11.1　余弦定理 练习(2课时,含详解)2024-2025学年高一数学苏教版（2019）必修第二册

11．1　余 弦 定 理
11.1.1　余弦定理(1)
一、 单项选择题
1 (2024南京期中)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝5，b＝2，C＝，则c的值为(　　)
A. 2 B. C. D.
2 (2023佛山月考)在△ABC中，AB＝5，BC＝4，cos B＝，则cos A等于(　　)
A. B. C. D.
3 在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2b＝a＋c，ac＝3，cos B＝，则b的值为(　　)
A. B. C. D.
4 (2024武汉期中)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝3，b＝2，cos (A＋B)＝，则sin A的值为(　　)
A. B. C. D.
5 (2024安庆期中)风筝起源于春秋时期，是中国传统手工艺的代表，被称为人类最早的飞行器．如图所示，在一个简易风筝面的示意图中，AC垂直平分BD，E为垂足，AC＝4AE，CD＝AE，则tan ∠ADC的值为(　　)
A. 8 B. －
C. D. －8
6 (2023苏州期中)在△ABC中，B＝，边BC上的高等于BC，则cos A的值为(　　)
A. － B. － C. D.
二、 多项选择题
7 (2024衡阳期中)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若2bc sin 2A＝b2＋c2－a2，则角A的大小可能为(　　)
A. B. C. D.
8 在△ABC中，已知AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，D为AC的中点，E为BC的中点，AE与BD相交于点M，则下列结论中正确的是(　　)
A. 点M为△ABC的重心
B. ME＝
C. BD＝2
D. cos ∠DBC＝
三、 填空题
9 (2023淮安期中)在△ABC中，若b2＋c2－a2＝－bc，则A＝________．
10 (2024邢台期中)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＋c2－b2＝ac，ac＝4，则·＝________．
11 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b2＋c2＝4a2，则cos A的最小值为________．
四、 解答题
12 (2024江苏期中)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝8，b＝6，c＝4，求中线AD的长．
13 (2023佛山期中)如图，在△ABC中，B＝45°，点D在BC边上，且CD＝2，AD＝3，cos ∠ADC＝.
(1) 求AC的长；
(2) 求sin ∠BAD的值．
11．1.2　余弦定理(2)
一、 单项选择题
1 在△ABC中，若cos A cos B－sin A sin B>0，则下列结论中正确的是(　　)
A. a2＋b2>c2 B. a2＋b2C. a2＋c2＝b2 D. b2＋c22 已知△ABC满足B＝60°，AB＝3，AC＝，则BC的长等于(　　)
A. 2 B. 1 C. 1或2 D. 无解
3 (2024重庆期中)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos A＋a cos B＝b，则△ABC的形状是(　　)
A. 直角三角形 B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形
4 (2024天津期中)一个人骑自行车由A地出发向正东方向骑行了2 km到达B地，然后由B地向南偏东30°方向骑行了2 km到达C地，再从C地向北偏东30°方向骑行了8 km到达D地，则A，D两地的距离为(　　)
A. 2 km B. 5 km
C. 2 km D. 6 km
5 (2024南京期末)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B＝，边BC上的高等于a，则cos A 的值为(　　)
A. B. C. － D. －
6 (2024福州期中)已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c2＝a(a＋b)，∈(，)，则角A的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
二、 多项选择题
7 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知cos C＋cos A＝1，则下列结论中正确的是(　　)
A. b2＝ac
B. b2＝2ac
C. cos B∈
D. cos B∈
8 (2024成都月考)若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足4a sin2＝2a－b，则下列结论中正确的是(　　)
角C可以为锐角
B. tan C＝3tan A
C. a2＋2b2＝c2
D. 角B的最大值为
三、 填空题
9 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a∶b∶c＝1∶1∶，则C＝________．
10 (2024泉州月考)如图，海岸线上有相距 5 n mile 的两座灯塔A，B，灯塔B位于灯塔A的正南方向，海上停泊着两艘货轮，甲船位于 灯塔A 的北偏西75°方向，与A相距3 n mile 的D处；乙船位于塔B的北偏西60°方向，与B相距5 n mile的C处，则两货轮的距离为________n mile.
11 (2024厦门三模)记锐角三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若2cos C＝－，则角B的取值范围是________．
四、 解答题
12 (2024江苏月考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b＝，c＝2，B＝.
(1) 求a的值；
(2) 求cos (B－A)的值．
13 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2bc sin A＝(b2＋c2－a2).
(1) 求角A的大小；
(2) 若D为AC的中点，BD＝，AB＝2，求a的值．
11.1　余 弦 定 理
11.1.1　余弦定理(1)
1. D 　c2＝a2＋b2－2ab cos C＝25＋4－2×5×2×＝19，所以c＝.
2. A　由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B，解得AC＝3，所以AB2＝AC2＋BC2，所以△ABC为直角三角形，且∠C＝90°，则在Rt△ABC中，cos A＝＝.
3. B　由2b＝a＋c，及余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B，即b2＝(a＋c)2－ac＝4b2－，解得b2＝，即b＝.
4. C　因为cos (A＋B)＝－cos C＝，所以cos C＝－，所以c2＝a2＋b2－2ab cos C，即c2＝32＋22－2×3×2×＝17，解得c＝.由余弦定理，得cos A＝＝＝.因为sin A>0，所以sin A＝＝＝.
5. A　设AE＝1，则AC＝4，CD＝，EC＝3，所以DE＝＝2，AD＝＝.在△ACD中，由余弦定理可得cos ∠ADC＝＝＝，所以sin ∠ADC＝＝，tan ∠ADC＝8.
6. B　如图，设BC＝x，则边BC上的高AD＝.因为B＝，所以AB＝＝，BD＝＝，则DC＝BC－BD＝，所以AC2＝DC2＋AD2＝＋＝.在△ABC中，由余弦定理可得cos A＝＝＝－.
7. ACD　由题意，得sin 2A＝＝cos A，即2sin A cos A＝cos A，则cos A＝0或sin A＝.因为A∈(0，π)，所以A＝或A＝或A＝.故选ACD.
8. ABD　对于A，由重心的概念，三角形中线的交点为三角形的重心，故A正确；对于B，因为AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，E为BC的中点，所以AE＝2，BE＝2，所以ME＝AE＝，故B正确；对于C，在△ABD中，由余弦定理，得BD＝＝＝2，故C错误；对于D，在△DBC中，由余弦定理，得cos ∠DBC＝＝＝，故D正确．故选ABD.
9. 135°　由余弦定理，得cos A＝＝＝－.又A∈(0°，180°)，所以A＝135°.
10. －2　在△ABC中，由余弦定理，得cos B＝＝＝，所以·＝ac cos (π－B)＝－ac cos B＝－2.
11. 　在△ABC中，cos A＝.因为b2＋c2＝4a2，所以cos A＝.又4a2＝b2＋c2≥2bc，当且仅当b＝c时取等号，故cos A＝≥＝，故cos A的最小值为.
12. 根据题意，作图如下，
在△ABD和△ADC中，由余弦定理，得AB2＝AD2＋DB2－2AD·DB cos ∠ADB，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC cos ∠ADC.
又cos ∠ADB＝－cos ∠ADC，
两式相加得AB2＋AC2＝2AD2＋DB2＋DC2，
即42＋62＝2AD2＋42＋42，所以2AD2＝20，
所以AD＝，
即中线AD的长为.
13. (1) 因为CD＝2，AD＝3，cos ∠ADC＝，
所以在△ADC中，由余弦定理得，cos ∠ADC＝＝＝，
所以AC2＝9，所以AC＝3.
(2) 因为cos ∠ADC＝，
所以sin ∠ADC＝.
又由题意可得∠BAD＝∠ADC－∠B，
所以sin ∠BAD＝sin (∠ADC－∠B)
＝sin ∠ADC cos ∠B－cos ∠ADC sin ∠B
＝×－×＝.
11．1.2　余弦定理(2)
1. B　因为cos A cos B－sin A sin B＝cos (A＋B)>0，所以cos C＝－cos (π－C)＝－cos (A＋B)<0.由余弦定理，得cos C＝<0，所以a2＋b22. C　因为B＝60°，AB＝3，AC＝，所以由余弦定理，得()2＝BC2＋32－2×3×BC，即BC2－3BC＋2＝0，解得BC＝1或BC＝2.
3. B　因为b cos A＋a cos B＝b所以b×＋a×＝b，整理得c＝b，即△ABC的形状是等腰三角形．
4. A　如图，由题意，得∠ABC＝120°，∠BCD＝60°，AB＝BC＝2，CD＝8，所以∠ACB＝30°，∠BCD＝60°，所以∠ACD＝90°.在△ABC中，由余弦定理，得AC2＝22＋22－2×2×2×cos 120°＝12，所以AD＝＝＝2，即A，D两地的距离为2 km.
5. D　如图，作AD⊥BC，垂足为D.在Rt△ABD中，B＝，AD＝a，所以BD＝＝，AB＝＝，∠BAD＝.由BD＝可知，D为BC的中点，AD为BC的垂直平分线，所以△ABC为等腰三角形，∠BAC＝，所以cos ∠BAC＝cos ＝－.
6. B　在△ABC中，由c2＝a(a＋b)，得c2－a2＝ab>0，则c>a，07. AD　因为cos C＋cos A＝1，所以由余弦定理可知·＋·＝1，化简，得b2＝ac，故A正确，B错误；cos B＝＝≥＝，当且仅当a＝c时取等号，则 cos B 的取值范围为，故C错误，D正确．故选AD.
8. CD　由4a sin2＝2a－b，得1－＝＝2sin2＝1－cos(A＋B)＝1－cos (π－C)＝1＋cos C，所以cos C＝－<0，所以C是钝角，故A错误；由于C是钝角，所以A是锐角，从而tan C<0<3tan A，故B错误；由cos C＝－，结合余弦定理有－＝cos C＝，即－b2＝a2＋b2－c2，故a2＋2b2＝c2，故C正确；由a2＋2b2＝c2，结合余弦定理有cos B＝＝＝≥＝，所以B≤.当且仅当a＝c时，等号成立．即当a＝b＝1，c＝时，有A＝B＝，C＝，此时4a sin2＝4sin2＝4×＝1＝2－1＝2a－b，满足题意，所以角B的最大值是，故D正确．故选CD.
9.　因为a∶b∶c＝1∶1∶，所以设a＝x，b＝x，c＝x，则cos C＝＝＝－.因为C∈(0，π)，所以C＝.
10. 　连接AC，由题意可知AB＝BC＝5，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，所以AC＝5，∠CAD＝45°.由余弦定理，得CD2＝AC2＋AD2－2×AC×AD×cos ∠CAD＝25＋18－2×5×3×＝13，所以CD＝.
11. 　因为2cos C＝－，所以2ab cos C＝3b2－a2.在△ABC中，由余弦定理可得2ab cos C＝a2＋b2－c2，所以b2＝a2－c2.在锐角三角形ABC中，由余弦定理可得cos B＝＝＝＝×.因为即即2a2>c2，所以<，所以cos B＝×<×＝，所以B∈.
12. (1) 在△ABC中，因为b＝，c＝2，B＝，
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B，
即19＝a2＋4－2×2a×，
整理得a2－2a－15＝0，解得a＝5或a＝－3(舍去)，
所以a的值为5.
(2) 在△ABC中，由余弦定理，得cos A＝＝＝－.
因为A∈(0，π)，
所以sin A＝＝.
又因为B＝，
所以cos(B－A)＝cos ＝cos cos A＋sin sin A＝×＋×＝.
13. (1) 因为2bc sin A＝(b2＋c2－a2)，
所以sin A＝×，
即sin A＝cos A，所以tan A＝.
因为A∈(0，π)，所以A＝.
(2) 在△ABD中，由余弦定理，得
BD2＝AB2＋AD2－2AD×AB cos A，
即7＝4＋AD2－2AD，
解得AD＝3或AD＝－1(舍去).
又D为AC的中点，所以AC＝6.
在△ABC中，由余弦定理，得
BC2＝AB2＋AC2－2AC×AB cos A，
即BC2＝4＋36－12＝28，所以a＝BC＝2.