11.2　正弦定理 练习(2课时,含详解)2024-2025学年高一数学苏教版（2019）必修第二册

11．2　正 弦 定 理
11.2.1　正弦定理(1)
一、 单项选择题
1 (2023常州期中)在△ABC中，若A＝45°，B＝30°，BC＝3，则边AC的长为(　　)
A. B.
C. D. 3
2 (2024长寿期中)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c cos A＝a sin C，则角A的值为(　　)
A. B.
C. D.
3 (2024湖北月考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＝，B＝，cos A＝－，则a的值为(　　)
A. B.
C. D.
4 (2024佛山月考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin B＋sin C＝2sin A，若△ABC的周长为3，则a的值为(　　)
A. 1 B. 2
C. D.
5 (2024湖南期中)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2＝tan A，b2＝tan B，且a≠b，则角C的值为(　　)
A. B.
C. D.
6 (2024哈尔滨期中)在△ABC中，A＝30°，AC＝2，满足此条件的△ABC有两解，则边BC长度的取值范围为(　　)
A. (2，4) B. (3，2)
C. (2，＋∞) D. (，2)
二、 多项选择题
7 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝2，A＝30°，若满足条件的△ABC唯一确定，则a的可能值为(　　)
A. B. 1 C. D. 2
8 (2024南京月考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a∶b∶c＝2∶3∶4，则下列结论中正确的是(　　)
A. sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4
B. △ABC是钝角三角形
C. 若c＝8，则△ABC外接圆的半径为
D. 若c＝8，则边AB上的中线长为
三、 填空题
9 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝2，c＝，sin A＋cos A＝0，则角B的大小为________．
10 (2023南平期末)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b cos C＋c cos B＝2a·cos A，b＝2，c＝3，则a＝________．
11 (2023常州期中)在△ABC中，点D在边BC上，AB＝，CD＝5，B＝45°，∠ADB＝60°，则AC的长为________．
四、 解答题
12 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A＝60°，sin B＝，a＝3，求三角形中其他边的边长与角的大小．
13 在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2c sin A.
(1) 求角C的大小；
(2) 若c＝，且ab＝6，求△ABC的周长．
11．2.2　正弦定理(2)
一、 单项选择题
1 在△ABC中，若·＝2，且∠BAC＝30°，则△ABC的面积为(　　)
A. B. 2 C. D.
2 (2024南京月考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝3，A＝，cos B＝，则b的值为(　　)
A. 2 B. C. 2 D. 2
3 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a sin B＋b cos A＝0.若D是BC的中点，AD＝，b＝3，则c的值为(　　)
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
4 (2024常德期中)在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知b＝3，c＝2，△ABC的面积为，则a的值为(　　)
A. B. 3 C. D.
5 (2024三明月考)圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美．为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，AB的高度约为36 m，在它们之间的地面上的点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是45°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为15°，则估算索菲亚教堂CD的高度约为(　　)
　　
A. 50 m B. 54 m C. 58 m D. 60 m
6 (2024莆田期中)已知△ABC的三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足＝＝，则tan A的值为(　　)
A. B.
C. D. 2
二、 多项选择题
7 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知＝，S△ABC＝，且b＝3，则下列结论中正确的是(　　)
A. cos B＝ B. cos B＝
C. a＋c＝ D. a＋c＝3
8 (2024南通期中)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法中正确的是(　　)
A. 若b cos C＋c cos B＝b，则△ABC是等腰三角形
B. 若a＝2，b＝3，A＝30°，则符合条件的△ABC有两个
C. 若sin 2A＝sin 2B，则△ABC为等腰三角形
D. 若sin 2B＋sin 2C＝sin 2A，则△ABC为直角三角形
三、 填空题
9 (2023徐州期末)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝，b＝3，B＝2A，则c＝________．
10 (2024扬州期中)在△ABC中，角A的平分线交边BC于点D，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝60°，则角平分线AD的长为________．
11 (2024北京期中)如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得点B和点D的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得点B和点D的仰角均为60°，AC＝1 km.则点B，D之间的距离为________km.
四、 解答题
12 (2023泰州中学期中)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a cos C＋ccos A＝b tan A.
(1) 求角A的大小；
(2) 若a＝，b＝，求△ABC的面积．
13 (2024延边期中)海岸上建有相距40 n mile的雷达站C，D，某一时刻接到海上船B因动力故障发出的求救信号后，调配附近的船A紧急前往救援，雷达站测得角度数据为α＝∠BCA＝45°，β＝∠ACD＝30°，γ＝∠BDC＝45°，δ＝∠ADB＝75°.
(1) 救援出发时，船A距离雷达站C的距离为多少？
(2) 求A，B之间的距离，并判断若船A以30 n mile/h的速度前往B处，能否在3 h内赶到救援(请说明理由)
11．2　正 弦 定 理
11.2.1　正弦定理(1)
1. B　因为A＝45°，B＝30°，BC＝3，所以由正弦定理得＝，所以AC＝＝＝.
2. A　因为c cos A＝a sin C，所以由正弦定理可得sin C cos A＝sin A sin C．又C为三角形的内角，所以sin C≠0，可得cos A＝sin A，即tan A＝1.又03. B　在△ABC中，因为b＝，B＝，cos A＝－，所以sin A＝，则正弦定理＝，可得a＝＝＝.
4. A　由正弦定理，得b＋c＝2a.又△ABC的周长为3，所以a＋b＋c＝3，所以3＝a＋b＋c＝a＋2a＝3a，解得a＝1.
5. B　由a2＝tan A，b2＝tan B，得＝，＝.因为＝，所以a cos A＝b cos B，即sin A cos A＝sin B cos B，所以sin 2A＝sin 2B，所以A＝B或2A＋2B＝π.又a≠b，所以A≠B，则B＋A＝，所以C＝.
6. D　因为△ABC有两解，所以AC sin 30°7. BD　若满足条件的△ABC唯一确定，则a＝b sin A＝2×sin 30°＝1或a≥b＝2.故选BD.
8. ABD　在△ABC中，因为a∶b∶c＝2∶3∶4，所以设a＝2t，b＝3t，c＝4t，且t>0，对于A，由正弦定理，得sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝2∶3∶4，故A正确；对于B，因为a∶b∶c＝2∶3∶4，所以角C最大，又cos C＝＝＝－，所以C为钝角，即△ABC是钝角三角形，故B正确；对于C, 因为cos C＝－，所以sin C＝，在△ABC中，由正弦定理，得2R＝＝，即R＝，故C错误；对于D，设边AB上的中点为D，连接AD.若c＝8，则a＝4，b＝6.在△ABC中，由余弦定理，得cos A＝＝＝，所以在△ACD中，由余弦定理可得CD2＝b2＋－2b×c cos A＝62＋×82－2×6××8×＝10，所以CD＝，故D正确．故选ABD.
9. 　因为sin A＋cos A＝0，所以tan A＝－1.又A∈(0，π)，所以A＝.由正弦定理可知＝，即＝，解得sin C＝.因为A＝，所以C＝，所以B＝π－A－C＝.
10. 　由正弦定理，得sin B cos C＋sin C cos B＝2sin A cos A，所以sin (B＋C)＝sin A＝2sin A cos A．又A∈(0，π)，所以sin A≠0，则cos A＝，则A＝.由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝4＋9－2×2×3×＝7，所以a＝.
11. 7 　如图，在△ABD中，由正弦定理，得＝，即AD＝AB·＝×＝3.由∠ADB＝60°，可得∠ADC＝120°.又CD＝5，在△ACD中，由余弦定理，得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD cos 120°＝9＋25－2×3×5×＝49，所以AC＝7.
12. 由sin B＝，且A＝60°，得0则B＝30°，所以C＝90°.
由正弦定理，得＝＝，
得b＝＝＝，c＝＝＝2.
13. (1) 由a＝2c sin A及正弦定理，
得＝＝.
因为sin A>0，所以sin C＝，
因为△ABC是锐角三角形，所以C＝.
(2) 由余弦定理，得a2＋b2－2ab cos ＝7.
因为ab＝6，所以a2＋b2＝13，
解得或(负值舍去)，
所以△ABC的周长为a＋b＋c＝5＋.
11．2.2　正弦定理(2)
1. C　设在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.由·＝2，得bc cos 30°＝2，所以bc＝.由三角形面积公式，得S＝bc sin ∠BAC＝××＝.
2. D　因为cos B＝，B∈(0，π)，所以sin B＝.在△ABC中，已知a＝3，A＝.由正弦定理＝，得b＝＝＝2.
3. B　由a sin B＋b cos A＝0，结合正弦定理可得sin A sin B＋sin B cos A＝0.又sin B≠0，可得tan A＝－.因为04. C　由题意可得△ABC的面积S△ABC＝bc·sin A＝，即×3×2sin A＝，解得sin A＝.又A为锐角，可得A＝.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝9＋12－2×3×2×＝3，所以a＝或a＝－(舍去).
5. B　由题意，得AM＝AB＝36(m)，CM＝＝CD，∠CAM＝15°＋45°＝60°，∠AMC＝180°－60°－45°＝75°，∠ACM＝180°－∠CAM－∠AMC＝45°.在△AMC中，由正弦定理可得＝，即＝，解得CD＝54(m).
6. A　因为＝＝，则由正弦定理得＝＝＝k(k>0)，所以tan A＝2k，tan B＝3k，tan C＝6k，所以－tan C＝tan (A＋B)＝＝＝＝－6k，解得k＝(负值舍去)，所以tan A＝.
7. AD　由＝＝，整理，得sin B cos C＝2sin A cos B－sin C cos B，则sin B cos C＋sin C cos B＝sin (B＋C)＝sin A＝2sin A cos B. 因为sin A≠0，所以cos B＝，故A正确，B错误；因为B∈(0，π)，所以B＝. 因为S△ABC＝，b＝3，所以＝ac sin B＝ac×＝ac，解得ac＝3.由余弦定理，得9＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac＝(a＋c)2－9，解得a＋c＝3，故C错误，D正确．故选AD.
8. ABD　对于A，由正弦定理，得sin B＝sin B cos C＋sin C cos B＝sin (B＋C)＝sin A，所以b＝a，故A正确；对于B，由余弦定理知a2＝b2＋c2－2bc cos A，即4＝9＋c2－3c，解得c＝，故B正确；对于C，若A＝，B＝，C＝，则sin 2A＝sin ＝sin ＝sin 2B，但△ABC不是等腰三角形，故C错误；对于D，若sin 2B＋sin 2C＝sin 2A，则有2sin A cos A＝sin 2A＝sin 2B＋sin 2C＝2sin (B＋C)cos (B－C)＝2sin A cos (B－C)，故cos A＝cos (B－C)，从而0＝cos (B－C)－cos A＝cos (B－C)＋cos (B＋C)＝2cos B cos C，所以cos B＝0或cos C＝0，即B＝或C＝，故D正确．故选ABD.
9. 2　在△ABC中，a＝，b＝3，B＝2A，由正弦定理，得＝，即＝，得2sin A cos A＝3sin A.因为sin A≠0，所以2cos A＝3，得cos A＝.因为A∈(0，π)，所以A＝，所以B＝，则C＝，所以c＝2a＝2.
10. 　设AD＝x，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝30°.由S△BAD＋S△CAD＝S△BAC，得×3x sin 30°＋×2x sin 30°＝×2×3sin 60°，解得x＝.
11. 　由题意，在△ACD中，∠CAD＝30°，∠ACD＝120°，则∠ADC＝30°，所以CD＝AC＝1，AD＝2AC cos 30°＝.在△ABC中，∠BAC＝105°，∠ACB＝60°，则∠ABC＝15°.又cos 75°＝sin 15°＝sin (45°－30°)＝×－×＝，则由正弦定理得AB＝＝＝.在△ABD中，∠BAD＝75°，由余弦定理得BD2＝＋()2－2×××＝，所以BD＝.
12. (1) 因为a cos C＋c cos A＝b tan A，
由正弦定理，得sin A cos C＋cos A sin C＝sin B tan A，
整理，得sin (A＋C)＝sin B＝sin B tan A.
因为sin B>0，所以tan A＝.
又A∈(0，π)，所以A＝.
(2) 因为a2＝b2＋c2－2bc cos A，
所以21＝3＋c2－2c×，
即c2－3c－18＝0，解得c＝6(负值舍去)，
所以△ABC的面积为×6××sin ＝.
13. (1) 在△ADC中，因为∠ACD＝30°，∠BDC＝45°，∠ADB＝75°，
所以∠DAC＝180°－∠ACD－∠BDC－∠ADB＝30°，∠ADC＝∠BDC＋∠ADB＝120°.
又DC＝40，所以由正弦定理可得＝，即＝，解得AC＝120，
所以A船距离雷达站C的距离为120 n mile.
(2) 在△BDC中，根据正弦定理可得＝，
即＝，解得BC＝40.
在△ABC中，由余弦定理可得AB2＝1202＋(40)2－2×120×40cos 45°＝8 000，
解得AB＝40，即A，B之间的距离为40 n mile.
因为A船以30 n mile/h时的速度前往B处，而＝<3，所以船A能在3 h内赶到救援．