12.1　复数的概念 练习(含详解)2024-2025学年高一数学苏教版（2019）必修第二册

12．1　复数的概念
一、 单项选择题
1 (2023长沙雅礼中学期中)若复数z满足z＝5－i，则z的虚部是(　　)
A. B. －
C. i D. －i
2 若(m2－5m＋6)＋(m2＋3m－10)i＝0(m∈R)，则m的值为(　　)
A. 2 B. 2或3
C. 2或－5 D. 2或3或－5
3 (2024白银期中)复数i＋7i2的实部与虚部之和为(　　)
A. －8 B. －6 C. 8 D. 6
4 (2024芜湖期中)若复数(a2－1)＋(a－1)i(a∈R)是实数，则a等于(　　)
A. 1 B. －1
C. ±1 D. 不存在
5 若复数z＝＋i是纯虚数(i是虚数单位)，则tan 的值为(　　)
A. － B.
C. －7 D. －7或－
6 (2024镇江期中)已知复数z＝cos α＋icos 2α(0<α<2π)的实部与虚部互为相反数，则α的取值不可能为(　　)
A. B.
C. π D.
二、 多项选择题
7 (2024株洲期中)下列复数中是纯虚数的为(　　)
A. 2＋ B. i
C. 8＋5i D. (1－)i
8 (2024江苏月考)已知i为虚数单位，下列命题中正确的是(　　)
A. 若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1
B. (a2＋1)i(a∈R)是纯虚数
C. －1没有平方根
D. 当m＝4时，复数lg (m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i是纯虚数
三、 填空题
9 已知log2(x2－3x－2)＋i·log2(x2＋2x＋1)>1(i是虚数单位)，则实数x的值为________．
10 (2024辽宁期末)已知z＝m2－4m＋mi3(m为实数，i是虚数单位)为纯虚数，则z的虚部为________．
11 (2023厦门湖滨中学期中)已知复数(m2－3m－1)＋(m2－5m－6)i＝3(其中i为虚数单位)，则实数m的值为________．
四、 解答题
12 已知集合P＝{5，(m2－2m)＋(m2＋m－2)·i}，Q＝{4i，5}，其中m∈R，i为虚数单位，若P∩Q＝P∪Q，求实数m的值．
13 已知复数z＝＋(a2－5a－6)i(a∈R).
(1) 若复数z是实数，求实数a的值；
(2) 若复数z是虚数，求实数a的取值范围；　
(3) 判断复数z是否可能为纯虚数．若可能为纯虚数，求出实数a的值；若不可能为纯虚数，请说明理由．
12.1　复数的概念
1. B　根据复数的概念可知，z＝5－i的虚部为－.
2. A　由题意，得解得m＝2.
3. B　因为i＋7i2＝－7＋i，所以i＋7i2的实部与虚部之和为－7＋1＝－6.
4. A　因为(a2－1)＋(a－1)i(a∈R)是实数，所以a－1＝0，解得a＝1.
5. C　由题意，得所以则tan θ＝－，所以tan (θ－)＝＝－7.
6. D　由题意，可知cos α＋cos 2α＝0，所以cos α＋2cos2α－1＝0，解得cosα＝－1或cos α＝，因为0<α<2π，所以α＝π或α＝或α＝.
7. BD　由纯虚数的定义得纯虚数实部为0，虚部不为0，而A，C实部不为0，B，D实部为0且虚部不为0，故i，(1－)i是纯虚数，故B，D正确．故选BD.
8. BD　对于A，取x＝i，y＝－i，则x＋yi＝1＋i，但不满足x＝y＝1，故A错误；对于B， a∈R，a2＋1>0恒成立，所以(a2＋1)i是纯虚数，故B正确；对于C，－1的平方根为±i，故C错误；对于D，当m＝4时， 则复数lg (m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i是纯虚数，故D正确．故选BD.
9. －2　由题意，得即解得x＝－2.
10. －4　由复数z＝m2－4m－mi为纯虚数，可得解得m＝4，所以z＝－4i，则复数z的虚部为－4.
11. －1　由题意，得解得m＝－1.
12. 因为P∩Q＝P∪Q，所以P＝Q，
所以(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i，
所以解得m＝2，
故实数m的值为2.
13. (1) 若复数z是实数，则
解得所以a＝6，
所以实数a的值为6.
(2) 若复数z是虚数，则
解得
所以实数a的取值范围为{a|a≠±1且a≠6}．
(3) 复数z不可能为纯虚数. 理由如下：
若复数z是纯虚数，则
即此时无解，
故复数z不可能为纯虚数．