人教新课标A版选修2-2数学2.2直接证明与间接证明同步练习

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2.2直接证明与间接证明同步练习
1．设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为(　　)
A．锐角三角形　 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
答案：B
解析：解答：由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，所以，sin(B＋C)＝sin2A，∴sinA＝sin2A，而sinA>0，∴sinA＝1，A＝，所以△ABC是直角三角形
分析：要判断三角形的形状，只要计算出最大的角的大小即可，利用已知条件得知A＝，所以△ABC是直角三角形
2.已知x、y为正实数，则(　　)
A．2lgx＋lgy＝2lgx＋2lgy B．2lg(x＋y)＝2lgx·2lgy
C．2lgx·lgy＝2lgx＋2lgy D．2lg(xy)＝2lgx·2lgy
答案：D
解析：解答：2lg(xy)＝2(lgx＋lgy)＝2lgx·2lgy.
分析：简单题，考查对数和指数的运算法则
3. 设a、b∈R，且a≠b，a＋b＝2，则必有(　　)
A．1≤ab≤　　　 B．ab<1<
C．ab<<1 D．<1答案：B
解析：解答：ab<2< (a≠b)
分析：考查不等式，简单题
4. 设0A．a　　　 B．b　　　
C．c　　　 D．不能确定
答案：C
解析：解答：因为b－c＝(1＋x)－＝＝－＜0，所以b2x>0，所以b＝1＋x>＝a，所以a分析：可用特值法：取x＝，则a＝1，b＝，c＝2。比较两个数的大小一般采用作差法或者作除法（两个数要求都是正数）
5. 已知y>x>0，且x＋y＝1，那么(　　)
A．x<C．x<<2xy答案：D
解析：解答：∵y>x>0，且x＋y＝1，∴设y＝，x＝，则＝，2xy＝.所以有x<2xy<分析：考查基本不等式，属于中档题
6. 已知函数f(x)＝x，a、b∈R＋，A＝f，B＝f()，C＝f，则A、B、C的大小关系为(　　)
A．A≤B≤C B．A≤C≤B
C．B≤C≤A D．C≤B≤A
答案：A
解析：解答：≥≥，又函数f(x)＝()x在(－∞，＋∞)上是单调减函数，
∴f()≤f()≤f()
分析：因为函数f(x)＝x是R上的减函数，所以比较A、B、C的大小，只要比较，
，三者的大小即可，可以采用特殊值法
7. 已知a，b，c为不全相等的实数，P=a2+b2+c2+3，Q=2(a+b+c)，则P与Q的大小关系是(　　)
A.P>Q B.P≥Q
C.P答案：A
解析：解答：选A.，
因为P-Q=a2+b2+c2+3-2(a+b+c)
=a2-2a+1+b2-2b+1+c2-2c+1
=(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2，
又a，b，c不全相等，
所以P-Q>0，即P>Q
分析：要比较P，Q的大小，采用作差法，只需比较P-Q与0的关系
8．设a，b，m都是正整数，且aA.<<1 B.≥
C.≤≤1 D.1<<
答案：B
解析：解答：选B.可证明<成立，要证明<，
由于a，b，m都是正整数，故只需证ab+am分析：本题考查分析法，不可以采用特殊值法，因为找到一个不满足不等式的值无法判定不等式恒不成立
9. 设a=lg2+lg5，b=ex(x<0)，则a与b大小关系为(　　)
A.a>b B.a=b
C.a答案：A
解析：解答：选A.a=lg2+lg5=1，b=ex，
当x<0时，0所以a>b.
分析：简单题，因为b的恒小于1，所以a>b
10. 2.设a>0，b>0且ab-(a+b)≥1，则(　　)
A.a+b≥2(+1) B.a+b≤+1
C.a+b≤(+1)2 D.a+b>2(+1)
答案：A
解析：解答：选A.由条件知a+b≤ab-1≤-1，
令a+b=t，则t>0且t≤-1，
解得t≥2+2
分析：要求a+b的范围，只要构造a+b的不等式即可，把ab利用基本不等式转化为a+b
11. 设0A.a B.b
C.c D.不能确定
答案：C
解析：解答：选C.易得1+x>2>，
因为(1+x)(1-x)=1-x2<1，
又00，
所以1+x<.
分析：考查基本不等式，此题也可以采用特殊值法解题，令,a=1,b=,c=2,故选C
12.用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为钝角”，下列假设中正确的是(　　)
A.有两个内角是钝角
B.有三个内角是钝角
C.至少有两个内角是钝角
D.没有一个内角是钝角
答案：C
解析：解答：“最多有一个”的反设是“至少有两个”
分析：最多有一个则有一个或者没有一个钝角，反设就是“至少有两个”
13. 实数a，b，c满足a+2b+c=2，则(　　)
A.a，b，c都是正数
B.a，b，c都大于1
C.a，b，c都小于2
D.a，b，c中至少有一个不小于
答案：D
解析：解答：选D.假设a，b，c均小于，则a+2b+c<+1+=2，与已知矛盾，故假设不成立，所以a，b，c中至少有一个不小于
分析：考查反证法，先假设问题成立，再通过数学推导出与已知条件，数学原理，定理等相悖，得出结论
14.设a，b，c大于0，则3个数：a+，b+，c+的值(　　)
A.都大于2
B.至少有一个不大于2
C.都小于2
D.至少有一个不小于2
答案：C
解析：解答：选D.假设a+，b+，c+都小于2，
即a+<2，b+<2，c+<2，
所以<6，
又a>0，b>0，c>0，
所以
=≥2+2+2=6.
这与假设矛盾，所以假设不成立.
分析：因为三个数的和不小于6，可以判断三个数至少有一个不小于2，所以可假设这三个数都小于2来推出矛盾
15. 已知数列{an}，{bn}的通项公式分别为an=an+2，bn=bn+1(a，b是常数，且a>b)，那么两个数列中序号与相应项的数值相同的项的个数是(　　)
A.0 B.1
C.2 D.无穷多个
答案：A
解析：解答：选A.假设存在两个数列中序号与相应项的数值相同的项，则有an+2=bn+1，得到(a-b)n=-1，这样的n是不存在的，故假设不成立
分析：假设存在两个数列中序号与相应项的数值相同的项，推理得出矛盾
16.如果a>b，则实数a，b应满足的条件是________.
答案：a>b>0
解析：解答：要使a>b成立，
只需(a)2>(b)2，
只需a3>b3>0，即a，b应满足a>b>0
分析：考查分析法，从结论出发，一步步找出使已知条件成立的条件。
17. 设a>0，b>0，则下面两式的大小关系为lg(1+)______ [lg(1+a)+ lg(1+b)].
答案：≤
解析：解答：因为(1+)2-(1+a)(1+b)
=1+2+ab-1-a-b-ab
=2-(a+b)=-(-)2≤0，
所以(1+)2≤(1+a)(1+b)，
所以lg(1+)≤[lg(1+a)+lg(1+b)]
分析：要比较两者大小，可先比较(1+)与的大小，又需先比较(1+)2与(1+a)(1+b)的大小
18.若下列两个方程x2+(a-1)x+a2=0，x2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是__________.
答案：{a|a≤-2或a≥-1}
解析：解答：假设两个一元二次方程均无实根，则有
即
解得{a|-2所以其补集{a|a≤-2或a≥-1}即为所求的a的取值范围
分析：至少有一个方程有实根可以先假设两个一元二次方程均无实根，利用反证法解题，可大大简化解题步骤
19. 已知a>0，b>0，m＝lg，n＝lg，则m与n的大小关系为________．
答案：m>n
解析：解答：因为(＋)2＝a＋b＋2>a＋b>0，所以>，所以m>n
分析：考查基本不等式比较两个式子的大小，难度较大
20. 如果a＋b>a＋b，则实数a、b应满足的条件是________．
答案：a≠b且a≥0，b≥0
解析：解答：a＋b>a＋b a＋b－a－b>0 a(－)＋b(－)>0 (a－b)(－)>0 (＋)(－)2>0
只需a≠b且a，b都不小于零即可
分析：考查分析法，利用不等式的运算法则和基本不等式找出使已知条件成立的条件。
21.已知三角形的三边长为a，b，c，其面积为S，求证：a2+b2+c2≥4S.
答案：要证a2+b2+c2≥4S，
只要证a2+b2+(a2+b2-2abcosC)≥2absinC，
即证a2+b2≥2absin(C+30°)，
因为2absin(C+30°)≤2ab，
只需证a2+b2≥2ab.
显然上式成立.所以a2+b2+c2≥4S
解析：分析：考查分析法，利用正弦定理和不等式运算法则找出使已知条件成立的条件
22. 10.已知{an}是正数组成的数列，a1=1，且点(，an+1)(n∈N*)在函数y=x2+1的图象上.
（1）求数列{an}的通项公式.
答案：由已知得an+1=an+1，
则an+1-an=1，又a1=1，
所以数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列.
故an=1+(n-1)×1=n.
（2）若数列{bn}满足b1=1，bn+1=bn+，求证：bn·bn+2<.
答案：由(1)知，an=n，从而bn+1-bn=2n.
bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1
=2n-1+2n-2+…+2+1
==2n-1.
因为bn·bn+2-
=(2n-1)(2n+2-1)-(2n+1-1)2
=(22n+2-2n+2-2n+1)-(22n+2-2·2n+1+1)
=-2n<0，
所以bn·bn+2<.
解析： 分析：要证bn·bn+2<，就是比较bn·bn+2和的大小，比较两个数的大小一般用作差法
23.已知a，b，c∈(0，1).
求证：(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a不能都大于.
答案：证明：假设(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a都大于.
因为0所以1-a>0.由基本不等式，得
≥>=.
同理，>，>.
将这三个不等式两边分别相加，得
++>++，
即>，这是不成立的，
故(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a不能都大于
解析： 分析：反证法，要证(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a不能都大于，可以证明(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a的和大于等于是不成立的，这是反证法的基本思路
24．已知n∈N*，且n≥2，求证：>－.
答案：要证>－，
即证1>n－，
只需证>n－1，
∵n≥2，∴只需证n(n－1) >(n－1)2，
只需证n>n－1，只需证0>－1
最后一个不等式显然成立，故原结论成立
解析： 分析：考查分析法，数学证明题一般采用分析法找解题思路，即找切入点，然后用综合法证明
25. 如图所示，在△ABC中，AB>AC，AD为BC边上的高，AM是BC边上的中线，求证：点M不在线段CD上．
答案：证明：假设点M在线段CD上，则BDAC矛盾，故假设错误．所以点M不在线段CD上
解析：分析：考查反证法，直接证明点M不在线段CD上较为困难，可以先假设点M在线段CD上，证明假设不成立来证明。
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