12.2　复数的运算 练习(2课时,含详解)2024-2025学年高一数学苏教版（2019）必修第二册

12．2　复数的运算
12.2.1　复数的运算(1)
一、 单项选择题
1 (2＋2i)(1－2i)等于(　　)
A. －2＋4i B. －2－4i
C. 6＋2i D. 6－2i
2 (2023淮安期中)设复数z＝－i，则z2－z等于(　　)
A. －1 B. 0
C. 1 D. 2
3 已知复数z的共轭复数为 ，若 ＋i＝4＋2i，则z 等于(　　)
A. 17 B. 18 C. 24 D. 25
4 (2024淄博期中)设(a－2i)i＝b＋3i(a，b∈R)，其中i为虚数单位，则ab的值为(　　)
A. －5 B. －1
C. 1 D. 6
5 设z＝i(2＋i)， 为z的共轭复数，则 等于(　　)
A. 1＋2i B. －1－2i
C. 1－2i D. －1＋2i
6 已知复数z1＝2＋i，z2＝1＋bi，b∈R，若z1z2是纯虚数，则b的值为(　　)
A. 2 B.
C. － D. －2
二、 多项选择题
7 已知复数z1＝3＋4i，z2＝a＋bi(a，b∈R)，则下列命题中正确的是(　　)
A. 若a＝－3，则z1＋z2是纯虚数
B. 若z1＋z2是纯虚数，则a＝－3
C. 若4a＋3b＝0，则z1z2是实数
D. 若z1z2是实数，则4a＋3b＝0
8 (2023滨州一中期中)若z1，z2是方程x2＋ax＋1＝0的两个虚数根，则下列结论中正确的是(　　)
A. a的取值范围为[－2，2]
B. z1的共轭复数是z2
C. z1z2＝1
D. z1＋为纯虚数
三、 填空题
9 已知(a－i)2＝2i，其中i是虚数单位，则实数a的值为________．
10 已知a，b∈R，i是虚数单位，若a－i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2＝________．
11 (2023晋城高平第一中学期中)在复数范围内，将多项式x4－1分解成为一次因式的积，则x4－1＝________.
四、 解答题
12 (2024潍坊月考)设复数z1＝2＋ai(其中a∈R)，z2＝3－4i.
(1) 若a＝1，求z1z2的值；
(2) 若z1＋z2是实数，求a的值．
13 (2024宿州期中)(1) 在复数范围内解方程：2x2－x＋3＝0；
(2) 已知关于x的方程x2－ax＋ab＝0，其中a，b为实数，若x＝2＋i(i是虚数单位)是该方程的根，求a与b的值．
12．2.2　复数的运算(2)
一、 单项选择题
1 (2024莆田期中)已知复数z满足(z－1)i＝1＋i2＋i3＋i4＋i5，则复数z等于(　　)
A. －1＋i B. －1－i
C. 1－i D. 1＋i
2 (2023南师大附中期中)已知(1＋i)2z＝4＋2i(i为虚数单位)，则z等于(　　)
A. 1＋2i B. 1－2i
C. 1＋i D. 1－i
3 (2024亳州月考)若复数z＝m－i(m∈R)，为实数，则m的值为(　　)
A. 0 B. 1
C. －1 D. －2
4 (2024重庆巴南期中)已知复数z＝，则 的虚部是(　　)
A. －i B. －1
C. i D. 1
5 (2023淮安淮阴中学期中)(＋)2 023等于(　　)
A. －＋ B. －－
C. ＋ D. －
6 设z＝1－i(i是虚数单位)，　表示z的共轭复数，则 ＋　的值为(　　)
A. 1 B. 1＋2i
C. 1＋3i D. 2＋4i
二、 多项选择题
7 (2024河北期中)若(1＋i3)m＋＝3＋i(m，n∈R)，则下列结论中正确的是(　　)
A. m＝1 B. m＝2
C. n＝2 D. n＝4
8 (2024河南期中)已知a，b∈R，方程x3－3x2＋ax－b＝0有一个虚根为1＋i，i为虚数单位，另一个虚根为z，则下列结论中正确的是(　　)
A. a＝4
B. 该方程的实数根为1
C. z＝2－i
D. z2 024＝2203
三、 填空题
9 (2024昆明月考)复数z＝，则z2－＝________．
10 已知复数z满足z·i11＝1＋2i(i是虚数单位)，则z＝________．
11 (i－1)2 018＝________．
四、 解答题
12 (2023扬州中学期中)设复数z满足z2＋z＋1＝0.
(1) 求复数z；
(2) 求z2＋ 的值．
13 (2023临沂期中)已知复数z1＝i－a，z2＝1－i，其中a是实数．
(1) 若z＝－2i，求实数a的值；
(2) 若 是纯虚数，求＋＋＋…＋.
12．2　复数的运算
12.2.1　复数的运算(1)
1. D　(2＋2i)(1－2i)＝2＋4－4i＋2i＝6－2i.
2. A　z2－z＝－＝－－i－＋i＝－1.
3. A　由＋i＝4＋2i，得＝4＋i，所以z＝4－i，所以z＝(4－i)(4＋i)＝17.
4. D　由(a－2i)i＝b＋3i(a，b∈R)，得2＋ai＝b＋3i，故a＝3，b＝2，则ab＝6.
5. B　因为z＝i(2＋i)＝2i＋i2＝－1＋2i，所以＝－1－2i.
6. A　因为z1z2＝(2＋i)(1＋bi)＝2＋2bi＋i＋bi2＝(2－b)＋(2b＋1)i，且z1z2是纯虚数，所以即b＝2.
7. BCD　由题意，得z1＋z2＝a＋3＋(b＋4)i，z1z2＝(3a－4b)＋(4a＋3b)i.当a＝－3且b≠－4时，z1＋z2是纯虚数，故A错误，B正确；当4a＋3b＝0时，z1z2是实数，故C，D正确．故选BCD.
8. BCD　由Δ＝a2－4<0，得－29. －1　因为(a－i)2＝a2－2ai－1＝2i，所以解得a＝－1.
10. 3＋4i　因为a－i与2＋bi互为共轭复数，所以a＝2，b＝1，则(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i.
11. (x－1)(x＋1)(x－i)(x＋i)　x4－1＝(x2)2－12＝(x2－1)(x2＋1)＝(x－1)(x＋1)(x－i)(x＋i).
12. (1) z1z2＝(2＋i)(3－4i)＝6＋4＋(3－8)i＝10－5i.
(2) z1＋z2＝5＋(a－4)i是实数，所以a－4＝0，解得a＝4.
13. (1) 因为Δ＝(－1)2－4×2×3＝－23<0，
所以方程2x2－x＋3＝0的根为x＝.
(2) 因为x＝2＋i是方程的根，所以2－i也是方程的根，
由实系数一元二次方程根与系数的关系得
解得
故a的值为4，b的值为.
12．2.2　复数的运算(2)
1. C　(z－1)i＝1＋i2＋i3＋i4＋i5＝1－1－i＋1＋i＝1，则z＝＋1＝1－i.
2. B　设z＝a＋bi，则(1＋i)2z＝2i(a＋bi)＝－2b＋2ai＝4＋2i，所以即所以z＝1－2i.
3. A　因为＝＝＝＝＋i，且为实数，所以＝0，所以m＝0.
4. D　由题意，得z＝＝＝＝2－i，所以＝2＋i，的虚部为1.
5. B　i＝i＝－＋，即＝，所以＝(－＋)(＋)＝＝(－－)＝－，所以＝[(＋)3]674×(＋)＝×＝×＝(－1)337×＝－－.
6. B　因为z＝1－i，所以＋＝＋(1＋i)＝＋(1＋i)＝－＋1＋i＝1＋2i.
7. AD　由题意，得(1＋i3)m＋＝(1－i)m＋＝m＋＋i＝3＋i，所以解得故选AD.
8. AB　由1＋i是方程x3－3x2＋ax－b＝0的根，得(1＋i)3－3(1＋i)2＋a(1＋i)－b＝0，整理，得(a－b－2)＋(a－4)i＝0，而a，b∈R，因此解得对于A，a＝4，故A正确；对于B，C，方程x3－3x2＋4x－2＝0，变形为(x－1)(x2－2x＋2)＝0，显然此方程还有一个实根为1，另一个虚根为1－i，故B正确，C错误；对于D，z2 024＝[(1－i)2]1 012＝(－2)1 012i1 012＝21 012，故D错误．故选AB.
9. 1－i　由题意，得z＝＝＝i(1＋i)＝－1＋i，故＝－1－i，可得z2＝i2－2i＋1＝－2i，则z2－＝－2i＋1＋i＝1－i.
10. －2＋i　z·i11＝1＋2i，即z＝＝－2＋i.
11. －22 017(1＋i)　(i－1)2 018＝＝＝＝＝－22 017(1＋i).
12. (1) 由z2＋z＋1＝0，知Δ＝1－4＝－3，
则z＝＝－±i.
(2) 由z2＋z＋1＝0，得z2＝－z－1，z＋1＝－z2，所以z2＋＝＝＝＝＝－1.
13. (1) 由复数z1＝i－a，得z＝(－a＋i)2＝(a2－1)－2ai＝－2i，又a是实数，
所以解得a＝1，
所以实数a的值是1.
(2) 复数z1＝i－a，z2＝1－i，a∈R，则＝＝＝＝＋i.
因为是纯虚数，所以
解得a＝－1，所以＝i.
又i1＝i，i2＝－1，i3＝－i，i4＝1，
故n∈N*，i4n-3＝i，i4n-2＝－1，i4n-1＝－i，i4n＝1，即有n∈N*，i4n-3＋i4n-2＋i4n-1＋i4n＝0，
所以＋＋＋…＋＝505(i＋i2＋i3＋i4)＋i＋i2＝－1＋i.