11.3　余弦定理、正弦定理的应用 练习(2课时,含详解)2024-2025学年高一数学苏教版（2019）必修第二册

11．3　余弦定理、正弦定理的应用
11.3.1　余弦定理、正弦定理的应用(1)
一、 单项选择题
1 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2＋b2＋c2＝2bc cos A＋2ac cos B，则△ABC一定是(　　)
A. 锐角三角形 B. 钝角三角形
C. 等边三角形 D. 直角三角形
2 (2023镇江中学期中)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，b＝2，A＝，则角B的大小为(　　)
A. B.
C. D. 或
3 (2024宁波期中)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a＋b)2－c2＝4，C＝，则△ABC的面积为(　　)
A. B. C. D. 2
4 (2024南充期中)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若sin B－sin A(sin C＋cos C)＝0，a＝2，c＝2，则b的值为(　　)
A. B. C. 2 D. 2
5 (2024山东期中)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b sin A＝a cos B，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝，则a＋3c的最小值是(　　)
A. 4 B. 8
C. 3＋2 D. 4＋2
6 (2024哈尔滨期中)在锐角三角形ABC中，4S－2bc＝a2－(b－c)2，a＝，则△ABC周长的取值范围是(　　)
A. (2，3＋] B. (3，2＋2]
C. (3＋，3] D. (3，3＋]
二、 多项选择题
7 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列命题中正确的是(　　)
A. 若sin A>sin B，则A>B
B. 若△ABC是边长为1的正三角形，则·＝
C. 若B＝，b＝，c＝2，则△ABC只有一解
D. 若O是△ABC所在平面内的一点，且|－|＝|＋－2|，则△ABC是直角三角形
8 (2024成都期中)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c cos B＋b cos C＝a2，则下列说法中正确的是(　　)
A. a＝1
B. 若B＋C＝2A，则△ABC面积的最大值为
C. 若C＝2A，且△ABC为锐角三角形，则c的取值范围为(1，)
D. 若点O为△ABC的外心，则·＝
三、 填空题
9 在△ABC中，A＝60°，4sin B＝5sin C，S△ABC＝20，则其周长为________．
10 (2023南师大附中期中)在△ABC中，AB＝3，∠ABC＝，∠ACB＝，点D在BC的延长线上，且CD＝10，则 AD＝________.
11 (2023南通月考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A＝60°，且△ABC的面积为，若b＋c＝3，则a＝________．
四、 解答题
12 (2024河西期中)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2＋c2－bc＝a2.
(1) 求角A的大小；
(2) 若b＝2，sin C＝.
①求sin B的值；
②求△ABC的面积.
13 (2024宁波期中)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b cos A－a cos B＝a＋c.
(1) 求角B的大小；
(2) 若b＝，a＝2，点D在边AC上，且CD＝2AD，求BD的长．
11．3.2　余弦定理、正弦定理的应用(2)
一、 单项选择题
1 某船在小岛A的南偏东75°，相距20 n mile 的点B处，若该船沿东北方向行驶20 n mile到达点C处，则此时该船与小岛A之间的距离为(　　)
A. 10(－)n mile
B. 10(＋)n mile
C. 20 n mile
D. 20 n mile
2 (2024周口月考)在某次军事演习中红方为了准确分析战场形势，在两个相距为的军事基地C和D，测得蓝方两支精锐部队分别在点A处和点B处，且∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°，如图，则蓝方这两支精锐部队之间的距离为(　　)
A. a
B. a
C. a
D. a
3 (2023广州西关期中)如图，某中学校园内的红豆树已有百年历史，小明为了测量红豆树的高度，他选取与红豆树根部C在同一水平面的A，B两点，在点A处测得红豆树根部C在西偏北30°的方向上，沿正西方向步行 40 m 到点B处，测得树根部C在西偏北75°的方向上，树梢D的仰角为30°，则红豆树的高度为(　　)
A. 10 m B. 20 m
C. m D. m
4 (2023武汉期中)“不以规矩，不成方圆．”出自《孟子·离娄章句上》. “规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的角尺，用来测量、画圆和方形图案的工具．有一圆形木板，以“矩”量之，较长边为10 cm，较短边为5 cm，如图，将这个圆形木板截出一块三角形木板，三角形定点A，B，C都在圆周上，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足c＝4 cm.若S△ABC＝8 cm2，且a>c，则下列结论中正确的是(　　)
A. sin C＝
B. △ABC的周长为12＋4 cm
C. △ABC的周长为15＋4 cm
D. 圆形木板的半径为2 cm
二、 多项选择题
5 (2024白山月考)湖光岩玛珥湖，位于广东省湛江市麻章区湖光镇，是中国乃至世界上最大的湿玛珥湖，是中国玛珥湖研究的始发点，也是世界玛珥湖研究的关键点．某小组计划测量如图所示的湖光岩玛珥湖的东西方向的总湖长，即测量湖光岩玛珥湖湖岸的两个测量基点P，Q之间的距离，在湖光岩玛珥湖的湖岸取另外两个测量基点M，N，测得MN＝380 m，∠PMQ＝，∠QMN＝∠PNM＝，∠PNQ＝，则下列结论中正确的是(　　)
　　
A. MQ＝380 m B. PM＝380 m
C. PN＝380 m D. PQ＝1 900 m
6 (2024齐齐哈尔月考)在学习了三角形的知识后，为了锻炼实践能力，某同学搞了一次实地测量活动．如图，他位于河东岸，在靠近河岸不远处有一小湖，他在点A处测得河对岸点B位于南偏西45°的方向上，由于受到地势的限制，他又选了点C，D，E，使点B，C，D共线，点B位于点D的正西方向上，点C位于点D的正东方向上，测得CD＝CE＝100 m，∠BAD＝75°，∠AEC＝120°，AE＝200 m，则下列结论中正确的是(　　)
A. AD＝200 m
B. △ADC的面积为1 000 m2
C. AB＝100 m
D. 点A在点C的北偏西30°方向上
三、 填空题
7 (2024抚州期中)已知A，B，C三座小岛的位置如图所示，其中B岛在A岛的南偏西60°方向，C岛在B岛的正东方向，A，C两岛相隔4 n mile，一货轮由A岛出发沿着AC的方向直线航行了的路程后，到达M岛进行补给后再前往C岛，若M岛到B岛的距离与M岛到A岛的距离相同，则B，C两岛的距离为________n mile.
8 (2024临沂一模)在同一平面上有相距14 km的A，B两座炮台，A在B的正东方．某次演习时，A向西偏北θ方向发射炮弹，B则向东偏北θ方向发射炮弹，其中θ为锐角，观测回报两炮弹皆命中18 km外的同一目标，接着A改向向西偏北方向发射炮弹，弹着点为18 km外的点M，则B炮台与弹着点M的距离为________km.
四、 解答题
9 (2024上海期中)如图，A，B，C三地在以点O为圆心的圆形区域边界上，AB＝30 km，AC＝10 km，〈，〉＝60°，D是圆形区域外一景点，·＝0，〈，〉＝60°.
(1) 求半径OA的长；(精确到小数点后两位)
(2) 若一汽车从A处出发，以50 km/h的速度沿公路AD行驶到D处，需要多少小时？(精确到小数点后两位)
10 (2024哈尔滨期中)如图，某海域在点A，B两处分别设有停靠码头，点B在点A北偏东30°相距(＋) n mile处，现由甲，乙两艘货船分别从A，B两处向C处航行．甲货船从点A处以2 n mile/h的速度沿着正东方向行驶，乙货船从点B处以3 n mile/h的速度向沿东偏南45°的方向行驶，当航行至1小时，甲货船到达E处，乙货船到达F处，此时乙货船因故障停止航行并发出求救信号，甲接到信号后立即掉转方向并以2 n mile/h的速度行至点F处施展抢修工作．
(1) 求码头B和甲船位置E处相距多少海里；
(2) 若抢修工作共经历1 h，抢修结束后乙船仍以原速度驶向点C处，则自乙船从点B处出发到乙船行至点C处为止，共经过了多长时间．
11．3　余弦定理、正弦定理的应用
11.3.1　余弦定理、正弦定理的应用(1)
1. D　由余弦定理，得b2＋c2＝2bc cos A＋a2，所以2a2＋2bc cos A＝2bc cos A＋2ac cos B，所以a＝c cos B＝c·，整理，得a2＋b2＝c2，所以C为直角，即△ABC一定为直角三角形．
2. A　因为a＝2，b＝2，A＝，所以由正弦定理，得sin B＝＝.因为b3. A　在△ABC中，由余弦定理，得＝＝，即＝，解得ab＝，则S△ABC＝××＝.
4. C　由sin B－sin A(sin C＋cos C)＝0可得sin (A＋C)－sin A sin C－sin A cos C＝0，所以cos Asin C－sin A sin C＝0，因为sin C≠0，所以cos A－sin A＝0，所以tan A＝1，因为A∈(0，π)，所以A＝，在△ABC中，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cos A，所以22＝b2＋(2)2－2b·2cos ，所以b2－4b＋4＝0，解得b＝2.
5. D　因为b sin A＝a cos B，由正弦定理，得sin B sin A＝sin A cos B，且sin A≠0，所以tan B＝，∠ABC∈(0，π)，故∠ABC＝，则△ABC的面积为ac sin ＝a·sin ＋c·sin ，即ac＝a＋c，所以＋＝1，所以a＋3c＝(a＋3c)＝4＋＋≥4＋2＝4＋2.当且仅当＝时取等号，所以a＋3c的最小值为4＋2.
6. C　由三角形面积公式和余弦定理，得4×bc sin A－2bc＝a2－b2－c2＋2bc，即2bc sin A－2bc＝－2bc cos A＋2bc，整理，得sin A＋cos A＝2，即sin (A＋)＝1，在锐角三角形ABC中，A＝，由正弦定理，得＝＝＝＝2，所以b＝2sin B，c＝2sin C，因为三角形周长为a＋b＋c＝＋2sin B＋2sin C，又因为A＝，所以C＝π－B，所以a＋b＋c＝＋2sin B＋2sin (π－B)＝＋2sin B＋cos B＋sin B＝2sin (B＋)＋，因为B∈，C∈(0，)，即B∈，π－B∈，所以B∈(，)，即B＋∈，sin ∈，所以a＋b＋c∈(3＋，3].
7. AD　对于A，由＝，sin A>sin B，得a>b，则A>B，故A正确；对于B，·＝||||cos 120°＝－，故B错误；对于C，由＝＝2，得sin C＝.又08. ABD　对于A，因为c cos B＋b cos C＝a2，由正弦定理可得sin C cos B＋sin B cos C＝sin A＝a sin A，且00，所以a＝1，故A正确；对于B，若B＋C＝2A，且B＋C＋A＝π，所以A＝.由余弦定理，得cos A＝cos ＝＝＝，由b>0，c>0，得b2＋c2＝bc＋1≥2bc，当且仅当b＝c时，等号成立，所以bc≤1，则S△ABC＝bc sin A≤×＝，所以△ABC面积的最大值为，故B正确；对于C，若C＝2A，所以B＝π－A－2A＝π－3A，且△ABC为锐角三角形，
所以解得9. 18＋2　因为4sin B＝5sin C，所以由正弦定理，得4AC＝5AB.设AC＝5x，则AB＝4x，所以S△ABC＝·4x·5x·sin 60°＝20，解得x＝2或x＝－2(舍)，所以AC＝10，AB＝8.由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos A，解得BC＝2，故此三角形的周长为18＋2.
10. 14　如图，在△ABC中，因为AB＝3，∠ABC＝，∠ACB＝，所以由正弦定理，得＝，即＝，解得AC＝6.在△ADC中，因为AC＝6，CD＝10，且∠ACD＝，所以由余弦定理，得AD2＝AC2＋CD2－2AC·CDcos ＝196，所以AD＝14.
11. 3　由S△ABC＝bc sin A＝，解得bc＝6.又b＋c＝3，联立bc＝6，得b＝2，c＝或b＝，c＝2.由余弦定理，得cos A＝＝＝，解得a＝3(负值舍去).
12. (1) 因为b2＋c2－bc＝a2，由余弦定理，得b2＋c2－2bc cos A＝a2，
则cos A＝，又A∈(0，π)，所以A＝.
(2) ①因为sin C＝由正弦定理有c所以cos C＝＝，
则sinB＝sin (A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C＝×＋×＝.
②由正弦定理可知a＝＝＝，
故△ABC的面积为S△ABC＝ab sin C＝××2×＝.
13. (1) 因为b cos A－a cos B＝a＋c，
由余弦定理，得b·－a·＝a＋c，
整理，得a2＋c2－b2＝－ac，
所以cos B＝＝－，
又B∈(0，π)，
所以B＝.
(2) 因为b＝，a＝2，B＝，
所以由正弦定理＝，得sin A＝＝＝，
由a由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cosB，即7＝4＋c2－2×2×c×，
整理，得c2＋2c－3＝0，解得c＝1或c＝－3(舍去)，
如图，又点D在边AC上， 且CD＝2AD，
所以AD＝AC＝，
所以在△ABD中，由余弦定理，得BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD cos A＝12＋－2×1××＝，即BD＝.
11．3.2　余弦定理、正弦定理的应用(2)
1. D　由题意，得在△ABC中，AB＝BC＝20，∠ABC＝120°，则由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos ∠ABC＝400＋400－2×20×20×＝1 200，所以AC＝20 n mile.
2. B　由题意，得∠ADC＝60°，又因为∠ACD＝60°，所以∠CAD＝60°，所以AD＝CD＝AC＝a，在△BCD中，∠BCD＝105°，∠DBC＝45°，由正弦定理得＝，所以BC＝＝＝a.在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos ∠ACB＝a2＋a2－2×a×a×＝a2，所以AB＝a.
3. D　如图，由题意，得在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝75°－30°＝45°，AB＝40.由正弦定理，得＝，则BC＝＝20.在Rt△BCD中，因为∠DBC＝30°，所以CD＝BC tan 30°＝20×＝，所以红豆树的高度为 m.
4. B　对于D，由题意可得圆形木板的直径2R＝＝5(cm)，即半径R＝ cm，故D错误；对于A，由正弦定理，得＝2R，则sin C＝＝＝，故A错误；对于B，C，由题意，得S△ABC＝ab sin C＝×ab×＝8，解得ab＝20，因为a>c，所以A>C，则角C为锐角，即cos C＝＝.由余弦定理，得cosC＝＝，即＝，解得a＋b＝12，所以△ABC的周长为(12＋4)cm，故B正确，C错误．
5. ABD　在△PMN中，∠PMN＝＋＝，∠PNM＝∠MPN＝，则PM＝MN＝380 m，故B正确；在△MNQ中，∠MNQ＝＋＝，又∠QMN＝，则∠MQN＝，由正弦定理可得＝，即＝，解得MQ＝380 m，故A正确；在△PMN中，同理可得PN＝＝190＋190(m)，故C错误；在△PMQ中，由余弦定理得PQ2＝(380)2＋(380)2－2×380×380×＝5×(380)2，所以PQ＝380×5＝1 900(m)，故D正确．故选ABD.
6. AC　对于A，因为∠BAD＝75°，点B位于点A的南偏西45°的方向上，所以∠B＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝120°，又∠AEC＝∠ADC＝120°，CD＝CE＝100 m，AE＝200 m，在△AEC和△ADC中，由余弦定理，得AC2＝AE2＋CE2－2AE·CE cos 120°，AC2＝CD2＋AD2－2AD·CD cos 120°，所以AD＝AE＝200 m，故A正确；对于B，△ADC的面积为×AD×CD×sin ∠ADC＝×200×100×＝5 000(m2)，故B错误；对于C，在△ABD中，由正弦定理，得＝，解得AB＝＝＝100(m)，故C正确；对于D，如图，过点A作AG⊥BC于点G，易知∠DAG＝30°，所以∠CAG>30°，故D错误．故选AC.
7. 　由题意，得∠ABC＝30°，AM＝3MC＝3，记∠BAC＝∠ABM＝θ，所以∠BMC＝2θ，AM＝BM＝3，MC＝1，AC＝4，在△ABC中，由正弦定理，得＝，即BC＝8sin θ，在△BMC中，由余弦定理，得BC2＝BM2＋CM2－2BM·CM cos 2θ＝10－6cos 2θ，解得sin2θ＝，因为θ∈，则sinθ＝，所以BC＝8sin θ＝.
8. 10　 如图，设炮弹第一次命中点为C，则AB＝14，AC＝BC＝AM＝18，∠CBA＝∠CAB＝θ，∠MAB＝.在△ABC中，BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB cos θ，即182＝142＋182－2×14×18cos θ，解得cos θ＝，所以cos θ＝2cos2－1＝，又θ为锐角，解得cos＝(负值舍去).在△ABM中，BM2＝AM2＋AB2－2AM·AB cos ＝182＋142－2×18×14×＝100，所以BM＝10，即B炮台与弹着点M的距离为10 km.
9. (1) 在△ABC中，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos ∠CAB＝302＋102－2×30×10×＝700，
即BC＝10 km，
所以半径OA＝×＝×＝≈15.28(km).
(2) 在Rt△CBD中，BD＝BC tan 60°＝10×＝10，
在△ABC中，由正弦定理，得＝，即＝，
所以sin ∠ABC＝＝，
所以cos ∠ABD＝cos (∠ABC＋)＝－sin ∠ABC＝－，
在△ABD中，由余弦定理，得AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD cos ∠ABD＝302＋(10)2－2×30×10×＝3 900，
即AD＝10 km，所以所需时间为＝≈1.25(h).
10. (1) 由题意，得∠BAE＝90°－30°＝60°，
在△ABE中，AB＝＋，AE＝2，
由余弦定理，得BE2＝AB2＋AE2－2AB·AE·cos ∠BAE＝(＋)2＋(2)2－2(＋)×2×＝12，
所以BE＝2 n mile.
(2) 由题意，得BF＝3×1＝3，
在△ABE中， 由正弦定理，得＝，即＝
所以sin ∠ABE＝，
因为∠ABE为锐角，所以∠ABE＝45°，
所以∠AEB＝180°－60°－45°＝75°，
又∠EBF＝180°－45°－45°－60°＝30°，
在△BEF中， ∠EBF＝30°，BF＝3，BE＝2，
由余弦定理，得EF2＝BF2＋BE2－2BE·BF·cos 30°＝(2)2＋32－2×2×3cos 30°＝3，
所以EF＝，
所以甲接到信号后行至点F，用时为＝(h)，
在△BEC中， ∠BCE＝45°，∠BEC＝105°，BE＝2，sin ∠BEC＝sin 105°＝sin (45°＋60°)＝.
由正弦定理，得＝，
即＝，解得BC＝＋3，
所以FC＝， 则抢修结束后乙船仍以原速度驶向点C处，用时为 h，
所以自乙船从点B处出发到乙船行至点C处为止，共用时为1＋＋1＋＝(h).