人教新课标A版选修2-2数学3.2复数代数形式的四则运算同步练习

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3.2复数代数形式的四则运算同步练习
1.复数z=x+yi(x,y∈R)满足条件|z-4i|=|z+2|,则2x+4y的最小值为(　　)
A.2 B.4 C.4 D.16
答案：C
解析：解答：由|z-4i|=|z+2|得|x+(y-4)i|=|x+2+yi|,
∴x2+(y-4)2=(x+2)2+y2,即x+2y=3,
∴2x+4y=2x+22y≥2=4,当且仅当x=2y=时,2x+4y取得最小值4
分析：考查复数求模与基本不等式，属于中档题
2. 设复数z满足z+|z|=2+i,那么z等于(　 　)
A.-1+i B.1-i
C.-1-i D.1+i
答案：D
解析：解答：设z=x+yi(x,y∈R),则x+yi+=2+i,
∴y=1,x+=2解得∴z=1+i
分析：简单题，考查复数求模与复数相等的充要条件
3. 在复平面内，向量对应的复数是2＋i，向量对应的复数是－1－3i，则向量对应的复数为(　　)
A．1－2i B．－1＋2i
C．3＋4i D．－3－4i
答案：D
解析：解答：=-=－1－3i-（2+i）=-3-4i
分析：a+bi对应复平面上点（a,b）,由复平面上的向量和实平面上的向量运算法则相同
4. 在复平面内，点A对应的复数为2＋3i，向量对应的复数为－1＋2i，则向量对应的复数为(　　)
A．1＋5i B．3＋i
C．－3－i D．1＋i
答案：B
解析：解答：=(2，3), =(-1，2),所以=-=（3,1），故选B
分析：a+bi对应复平面上点（a,b）,由复平面上的向量和实平面上的向量运算法则相同
5. 如果一个复数与它的模的和为5＋i，那么这个复数是(　　)
A. B.i
C.＋i D.＋2i
答案：C
解析：解答：设这个复数为a+bi,所以就有a+bi+=5+i,所以b=,a+=5,解得a=,b=,故选C
分析：简单题，利用待定系数法即可解题
6. 设复数z满足关系式z＋|z|＝2＋i，那么z＝(　　)
A．－＋i B.－i
C．－－i D.＋i
答案：D
解析：解答：设z=a+bi,所以就有a+bi+=2+i,所以b=1,a+=2,解得a=,b=1,故选D
分析:简单题，利用待定系数法即可解题
7. 已知复数z1＝3＋2i，z2＝1－3i，则复数z＝z1－z2在复平面内对应的点Z位于复平面内的(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案：C
解析：解答：z＝z1－z2=3+2i-(1-3i)=2-i，故选C
分析：a+bi对应复平面上点（a,b）
8.复数等于(　　)
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
答案：A
解析：解答：=
分析:对分母含有虚数实数化的方法是同乘一个分母的共轭复数
9. 定义运算＝ad－bc，则符合条件＝4＋2i的复数z为(　　)
A．3－i B．1＋3i
C．3＋i D．1－3i
答案：A
解析：解答：=zi+z=4+2i.设z=a+bi(a,b为实数)，所以就有(a-b)+(a+b)i=4-2i,解得a=3,b=-1,故选A
分析：求复数一般用待定系数法
10. 若复数(1＋bi)(2＋i)是纯虚数(i是虚数单位，b是实数)，则b＝(　　)
A．－2 B．－
C. D．2
答案：D
解析：解答：(1＋bi)(2＋i)=2-b+(1+2b)i,因为(1＋bi)(2＋i)是纯虚数，所以2-b=0且1+2b不为0，b=2,故选D
分析：考查复数的乘法，简单题
11. i是虚数单位，若集合S＝{－1,0,1}，则(　　)
A．i∈S B．i2∈S
C．i3∈S D.∈S
答案：B
解析：解答：i2=-1，i3=-i, =-2i,故选B
分析：对复数单位i有i2=-1。
12. i是虚数单位，若＝a＋bi(a，b∈R)，则a＋b的值是(　　)
A．0 B.
C．1 D．2
答案：C
解析：解答：==a+bi,所以a=,b=,a+b=2故选C
分析：对分母含有虚数实数化的方法是同乘一个分母的共轭复数
13. i是虚数单位，复数＝(　　)
A．1＋i B．5＋5i
C．－5－5i D．－1－i
答案：A
解析：解答：==1+I,故选A
分析：对分母含有虚数实数化的方法是同乘一个分母的共轭复数
14. 设复数z满足＝0，则z＝(　　)
A．0 B．1
C. D．2
答案：C
解析：解答：设z=a+bi, =,所以
=0且，解得a=,b=0,z=,故选C
分析：对分母含有虚数实数化的方法是同乘一个分母的共轭复数
15.已知复数z＝(3＋i)2(i为虚数单位)，则|z|＝________.
答案：10
解析：解答：z=8+6i,所以|z|=10
分析：简单题，考查复数求模的方法
16. 设关于x的方程x2-(tan θ+i)x- (2+i)=0有实数根,若θ是一个三角形的内角,则θ的值为　　　　　.
答案：
解析：解答：根据题意x2-(tan θ+i)x-(2+i)=0,x∈R,
∴(x2-xtan θ-2)+(-x-1)i=0,
∴解得x=-1,tan θ=1.
∵θ为三角形内角,∴θ=
分析：此题难度较大，运用复数相等的充要条件解题
17．若(1+i)(2+i)=a+bi,其中a,b∈R,i为虚数单位,则a+b=　　　　　.
答案：4
解析：解答：(1+i)(2+i)=1+3i=a+bi,所以a=1,b=3,a+b=4.
分析：考查复数的乘法，简单题
18. 设a, b∈R,a+bi=5+3i (i为虚数单位),则a+b的值为　　　　　.
答案：8
解析：解答：∵a+bi=5+3i.
根据复数相等的充要条件可得a=5,b=3,
故a+b=8.
分析：简单题，考查复数相等的充要条件
19. 在复平面内，z＝cos10。＋isin10。的对应点在第________象限．
答案：三
解析：解答：z对应的点是（cos10。,sin10。），所以z＝cos10。＋isin10。的对应点在第三象限
分析：a+bi对应复平面上点（a,b）
20. 设复数z1,z2满足|z1|=|z2|=1,且z1+z2=i,求z1与z2.
答案：设z1=a+bi(a,b∈R),z2=c+di(c,d∈R),
则z1+z2=(a+c)+(b+d)i=i,
∴a+c=0,且b+d=1.
∴a=-c,b=-d+1.
∴z1=-c+(1-d)i,z2=c+di.
∵|z1|=|z2|=1,
∴==1,
解得d=,c=,a=-,b=
∴z1=-+i,z2=+i
解析： 分析：中档题，考查待定系数法的应用
21.已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.
答案：(z1－2)(1＋i)＝1－i z1＝2－i，
设z2＝a＋2i，a∈R，
则z1z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i，
∵z1z2∈R，∴a＝4，∴z2＝4＋2i.
解析： 分析：小综合题，难度较大
22. 已知平行四边形ABCD中，与对应的复数分别是3＋2i与1＋4i，两对角线AC与BD相交于P点．
（1）求对应的复数；
答案：∵＝－＝(1,4)－(3,2)＝(－2,2)，
∴与对应的复数为－2＋2i.
（2）求对应的复数；
答案：＝－＝(3,2)－(－2,2)＝(5,0)，
∴与对应的复数为5.
（3）求△APB的面积．
答案：由(1)可知||＝2，||＝，||＝5，
由余弦定理，求得
cosA＝＝.
∴cosA＝，∴sinA＝.
∴S△APB＝·||·||·sinA＝··2·＝5
解析： 分析：a+bi对应复平面上点（a,b）,由复平面上的向量和实平面上的向量运算法则相同
23. 计算：
(1)(－＋i)(2－i)(3＋i)；
答案：原式＝＋i.
(2)
答案：原式＝
＝＝＝＝－2＋2i.
解析：分析：综合考查复数的四则运算，耐心计算即可
24. 设存在复数z同时满足下列条件：
①复数z在复平面内对应点位于第二象限；②z·＋2iz＝8＋ai(a∈R)．
试求a的取值范围．
答案：解：①设z＝x＋yi(x，y∈R)，
由(1)知x<0，y>0，
由②得x2＋y2＋2i(x＋yi)＝8＋ai，
得
由(1)得x2＝－y2＋2y＋8，
x2＝－(y－1)2＋9≤9.
∵x<0，∴－3≤x<0.
∴－6≤a<0.∴a的取值范围是[－6,0)．
解析：分析：本题初看复杂，但利用待定系数法即可轻松解题
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