第10章 三角恒等变换 练习(含详解)2024-2025学年高一数学苏教版（2019）必修第二册

第10章　三角恒等变换
本章 复 习
一、 单项选择题
1 (2024苏州期末)sin 164°sin 44°－cos 16°sin 46°等于(　　)
A. － B. － C. D.
2 (2023山东期末)在△ABC中，若sin A sin B＝(1＋cos C)，则△ABC是(　　)
A. 等边三角形 B. 等腰直角三角形
C. 等腰三角形 D. 直角三角形
3 (2024十堰期末)我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距θ(0≤0<π)的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长l等于表高h与太阳天顶距θ正切值的乘积，即l＝h tan θ.对同一“表高”测量两次，第一次和第二次的太阳天顶距分别为α，β.若第一次的“晷影长”是“表高”的2倍，第二次的“晷影长”是“表高”的7倍，则2α－β的值为(　　)
A. － B. －
C. D.
4 (2024镇江期末)设α为锐角，若cos (α＋)＝－，则cos 的值为(　　)
A. B. － C. － D.
5 (2024景德镇期末)已知α为钝角，β为锐角，且sin α＝，sin β＝，则cos 的值为(　　)
A. B. －
C. D. －
6 (2024南通期末)在锐角三角形ABC中，＝tan B＋tan C，则的取值范围为(　　)
A. (，＋∞) B. (，＋∞)
C. (1，＋∞) D. (2，＋∞)
二、 多项选择题
7 (2024十堰期末)已知函数f(x)＝sin 2x＋2cos2x，则下列结论中正确的是(　　)
A. f(x)的最小正周期为π
B. f(x)的图象关于直线x＝对称
C. 不等式f(x)>2的解集是(k∈Z)
D. 将f(x)的图象向右平移个单位长度，得到的函数图象关于点(0，1)中心对称
8 在锐角三角形ABC中，下列命题中成立的是(　　)
A. 若sin A＝，tan B＝3，则AB. tan A tan B<1
C. sin A＋sin B>cos A＋cos B
D. sin A＋sin B>1
三、 填空题
9 tan ＋tan ＋tan tan ＝________．
10 (2023益阳二中期末)若cos (－α)＝，则sin (2α＋)＝________．
11 在△ABC中，已知＝，则3sin A＋2sin B的最大值为________．
四、 解答题
12 (2024河北期末)已知cos α＝，α∈.
(1) 求sin 的值；
(2) 若sin β＝，β∈，求cos (α＋2β)的值．
13 如图，有一条宽为 60 m 的笔直的河道(假设河道足够长)，规划在河道内围出一块直角三角形区域(图中△ABC)养殖观赏鱼，AB⊥AC，顶点A到河两岸的距离AE＝h1，AD＝h2，C，B两点分别在两岸l1，l2上，设∠ABD＝α.
(1) 若α＝30°，求养殖区域面积的最大值；
(2) 现拟沿着养殖区域△ABC三边搭建观赏长廊(宽度忽略不计)，若h1＝30 m，求观赏长廊总长度f(α)的最小值．
第10章　三角恒等变换
1. A　sin 164°sin 44°－cos 16°sin 46°＝sin (180°－16°)sin (90°－46°)－cos 16°sin 46°＝sin 16°cos 46°－cos 16°sin 46°＝sin (16°－46°)＝－sin 30°＝－.
2. C　因为cos (A＋B)＝cos A cos B－sin A sin B，cos (A－B)＝cos A cos B＋sin A sin B，所以sin A sin B＝－[cos (A＋B)－cos (A－B)].因为sin A sin B＝(1＋cos C)，所以－[cos (A＋B)－cos (A－B)]＝(1＋cos C).又A＋B＝π－C，所以cos C＝－cos (A＋B)，所以－[cos (A＋B)－cos (A－B)]＝[1－cos (A＋B)]，所以cos (A－B)＝1.又A，B为△ABC的内角，所以A－B＝0，所以A＝B，故△ABC为等腰三角形．
3. C　由题意，得tan α＝2，tan β＝7，则tan 2α＝＝－，所以tan(2α－β)＝＝＝1.因为0≤α<π，且tan α>1，所以<α<，所以<2α<π.因为0≤β<π，且tan β>0，所以0<β<，所以－<－β<0，则0<2α－β<π.因为tan (2α－β)＝1，所以2α－β＝.
4. B　由α为锐角，得<α＋<.又cos (α＋)＝－，所以sin ＝＝，所以cos(2α＋)＝sin [＋]＝＝2sin cos ＝2××＝－.
5. A　因为α为钝角，β为锐角，且sin α＝，sin β＝，所以cos α＝－＝－＝－，cosβ＝＝＝，则cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝.又α为钝角，β为锐角，所以为锐角，所以cos ＝＝＝.
6. A　因为＝tan B＋tan C，所以＝＋＝＝＝，所以cos B＝.又△ABC为锐角三角形，所以B＝，所以＝＝＝＝tan A＋.又因为△ABC为锐角三角形，所以解得7. AC 　因为f(x)＝sin 2x＋cos 2x＋1＝2sin (2x＋)＋1，所以f(x)的最小正周期为π，故A正确；因为f＝2sin (2×＋)＋1＝＋1≠3，所以f(x)的图象不关于直线x＝对称，故B错误；由f(x)>2，即2sin (2x＋)＋1>2，得sin >，则2kπ＋<2x＋<2kπ＋(k∈Z)，解得kπ2的解集是(kπ，kπ＋)(k∈Z)，故C正确；将f(x)的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)＝2sin ＋1的图象．因为g(0)＝2sin (－)＋1＝0≠1，所以g(x)的图象不关于点(0，1)中心对称，故D错误．故选AC.
8. ACD　对于A，由sin A＝，得cos A＝，tan A＝20，所以cos C<0，C为钝角，与题意不符，故B错误；对于C，由sin A＋sin B>cos A＋cos B，得sin (A－)>－sin (B－)，化简，得sin (A－)>sin (－B).因为A，B，C均为锐角，所以必有A－>－B，则A＋B>，符合A，B，C均为锐角，故C正确；对于D，由A，B，C均为锐角，得A＋B>，所以A>－B，所以sin A＋sin B>sin (－B)＋sin B＝cos B＋sin B＝sin (B＋)>1，所以sin A＋sin B>1成立，故D正确．故选ACD.
9. 　因为tan ＝tan ＝＝，所以tan ＋tan ＋tan tan ＝(1－tan tan )＋tan tan ＝.
10. －　sin ＝cos [－(2α＋)]＝cos [2(－α)]＝2cos2－1＝－.
11. 　因为＝，所以＝，即＝，所以＝－tan C＝，所以tan C＝－.又C∈(0，π)，所以C＝，则A＋B＝，所以3sin A＋2sin B＝3sin A＋2sin ＝3sin A＋2sin cos A－2cos sin A＝2sin A＋cos A＝sin (A＋φ)，取φ为锐角，其中sin φ＝，cos φ＝.因为sin φ＝>，所以φ>，所以当A＋φ＝时，3sin A＋2sin B取得最大值，且最大值为.
12. (1) 因为cos α＝，α∈，
所以sin α＝－＝－，
所以sin＝sin αcos ＋cos αsin ＝－×＋×＝.
(2) 因为sin β＝，β∈，
所以cos β＝＝，
所以sin2β＝2sin βcos β＝，
cos 2β＝1－2sin2β＝，
所以cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β
＝×＋×＝.
13. (1) 当α＝30°时，AB＝＝2h2，
AC＝＝h1，
所以S△ABC＝AB·AC＝h1h2.
又因为h1＋h2＝60≥2，当且仅当h1＝h2＝30时，等号成立，
所以h1h2≤900，
所以S△ABC＝h1h2≤600，
所以养殖区域面积的最大值为600 m2.
(2) 由题意，得AB＝，AC＝，
所以BC＝
＝30＝，
所以△ABC的周长f(α)＝30＝30，其中α∈.
设t＝sin α＋cos α，
则t＝sin α＋cos α＝sin ，
等式两边平方，得sin αcos α＝.
因为α∈，所以α＋∈，则t∈(1，]，
所以y＝30·＝，t∈(1，]，
所以当t＝时，ymin＝＝60(＋1)，
即f(α)min＝60(＋1).
故观赏长廊总长度的最小值为60(＋1)m.