人教新课标A版选修2-2数学2.1合情推理与演绎推理同步练习

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2.1合情推理与演绎推理同步练习
1.给出下列推理:
①由A,B为两个不同的定点,动点P满足||PA|-|PB||=2a<|AB|,得点P的轨迹为双曲线;②由a1=1,an=3n-1(n≥2)求出S1,S2,S3,猜想出数列{an}的前n项和Sn的表达式;③科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇.其中是归纳推理的是　(　　)
A.① B.② C.③ D.①②③
答案：B
解析：解答：选B.由归纳推理的定义知只有②为归纳推理
分析：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)．
2. 某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，，按这种规律往下排，那么第36个圆的颜色应是(　　)
A.白色
B.黑色
C.白色可能性大
D.黑色可能性大
答案：A
解析：解答：选A.由题干图知，图形是三白二黑的圆周而复始相继排列，是一个周期为5的三白二黑的圆列，因为36÷5=7余1，所以第36个圆应与第1个圆颜色相同，即白色
分析：观察图形，图形是三白二黑的圆周而复始相继排列，找出这个规律即可
3. 已知数列{an}满足a0=1，an=a0+a1+a2+…+an-1(n≥1)，则当n≥1时，an等于(　　)
A.2n B. n(n+1)
C.2n-1 D.2n-1
答案：C
解析：解答：选C.a0=1，a1=a0=1，
a2=a0+a1=2a1=2，
a3=a0+a1+a2=2a2=4，
a4=a0+a1+a2+a3=2a3=8，…，
猜想n≥1时，an=2n-1.
分析：利用an=a0+a1+a2+…+an-1(n≥1)列出an的前几项找出规律，再利用归纳推理总结出an的表达式。这是归纳推理题的一般解法
4. 给出下列三个类比结论：
①类比ax·ay=ax+y，则有ax÷ay=ax-y；
②类比loga(xy)=logax+logay，则有sin(α+β)=sinαsinβ；
③类比(a+b)2=a2+2ab+b2，则有(a+b)2=a2+2a·b+b2.
其中结论正确的个数是(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
答案：C
解析：解答：选C.根据指数的运算法则知ax÷ay=ax-y，故①正确；根据三角函数的运算法则知：sin(α+β)≠sinαsinβ，②不正确；根据向量的运算法则知：(a+b)2=a2+2a·b+b2，③正确
分析：有些类比在形式上是一样的，有些却不一致，解题时要结合所学知识加以判别
5．设n棱柱有f(n)个对角面，则(n+1)棱柱的对角面的个数f(n+1)等于(　　)
A.f(n)+n+1 B.f(n)+n
C.f(n)+n-1 D.f(n)+n-2
答案：C
解析：解答：选C.因为过不相邻两条侧棱的截面为对角面，过每一条侧棱与它不相邻的一条侧棱都能作对角面，可作(n-3)个对角面，n条侧棱可作n(n-3)个对角面，由于这些对角面是相互之间重复计算了，
所以共有n(n-3)÷2个对角面，
所以可得f(n+1)-f(n)
=(n+1)(n+1-3)÷2-n(n-3)÷2
=n-1，
故f(n+1)=f(n)+n-1.
分析：因为过不相邻两条侧棱的截面为对角面，过每一条侧棱与它不相邻的一条侧棱都能作对角面，可作(n-3)个对角面，n条侧棱可作n(n-3)个对角面，由于这些对角面是相互之间重复计算了，所以共有n(n-3)÷2个对角面，从而得出f(n+1)与f(n)的关系.
6. 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.比如：
他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是(　　)
A.289 B.1024 C.1225 D.1378
答案：C
解析：解答：选C.观察三角形数：1，3，6，10，…，记该数列为{an}，则a1=1，
a2=a1+2，
a3=a2+3，
…
an=an-1+n.
所以a1+a2+…+an
=(a1+a2+…+an-1)+(1+2+3+…+n) an=1+2+3+…+n=，
观察正方形数：1，4，9，16，…，记该数列为{bn}，
则bn=n2.把四个选项的数字，分别代入上述两个通项公式，可知使得n都为正整数的只有1225.
分析：观察图形写出前几项找出规律，利用归纳推理猜想第n项的表达式
7.将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为(　　)
1
3　5　7
9　11　13　15　17
19　21　23　25　27　29　31
…　
A.809 B.853 C.785 D.893
答案：A
解析：解答：选A.前20行共有正奇数1+3+5+…+39=202=400个，
则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数，
所以这个数是2×405-1=809
分析：观察可知该图形其实就是奇数项按照三角形式排列，要求第21行从左向右的第5个数，只要算出第21行从左向右的第5个数在奇数项的第几项就可以
8. 所有金属都能导电,因为铜是金属,所以铜能导电,此推理方法是　(　　)
A.完全归纳推理 B.归纳推理
C.类比推理 D.演绎推理
答案：D
解析：解答：选D.上述推理的过程实质是三段论的形式,故为演绎推理
分析：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．它的基本模式是“三段论” (1)大前提：已知的一般原理．例如数学中的公理、定理、性质等，物理中的定律、性质等．凡是经过实践检验是正确的都可以当作大前提．(2)小前提：所研究的特殊情况，即在大前提范围内的某一特殊情况．(3)结论：根据一般原理，对特殊情况做出的判断．
9. 推理“①矩形是平行四边形,②三角形不是平行四边形,③所以三角形不是矩形”中的小前提是　(　　)
A.① B.② C.③ D.①和②
答案：B
解析：解答：选B.大前提为①,小前提为②,结论为③
分析：大前提是已知的一般原理．例如数学中的公理、定理、性质等，物理中的定律、性质等．凡是经过实践检验是正确的都可以当作大前提．小前提是所研究的特殊情况，即在大前提范围内的某一特殊情况．结论是根据一般原理，对特殊情况做出的判断
10. 已知△ABC中，∠A=30°，∠B=60°，求证：a证明：因为∠A=30°，∠B=60°，所以∠A<∠B.
所以aA.大前提 B.小前提
C.结论 D.三段论
答案：B
解析：解答：选B.由三段论的组成可得划线部分为三段论的小前提
分析：此题的大前提是三角形中，较大的角对应较大的边，结论是a11. 演绎推理是以下列哪个为前提推出某个特殊情况下的结论的推理方法(　　)
A.一般的原理 B.特定的命题
C.一般的命题 D.定理、公式
答案：A
解析：解答：选A.演绎推理是根据一般的原理，对特殊情况做出的判断.故其推理的前提是一般的原理.
分析：演绎推理是根据一般的原理，对特殊情况做出的判断.故其推理的前提是一般的原理.
考查演绎推理的概念
12. “因为四边形ABCD是矩形，所以四边形ABCD的对角线相等”，补充以上推理的大前提是(　　)
A.正方形都是对角线相等的四边形
B.矩形都是对角线相等的四边形
C.等腰梯形都是对角线相等的四边形
D.矩形都是对边平行且相等的四边形
答案：B
解析：解答：选B.由大前提、小前提、结论三者的关系，知大前提是：矩形是对角线相等的四边形.故应选B.
分析：大前提是已知的一般原理．例如数学中的公理、定理、性质等，物理中的定律、性质等．凡是经过实践检验是正确的都可以当作大前提．小前提是所研究的特殊情况，即在大前提范围内的某一特殊情况．结论是根据一般原理，对特殊情况做出的判断
13. “π是无限不循环小数，所以π是无理数”以上推理的大前提是(　　)
A.实数分为有理数和无理数
B.π不是有理数
C.无理数都是无限不循环小数
D.有理数都是有限循环小数
答案：C
解析：解答：选C.用三段论推导一个结论成立，大前提应该是结论成立的依据.因为无理数都是无限不循环小数，π是无限不循环小数，所以π是无理数，故大前提是无理数都是无限不循环小数.
分析：大前提是已知的一般原理．例如数学中的公理、定理、性质等，物理中的定律、性质等．凡是经过实践检验是正确的都可以当作大前提．小前提是所研究的特殊情况，即在大前提范围内的某一特殊情况．结论是根据一般原理，对特殊情况做出的判断
14. 《论语·子路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足.”上述推理用的是(　　)
A.类比推理 B.归纳推理
C.演绎推理 D.一次三段论
答案：C
解析：解答：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由 一般到特殊的推理．它的基本模式是“三段论”，由演绎推理的定义可知答案是C
分析：简单题，考查的是演绎推理的概念
15.在R上定义运算 ：x y=x(1-y).若不等式(x-a) (x+a)<1对任意实数x都成立，则(　　)
A.-1C.-答案：C
解析：解答：选C.因为x y=x(1-y)，
所以(x-a) (x+a)=(x-a)(1-x-a)，
即原不等式等价于
(x-a)(1-x-a)<1即x2-x-(a2-a-1)>0.
所以Δ=1+4(a2-a-1)<0即4a2-4a-3<0.
解得-分析：应用演绎推理结合不等式进行推理，创新定义题要注意理解题目中新定义的运算本质
16. 已知扇形的弧长为l,半径为r,类比三角形的面积公式S=(底×高)可推知扇形的面积S=　　.
答案：lr
解析：解答：扇形的弧长类似于三角形的底边长,扇形的半径相当于三角形的底边上的高,可推测S=lr.
分析：掌握常见几何体的类比形式
17..观察下列由火柴杆拼成的一列图形中,第n个图形由n个正方形组成:
通过观察可以发现:第4个图形中,火柴杆有　　　　根;第n个图形中,火柴杆有　　　　根.
答案：13|(3n+1)
解析：解答：第一个图形有4根,第2个图形有7根,第3个图形有10根,第4个图形有13根,……猜想第n个图形有(3n+1)根.
分析：写出前几项的火柴杆的条数找出规律，再总结出第n个图形的火柴杆条数，这是解决归纳推理题的一般方法
18.设n为正整数，f(n)=1+++…+，计算得f(2)=，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，观察上述结果，可推测一般的结论为________.
答案：f(2n)≥
解析：解答：由前四个式子可得，第n个不等式的左边应当为f(2n)，右边应当为，即可得一般的结论为f(2n)≥
分析：2=，3=，解决归纳推理题注意把所给的几项写成相同的形式，这样有助于发现规律
19. 以下推理过程省略的大前提为：________.
因为a2+b2≥2ab，
所以2(a2+b2)≥a2+b2+2ab.
答案：若a≥b，则a+c≥b+c
解析：解答：由小前提和结论可知，是在小前提的两边同时加上了a2+b2，故大前提为：若a≥b，则a+c≥b+c.
分析：大前提一般是基本原理，解题关键在于找出题目中的原理
20.一切奇数都不能被2整除，2100+1是奇数，所以2100+1不能被2整除，其演绎推理的“三段论”的形式为_________________________________________________.
答案：一切奇数都不能被2整除，…大前提
2100+1是奇数，…小前提
所以2100+1不能被2整除.…结论
解析：解答：大前提指的是已知的一般原理，小前提指的是所研究的特殊情况，而结论是根据一般原理，对特殊情况做出的判断，故此处的大前提是一切奇数都不能被2整除，小前提是2100+1是奇数，结论是2100+1不能被2整除，故可用三段论表示为：一切奇数都不能被2整除，…大前提
2100+1是奇数，…小前提
所以2100+1不能被2整除.…结论
分析：大前提指的是已知的一般原理，小前提指的是所研究的特殊情况，而结论是根据一般原理
21.已知数列{an}的通项公式an=(n∈N*),记f(n)=(1-a1)(1-a2)…(1-an),试计算f(1),f(2),f(3)的值,并推测出f(n)的表达式.
答案：因为a1==,a2=,a3=,所以f(1)=1-a1=,
f(2)=(1-a1) (1-a2)
==×==,
f(3)=(1-a1)(1-a2)(1-a3)=××=,
推测f(n)= .
解析：分析：写出前几项，f(1),f(2),f(3)找出规律，再总结出f(n)，这是解决归纳推理题的一般方法
22.平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：
①三角形两边之和大于第三边.
②三角形的面积S=×底×高.
③三角形的中位线平行于第三边且第于第三边的.
…
请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论.
答案：由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为：
①四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积.
②四面体的体积V=×底面积×高.
③四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的
解析：分析：一般情况下，平面几何中的点，线，面积，角分别对应立体几何中的点（线），面，体积，二面角
23. 某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图(1)，(2)，(3)，(4)为最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形.
（1）求出f(5)的值.
答案：f(5)=41.
（2）利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f(n+1)与f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式.
答案：因为f(2)-f(1)=4=4×1，
f(3)-f(2)=8=4×2，
f(4)-f(3)=12=4×3，
f(5)-f(4)=16=4×4，
…
由上式规律，所以得出f(n+1)-f(n)=4n.
因为f(n+1)-f(n)=4n f(n+1)=f(n)+4n
f(n)=f(n-1)+4(n-1)
=f(n-2)+4(n-1)+4(n-2)
=f(n-3)+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3)
=…
=f(1)+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3)+…+4
=2n2-2n+1.
解析：分析：找出第n+1项和第n项之间的关系，再利用数列中由递推数列推导通项数列的方法求f(n)
24. 如图，△ABC是斜边为2的等腰直角三角形，点M，N分别为AB，AC上的点，过M，N的直线l将该三角形分成周长相等的两部分.
（1）问AM+AN是否为定值 请说明理由.
答案：AM+AN是定值，理由如下，△ABC是斜边为2的等腰直角三角形，
所以AB=AC==.
因为M，N分别为AB，AC上的点，过MN的直线将该三角形分成周长相等的两个部分，
所以AM+AN+MN=MB+BC+NC+MN，
所以AM+AN=MB+BC+NC.
又(AM+AN)+(MB+BC+NC)=AM+MB+BC+AN+NC=AB+BC+AC=2+2，
所以AM+AN=MB+BC+NC=+1，
所以AM+AN为定值.
（2）如何设计，方能使四边形BMNC的面积最小？
答案：当△AMN的面积最大时，四边形BMNC的面积最小，
AM+AN=+1.
令AM=x，则AN=+1-x，
S△AMN=AM·AN=x(+1-x)
=-，
当x=时，S△AMN有最大值，四边形BMNC的面积最小，
即当AM=AN=时，四边形BMNC的面积最小
解析：分析：利用几何关系和函数知识解题，题目中穿插着演绎推理的思想。
25.在数列{an}中，a1=2，an+1=4an-3n+1，n∈N*.
（1）证明数列{an-n}是等比数列.
答案：因为an+1=4an-3n+1，
所以an+1-(n+1)=4(an-n)，n∈N*.
又a1-1=1，所以数列{an-n}是首项为1，且公比为4的等比数列.
（2）求数列{an}的前n项和Sn.
答案：由(1)可知an-n=4n-1，于是数列{an}的通项公式为an=4n-1+n.
所以数列{an}的前n项和Sn=+.
（3）证明不等式Sn+1≤4Sn，对任意n∈N*皆成立.
答案：对任意的n∈N*，
Sn+1-4Sn=+-
4=-(3n2+n-4)≤0.
所以不等式Sn+1≤4Sn，对任意n∈N*皆成立
解析：分析：利用数列知识解题，解决数学问题运用的就是推理与证明的方法
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