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积；
答案：依题意，f(x)的图象与两坐标轴所围成的图形如图中阴影部分所示，
故所求面积S＝－1(x2＋2x＋1)dx＝(x3＋x2＋x)|＝.
（3）若直线x＝－t(0
S＝－t(x2＋2x＋1)dx＝(x3＋x2＋x)|＝，
即t3－t2＋t＝，
∴2t3－6t2＋6t－1＝0，∴2(t－1)3＝－1，∴t＝1－.
解析：分析：中档题，考查定积分在求解面积中的运用。理解并掌握定积分与面积的关系，函数f(x)与x=a,x=b,y=0所围成的封闭图形的面积为
24. 计算dx＝ .
答案：y＝(－2≤x≤2)表示椭圆＋y2＝1的x轴上方部分，所以S＝πab＝π
解析： 分析：考查定积分的意义，难度较大。
25. 设f(a)＝|x2－a2|dx.
（1）当0≤a≤1与a＞1时，分别求f(a)；
答案：0≤a≤1时，
f(a)＝|x2－a2|dx
＝(a2－x2)dx＋(x2－a2)dx
＝
＝(a3－a3)＋(－a2－＋a3)
＝a3－a2＋.
当a＞1时，
f(a)＝＝a2－，
所以f(a)＝.
（2）当a≥0时，求f(a)的最小值．
答案：当a＞1时，由于f(a)＝a2－在[1，＋∞)上是增函数，
故f(a)在[1，＋∞)上的最小值是f(1)＝1－＝，
当a∈[0,1]时，f′(a)＝4a2－2a＝2a(2a－1)，
由f′(a)＞0知，a＞或a＜0，
故f(a)在[0，]上递减，在[，1]上递增，
因此在[0,1]上，f(a)的最小值为f()＝.
综上可知，f(a)在[0，＋∞)上的最小值为.
解析：分析： 因为f(a)＝|x2－a2|dx中带有绝对值，在计算的过程中首先要分类讨论去掉绝对值，本题考查了分类讨论求解问题的能力，难度较大
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