12.4　复数的三角形式 练习(含详解)2024-2025学年高一数学苏教版（2019）必修第二册

12．4　复数的三角形式*
一、 单项选择题
1 复数cos －isin 的辐角主值是(　　)
A. B. C. D.
2 下列复数中，是三角形式的是(　　)
A. 2
B. 2
C. －2
D. 2
3 已知复数z满足＝＋i，则z，z2，z3，…，z2 020中不同的数有(　　)
A. 4个
B. 6个
C. 2 019个
D. 以上答案都不正确
4 (2024南京期中)在复平面内，常把复数z＝a＋bi(a，b∈R)和向量进行一一对应．现把与复数1＋2i对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转90°，所得的向量对应的复数为(　　)
A. －2＋i B. －2－i
C. 2＋i D. 2－i
5 (2024山东月考)设复数5＋6i的辐角的主值是θ，则12－10i的辐角的主值为(　　)
A. －θ B. －θ
C. －θ D. ＋θ
6 复数在复平面内所对应的点位于(　　)
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
二、 多项选择题
7 (2024广东月考)在复平面内，已知正三角形ABC的顶点A，B对应的复数为2＋i，3＋2i，则顶点C对应的复数可能是(　　)
A. ＋i B. ＋i
C. ＋i D. ＋i
8 (2024湖南月考)下列命题中正确的是(　　)
A. 复数z的辐角主值是θ，则z2的辐角主值是2θ
B. 复数z的辐角主值是θ，则的辐角主值是2π－θ
C. 复数z1，z2的辐角主值分别是θ1，θ2，则z1z2的辐角主值是θ1＋θ2
D. 复数z1，z2的辐角主值分别是θ1，θ2，且θ1>θ2，则的辐角主值是θ1－θ2
三、 填空题
9 已知i为虚数单位，则(＋i)÷[2(cos －isin )]＝________．
10 (2023苏州月考)如果向量对应复数－2i，绕原点O按顺时针方向旋转后再把模变为原来的倍得到向量1，则1对应的复数是________．
11 复数－(cos α＋isin α)的三角形式是________．
四、 解答题
12 (2024山东月考)把下列复数表示成三角形式：
(1) －2＋2i；
(2) 2(sin ＋icos ).
13 在复平面内，点A对应的复数是＋i，向量绕着点O按逆时针方向旋转120°得到向量.
(1) 求点C对应的复数z0；
(2) 已知点B对应的复数z满足|z－z0|＝1，且，的夹角为120°，求复数z.
12．4　复数的三角形式*
1. D　复数cos －isin ＝－i＝cos ＋isin ，所以复数cos －isin 的辐角主值是.
2. D　复数的三角形式是r(cos θ＋isin θ)，其中 r>0.对于A，2(cos －isin )中－isin 不满足；对于B，2(cos ＋isin )中≠不满足；对于C，－2(cos ＋isin )中－2<0，不满足．故选D.
3. B　由题意，得z＝－i＝cos ＋isin ，所以z6＝1，所以z，z2，z3，…，z2 020中有6个不同的数．
4. A　由题意，得复数1＋2i对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转90°可得(1＋2i)(cos 90°＋isin 90°)＝i(1＋2i)＝i＋2i2＝－2＋i，即所得的向量对应的复数为－2＋i.
5. D　因为＝＝－2i＝2(cos ＋isin )，所以12－10i的辐角的主值为＋θ.
6. C　由已知得＝cos ＋isin ＝cos (π＋)＋isin ＝－cos －isin ＝－－i，所以复数(cos ＋isin )7在复平面内所对应的点的坐标为(－，－)，位于第三象限．
7. CD　由正三角形ABC的顶点A，B对应的复数为2＋i，3＋2i，可得对应的复数为(3＋2i)－(2＋i)＝1＋i，则对应的复数为(1＋i)(cos 60°＋isin 60°)＝＋i或(1＋i)[cos (－60°)＋isin (－60°)]＝＋i，所以＝＋对应的复数为2＋i＋＋i或2＋i＋＋i，即＋i或＋i.故选CD.
8. BD　设z＝r(cos θ＋isin θ)，θ∈[0，2π)，则z2＝r2(cos θ＋isin θ)2＝r2(cos 2θ＋isin 2θ)，若θ∈[π，2π)，2θ≥2π，则z2的辐角主值为2θ－2π，故A错误；＝r(cos θ－isin θ)＝r[cos (2π－θ)＋isin (2π－θ)]，的辐角主值为2π－θ，故B正确；设z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，θ1∈[0，2π)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，θ2∈[0，2π)，z1z2＝r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ2)＝r1r2[cos (θ1＋θ2)＋isin (θ1＋θ2)]，若θ1＋θ2≥2π，则z1z2的辐角主值为θ1＋θ2－2π，故C错误；＝＝[cos (θ1－θ2)＋isin (θ1－θ2)]，所以的辐角主值是θ1－θ2，故D正确．故选BD.
9. －＋i　原式＝÷[2(cos －isin )]＝(cos ＋isin )÷{2[cos (－)＋isin (－)]}＝[cos (＋)＋isin ]＝－＋i.
10. －－i　由题意，得－2i＝2(cos ＋isin )，则1对应的复数为2(cos ＋isin )×[cos ＋isin ]＝3[cos (－)＋isin (－)]＝3(cos ＋isin )＝3×(－－i)＝－－i.
11. cos (π＋α)＋isin (π＋α)(答案不唯一)　令－(cos α＋isin α)＝r(cos θ＋isin θ)且r≥0，所以则满足，所以三角形式可写成cos (π＋α)＋isin (π＋α).
12. (1) －2＋2i＝2(－＋i)＝2(cos ＋isin ).
(2) 2(sin ＋icos )＝2＝2(cos ＋isin ).
13. (1) 因为点A对应的复数是＋i，向量绕着点O按逆时针方向旋转120°，
所以z0＝(＋i)·(cos 120°＋isin 120°)＝－＋i.
(2) 因为点B对应的复数z满足|z－z0|＝1，且，的夹角为120°，
所以向量对应的复数z1＝z0·[cos (－120°)＋isin (－120°)]＝＋i，
或z1＝z0·(cos 120°＋isin 120°)＝－i，
所以＝＋＝或＝＋＝(－，0)，
所以z＝－＋i或z＝－.