人教新课标A版选修2-2数学2.3数学归纳法同步练习

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2.3数学归纳法同步练习
1．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋1)时，第一步应验证不等式(　　)
A．1＋<2　　　　　 B．1＋＋＜2
C．1＋＋＜3 D．1＋＋＋＜3
答案：B
解析：解答：∵n∈N*，n＞1，∴n取第一个自然数为2，左端分母最大的项为＝，故选B.
分析：一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值时命题成立；
(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N+)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述证明方法叫做数学归纳法
2．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(n∈N*，a≠1)，在验证n＝1时，左边所得的项为(　　)
A．1 B．1＋a＋a2
C．1＋a D．1＋a＋a2＋a3
答案：B
解析：解答：因为当n＝1时，an＋1＝a2，所以此时式子左边＝1＋a＋a2.故应选B.
分析：简单题，注意n=1是a的指数为2
3．设f(n)＝＋＋…＋(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于(　　)
A． B．
C．＋ D．－
答案：D
解析：解答：f(n＋1)－f(n)＝
－＝＋－
＝－.
分析：简单题，解题时细心即可
4．某个命题与自然数n有关，若n＝k(k∈N*)时，该命题成立，那么可推得n＝k＋1时该命题也成立．现在已知当n＝5时，该命题不成立，那么可推得(　　)
A．当n＝6时该命题不成立 B．当n＝6时该命题成立
C．当n＝4时该命题不成立 D．当n＝4时该命题成立
答案：C
解析：解答：原命题正确，则逆否命题正确．故应选C.
分析：解决此题可以用假设法，例如C选项，假设当n＝4时该命题成立，由题意知当n＝4时该命题必然成立，不符，故当n＝4时该命题不成立
5. 用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步的证明时，正确的证法是(　　)
A．假设n＝k(k∈N*)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立
B．假设n＝k(k是正奇数)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立
C．假设n＝k(k是正奇数)时命题成立，证明n＝k＋2时命题也成立
D．假设n＝2k＋1(k∈N)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立
答案：C
解析：解答：∵n为正奇数，当n＝k时，k下面第一个正奇数应为k＋2，而非k＋1.故应选C.
分析：数学归纳法第三步是证明下一项，而不一定是下标加一项
6. 凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形对角线的条数f(n＋1)为(　　)
A．f(n)＋n＋1 B．f(n)＋n
C．f(n)＋n－1 D．f(n)＋n－2
答案：C
解析：解答：增加一个顶点，就增加n＋1－3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f(n＋1)＝f(n)＋1＋n＋1－3＝f(n)＋n－1.故应选C
分析：可以用特殊值法解题，例如观察三角形和正方形的对角线条数，进行一一检验
7. 如果命题p(n)对n＝k(k∈N＋)成立，则它对n＝k＋2也成立．若p(n)对n＝2也成立，则下列结论正确的是(　　)
A．p(n)对所有正整数n都成立
B．p(n)对所有正偶数n都成立
C．p(n)对所有正奇数n都成立
D．p(n)对所有自然数n都成立
答案：B
解析：解答：选B　由题意n＝k成立，则n＝k＋2也成立，又n＝2时成立，则p(n)对所有正偶数都成立．
分析：考查数学归纳法的概念，注意理解数学归纳法的精髓
8.用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N＋)”的过程中，第二步n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时，应得到(　　)
A．1＋2＋22＋…＋2k－2＋2k－1＝2k＋1－1
B．1＋2＋22＋…＋2k＋2k＋1＝2k－1＋2k＋1
C．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＋1＝2k＋1－1
D．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－1
答案：D
解析：解答：2．选D　由条件知，左边是从20,21一直到2n－1都是连续的，因此当n＝k＋1时，左边应为1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k，而右边应为2k＋1－1.
分析：证明第三步是一定要用到第二部的结论，只有这样的证明才算数学归纳法
9. 用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开(　　)
A．(k＋3)3 B．(k＋2)3
C．(k＋1)3 D．(k＋1)3＋(k＋2)3
答案：A
解析：解答： 因为从n＝k到n＝k＋1的过渡，增加了(k＋1)3，减少了k3，故利用归纳假设，只需将(k＋3)3展开，证明余下的项9k2＋27k＋27能被9整除．
分析：因为k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，所以要证(k＋1)3＋(k＋2)3+ (k+3)3= k3 +(k＋1)3＋(k＋2)3+ (k+3)3-k3能被9整除。只要证(k+3)3-k3能被9整除
10. 下列代数式(其中k∈N＋)能被9整除的是(　　)
A．6＋6·7k B．2＋7k－1
C．2(2＋7k＋1) D．3(2＋7k)
答案：D
解析：解答：选D　取k＝1检验，只有3(2＋7k)能被9整除．
分析：采用特殊值法可以使题目变得简单
11．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上(　　)
A．k2＋1 B．(k＋1)2
C． D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2
答案：D
解析：解答：n＝k时，左边＝1＋2＋3＋…＋k2，n＝k＋1时，左边＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，故选D
分析：理解第n项和第n+1项的关系，解题时需细心
12.已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N＋都成立，则a、b、c的值为(　　)
A．a＝，b＝c＝ B．a＝b＝c＝
C．a＝0，b＝c＝ D．不存在这样的a、b、c
答案：A
解析：解答：选A　∵等式对一切n∈N＋均成立，
∴n＝1,2,3时等式成立，即
整理得
解得a＝，b＝c＝.
分析：因为1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N＋都成立，所以可以采用特殊值法，采用特殊值法有时不失为一个解题的好方法
13.对于不等式①当n＝1时，<1＋1，不等式成立．
②假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即则当n＝k＋1时
，
∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法(　　)
A．过程全部正确 B．n＝1验得不正确
C．归纳假设不正确 D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
答案：D
解析：解答：选D.在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的假设，不是数学归纳法
分析：数学归纳法要求在n＝k＋1时，必须应用n＝k时的假设
14． 用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·2·…·(2n－1)(n∈N＋)”时，从“n＝k到n＝k＋1”时，左边应增添的式子是(　　)
A．2k＋1 B．2k＋3
C．2(2k＋1) D．2(2k＋3)
答案：C
解析：解答：选C.左边应增添的式子等于
＝
＝2(2k＋1)．
分析：把式(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·2·…·(2n－1)变形为=2n
15. 设凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋________.(　　)
A．2π B．π
C． D．
答案：B
解析：解答：将k＋1边形A1A2…AkAk＋1的顶点A1与Ak相连，则原多边形被分割为k边形A1A2…Ak与三角形A1AkAk＋1，其内角和f(k＋1)是k边形的内角和f(k)与△A1AkAk＋1的内角和π的和，故选B.
分析：可以采用特殊值法，例如取k=3，即可的答案为B
16．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，当第二步假设n＝2k－1(k∈N＋)命题为真时，进而需证n＝________时，命题亦真．
答案：2k＋1
解析：解答：因为n为正奇数，所以与2k－1相邻的下一个奇数是2k＋1
分析：注意n为正奇数
17.用数学归纳法证明“2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N＋)”时，第一步验证为________．
答案：当n＝1时，左边＝4≥右边，不等式成立
解析：解答：由n∈N＋可知初始值为1.
分析：数学归纳法第一步验证第一项成立
18. 已知数列，，，…，，通过计算得S1＝，S2＝，S3＝，由此可猜测Sn＝________.
答案：
解析：解答：通过计算易得答案
分析：归纳法解题，注意观察值与下标之间的关系
19. 用数学归纳法证明：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，第一步应验证的等式是________．
答案：1－＝
解析：解答：当n＝1时，等式的左边为1－＝，右边＝，∴左边＝右边．
分析：一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值时命题成立；
(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N+)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述证明方法叫做数学归纳法
20. 已知数列{an}的通项公式an＝ (n∈N＋)，f(n)＝(1－a1)(1－a2)…(1－an)，试通过计算f(1)，f(2)，f(3)的值，推测出f(n)的值是________
答案：
解析：解答：解析：f(1)＝1－a1＝1－＝，
f(2)＝(1－a1)(1－a2)＝f(1)·＝×＝＝，
f(3)＝(1－a1)(1－a2)(1－a3)＝f(2)·＝×＝，
由此猜想，f(n)＝ (n∈N＋)．
分析：归纳法解题，注意观察值与下标之间的关系
21. 数列{an}满足Sn＝2n－an(n∈N*)．
(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；
答案：a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝，
由此猜想an＝(n∈N*)．
(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．
答案：证明：①当n＝1时，a1＝1，结论成立．
②假设n＝k(k∈N*)时，结论成立，
即ak＝，
那么n＝k＋1(k∈N*)时，
ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak＝2＋ak－ak＋1.
∴2ak＋1＝2＋ak.
∴ak＋1＝＝＝，
这表明n＝k＋1时，结论成立．
由①②知，
对n∈N*，都有an＝成立．
解析：分析：先猜后证是证明数列类题目的一种有效的方法
22. 首项为正数的数列{an}满足an＋1＝(a＋3)，n∈N*.
(1)证明：若a1为奇数，则对一切n≥2，an都是奇数；
答案：证明：已知a1是奇数，假设ak＝2m－1是奇数，其中m为正整数，则由递推关系得ak＋1＝＝m(m－1)＋1是奇数．
根据数学归纳法，对任意n∈N*，an都是奇数
(2)若对一切n∈N*都有an＋1>an，求a1的取值范围．
答案：由an＋1－an＝(an－1)(an－3)知，
当且仅当an<1或an>3时，an＋1>an.
另一方面，若0则0若ak>3，
则ak＋1>＝3.
根据数学归纳法可知，
n∈N*,0 n∈N*，a1>3 an>3.
综上所述，对一切n∈N*，都有an＋1>an的充要条件是03.
解析：分析：一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值时命题成立；(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N+)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述证明方法叫做数学归纳法
23. 已知点Pn(an，bn)满足an＋1＝an·bn＋1，bn＋1＝(n∈N*)且点P1的坐标为(1，－1)．
(1)求过点P1，P2的直线l的方程；
答案：由P1的坐标为(1，－1)知
a1＝1，b1＝－1.
∴b2＝＝.
a2＝a1·b2＝.
∴点P2的坐标为(，)，
∴直线l的方程为2x＋y＝1
(2)试用数学归纳法证明：对于n∈N*，点Pn都在(1)中的直线l上．
答案：证明：①当n＝1时，
2a1＋b1＝2×1＋(－1)＝1成立．
②假设n＝k(k∈N*)时，
2ak＋bk＝1成立，
则当n＝k＋1时，
2ak＋1＋bk＋1＝2ak·bk＋1＋bk＋1
＝(2ak＋1)
＝＝＝1，
∴当n＝k＋1时，命题也成立．
由①②知，对n∈N*，
都有2an＋bn＝1，
即点Pn在直线l上．
解析： 分析：一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值时命题成立；(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N+)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述证明方法叫做数学归纳法
24.数列{an}满足Sn＝2n－an(n∈N*)．
(1)计算a1、a2、a3，并猜想an的通项公式；
答案：当n＝1时，a1＝S1＝2－a1，∴a1＝1；
当n＝2时，a1＋a2＝S2＝2×2－a2，∴a2＝；
当n＝3时，a1＋a2＋a3＝S3＝2×3－a3，∴a3＝.
由此猜想an＝(n∈N*)
(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．
答案： (2)证明：①当n＝1时，a1＝1结论成立，
②假设n＝k(k≥1，且k∈N*)时结论成立，
即ak＝，
当n＝k＋1时，
ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak＝2＋ak－ak＋1，∴2ak＋1＝2＋ak
∴ak＋1＝＝，
∴当n＝k＋1时结论成立，于是对于一切的自然数n∈N*，an＝成立
解析： 分析：先猜后证是证明数列类题目的一种有效的方法
25.设0答案：证明：①当n＝1时，a1＝1＋a>1，又a1＝1＋a<，显然命题成立．
②假设n＝k(k∈N＋)时，命题成立，
即1即当n＝k＋1时，由递推公式，知ak＋1＝＋a，
由假设可得(1－a)＋a<＋a<1＋a<.
于是当n＝k＋1时，命题也成立，即1由①②可知，对任意n∈N＋，有1解析：分析：一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值时命题成立；(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N+)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述证明方法叫做数学归纳法
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