人教新课标A版选修2-2数学3.1数系的扩充与复数的概念同步练习

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3.1数系的扩充与复数的概念同步练习
1.下面三个命题:
(1)0比-i大;
(2)x+yi=1+i(x,y∈R)的充要条件为x=y=1;
(3)a+bi为纯虚数的充要条件是a=0,b≠0.
其中正确的命题个数是(　　)
A.0 B.1
C.2 D.3
答案：B
解析：解答：0与-i不能比较大小,故(1)错;当a,b∈R时(3)才正确,故(3)错;由复数相等的充要条件知(2)正确.
分析：复数与实数之间，复数与复数之间都不能比大小。两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部都相等。复数ai（a0）称为纯虚数。简单题，考查复数的基本概念。
2．若a,b∈R,i为虚数单位,且(a+i)i=b+i,则(　　)
A.a=1,b=1
B.a=-1,b=1
C.a=-1,b=-1
D.a=1,b=-1
答案：D
解析：解答：∵(a+i)i=b+i,∴-1+ai=b+i. ∴b=-1.a=1,故选D
分析：两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部都相等。简单题，考查复数的基本概念
3. 以2i的虚部为实部,以i+2i2的实部为虚部的新复数是(　　)
A.2-2i B.2+i
C.-i D.i
答案：A
解析：解答：2i的虚部为2,i+2i2的实部为-2,故所求的复数为2-2i
分析：简单题，考查复数的基本概念
4. 已知集合M={1,2,(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i},N={-1,3},且M∩N={3},则实数m的值为(　　)
A.4 B.-1
C.-1或4 D.-1或6
答案：B
解析：解答：由于M∩N={3},故3∈M,必有m2-3m-1+(m2-5m-6)i=3,所以m2-3m-1=3，(m2-5m-6)=0即得m=-1
分析：实数也属于复数，实数是虚部为0的复数
5. 若a2-1+2ai=3+4i,则实数a的值为(　　)
A.±2 B.-2 C.2 D.0
答案：C
解析：解答：由复数相等的充要条件知a2-1=3且2a=4,故a=2.
分析：两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部都相等。简单题，考查复数的基本概念
6. 下列复数中，满足方程x2＋2＝0的是(　　)
A．±1 B．±i
C．±i D．±2i
答案：C
解析：解答：i2=-1,所以（±i）2=-2，即方程x2＋2＝0的解为±i，故选C
分析：二次函数在复数范围内必有解，当时有实数解，当时，有虚数解，解为
7. 若a、b∈R且(1＋i)a＋(1－i)b＝2，则a、b的值分别为(　　)
A．a＝1，b＝－1 B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝1 D．a＝－1，b＝－1
答案：C
解析：解答：由原式得a+b+(a-b)i=2，所以 ，故选C
分析：两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部都相等。简单题，考查复数的基本概念
8. 以3i－的虚部为实部，以3i2＋i的实部为虚部的复数是(　　)
A．3－3i B．3＋i
C．－＋i D.＋i
答案：A
解析：解答：3i－的虚部为3,3i2＋i的实部为－3，∴以3i－的虚部为实部，以3i2＋i的实部为虚部的复数是3－3i
分析：i2=-1.简单题。考查复数的基本概念
9. 复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为实数的充要条件是(　　)
A．|a|＝|b| B．a<0且a＝－b
C．a>0且a≠b D．a<0
答案：D
解析：解答：复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为实数的充要条件是a＋|a|=0，故a<0即可。
分析：复数a+bi为实数的充要条件是虚部b=0
10. 适合x－3i＝(8x－y)i的实数x、y的值为(　　)
A．x＝0且y＝3 B．x＝0且y＝－3
C．x＝5且y＝3 D．x＝3且y＝0
答案：A
解析：解答：因为x－3i＝(8x－y)i，所以x=0,8x-y=-3,解得x＝0且y＝3，故选A
分析：两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部都相等。简单题，考查复数的基本概念
11. 1.在复平面内,O为原点,向量对应的复数为8+3i,关于y轴对称,则点B对应的复数为(　　)
A.8-3i B.-8-3i
C.3+8i D.-8+3i
答案：D
解析：解答：关于Y轴对称的复数实部相同，虚部互为相反数，故选A
分析：考查复平面的概念，复平面是以实部为x轴，虚部为y轴的二维平面
12.已知复数3-5i,1-i和-2+ai在复平面上对应的点在同一直线上,则实数a的值为(　　)
A.5 B.-2 C.-5 D.
答案：A
解析：解答：设复数3-5i,1-i,-2+ai对应的向量分别为A,B,C(O为坐标原点),
则=(3,-5),=(1,-1),=(-2,a).
∵A,B,C三点共线,∴=t+(1-t),
即(3,-5)=t(1,-1)+(1-t)(-2,a),
∴解得即a的值为5.
分析：此题也可以采用斜率的方法，利用若A,B,C三点共线，则任意两点组成的直线的斜率相等。
13. 设a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的(　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
答案：B
解析：解答：当“a＝0”且“b0”时，复数a＋bi是纯虚数，若复数a＋bi是纯虚数，则a必等于0
分析：简单题。考查复数的基本概念
14. 若复数(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)i对应的点在虚轴上，则实数m的值是(　　)
A．－1 B．4
C．－1或4 D．－1或6
答案：C
解析：解答：因为复数(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)i对应的点在虚轴上m2－3m－4=0
解得m=-1或4，故选C
分析：在虚轴上的复数实部为0.
15. 已知复数z满足|z|2-2|z|-3=0,则复数z对应点的轨迹为(　　)
A.一个圆 B.线段
C.两点 D.两个圆
答案：A
解析：解答：∵|z|2-2|z|-3=0,∴(|z|-3)(|z|+1)=0,∴|z|=3,表示一个圆,故选A
分析：|z|表示复平面上复数z对应的点到原点的距离，即复数z的模
16. 7.若复数z=m+3+(m2-2m-15)i是实数,则实数m=　　　　　.
答案：5或-3
解析：解答：因为复数z=m+3+(m2-2m-15)i是实数，所以m2-2m-15=0，解得m=5或-3.
分析：一个复数为实数当且仅当它的虚部为0即可
17. 若x是实数，y是纯虚数，且满足2x－1＋2i＝y，则x＝________，y＝________.
答案： |2i
解析：解答：因为y是纯虚数，所以2x-1=0,y=2i,解得x=,y=2i
分析：一个复数为纯虚数的充要条件是它的实部为0，虚部不为0
18. 方程(2x2－3x－2)＋(x2－5x＋6)i＝0的实数解x＝________.
答案：2
解析：解答：(2x2－3x－2)＋(x2－5x＋6)i＝0当且仅当2x2－3x－2=0且x2－5x＋6=0，解得x=2
分析：简单题，考查复数的概念
19. 复数z=cos 40°+icos 50°的模|z|=　　　　.
答案：1
解析：解答：z=cos 40°+icos 50°=cos 40°+isin 40°,
所以|z|==1.
分析：复数a+bi的模为，此题属于简单题
20. 复数z满足|z-3+4i|=1(i是虚数单位),则|z|的取值范围是　　　　　.
答案：[4,6]
解析：解答：∵|z-3+4i|=1,∴复数z对应的点是以(3,-4)为圆心,以1为半径的圆上的点,
|z|表示圆上的点到原点的距离,因此其最大值为+1=6,最小值为-1=4.
分析：此题难度较大，考查复数的几何意义。复数可以看成是复平面上以实部为x坐标。虚部为y坐标的点
21. 已知m∈R,复数z=+(m2+2m-3)i,当m为何值时,
（1）z∈R;
答案：若z∈R,则m须满足解得m=-3.
（2）z是虚数;
答案：若z是虚数,则m须满足m2+2m-3≠0且m-1≠0,解得m≠1且m≠-3.
（3）z是纯虚数;
答案：若z是纯虚数,则m须满足
解得m=0或m=-2.
（4）z=+4i.
答案：若z=+4i,则m须满足，解得m∈ .
解析： 分析：对复数a+bi，当b=0时是实数，否则为虚数，当a=0,b非0时为纯虚数
22. 若m为实数,z1=m2+1+(m3+3m2+2m)i,z2=4m+2+(m3-5m2+4m)i,那么使z1>z2的m值的集合是什么
答案：当z1∈R时,m3+3m2+2m=0,
m=0,-1,-2,z1=1或2或5.
当z2∈R时,m3-5m2+4m=0,
m=0,1,4,z2=2或6或18.
上面m的公共值为m=0,
此时z1与z2同时为实数,且z1=1,z2=2.
∴使z1>z2的m值的集合为空集
解析：分析：只有实数之间才能比较大小，所以要求z1>z2，则z1，z2必须为实数
23. 分别求满足下列条件的实数x,y的值.
（1）2x-1+(y+1)i=x-y+(-x-y)i;
答案：∵x,y∈R,∴由复数相等的定义得解得x=3,y=-2.
（2）x-3+(x2-2x-3)i=0.
答案：∵x∈R,∴由复数相等的定义得x-3=0且x2-2x-3=0，∴x=3.
解析： 分析：两个复数相等的充要条件是实部和虚部都相等
24. 实数x分别取什么值时,复数z=x2+x-6+(x2-2x-15)i对应的点Z在下列位置
（1）第三象限;
答案：因为x是实数,所以x2+x-6与x2-2x-15也都是实数.当实数x满足x2+x-6<0且x2-2x-15<0，即-3（2）第四象限;
答案：当实数x满足x2+x-6>0且x2-2x-15<0,即 2（3）直线x-y-3=0上.
答案：当实数x满足(x2+x-6)-(x2-2x-15)-3=0,即x=-2时,点Z在直线x-y-3=0上
解析： 分析：复数可以看成是复平面上以实部为x坐标。虚部为y坐标的点
25. 已知复数z1=1+cos θ+isin θ,z2=1-sin θ+icos θ,且|z1|2+|z2|2≥2,求θ的取值范围
答案：∵|z1|2=(1+cos θ)2+sin2θ=2+2cosθ,
|z2|2=(1-sin θ)2+cos2θ=2-2sin θ,
由|z1|2+|z2|2≥2,得2+2cos θ+2-2sin θ≥2,
即cos θ-sin θ≥-1.
∴cos()≥-
∴2kπ-≤θ≤2kπ+(k∈Z),
故θ的取值范围是[2kπ-,2kπ+](k∈Z).
解析：分析：结合三角函数考查复数的几何意义，属于中档题
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