第11章 解三角形 练习(含详解)2024-2025学年高一数学苏教版（2019）必修第二册

第11章　解三角形
本 章 复 习
一、 单项选择题
1 (2024南京期末)在△ABC中，已知a＝，b＝，B＝60°，则角A的度数为(　　)
A. 30° B. 45°
C. 45°或135° D. 150°
2 (2024上海期末)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足a2－(b－c)2≤bc，则角A的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
3 在△ABC中，若AB＝3，BC＝，AC＝4，则边AC上的高h的长度为(　　)
A. B. C. D. 3
4 (2024扬州期末)如图，为了测量河对岸A，B两点之间的距离，在河岸这边找到在同一直线上的三点C，D，E.从点D测得∠ADC＝67.5°，从点C测得∠ACD＝45°，∠BCE＝75°，从点E测得∠BEC＝60°.若测得DC＝100，CE＝200(单位：m)，则A，B两点之间的距离为(　　)
A. 200 m B. 200 m C. 100 m D. 300 m
5 (2024吉林期末)如图，在平面四边形ABCD中，∠DAB＝，△ABC为钝角三角形，AB＝BC＝AD＝1，则四边形ABCD的面积的最大值为(　　)
A. 1 B. C. D.
6 (2024湖州期末)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC是锐角三角形，且sin2A－sin2B＝sinB sin C，则的取值范围是(　　)
A. (0，2) B. (，)
C. (，2) D. (，2)
二、 多项选择题
7 (2024南通期末)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列命题中为真命题的是(　　)
A. 若sin2A＋sin2B＝sin2C，则△ABC为直角三角形
B．若a sin A＝b sin B，则△ABC为等腰三角形
C. 若a cos A＝b cos B，则△ABC为等腰三角形
D. 若＝＝，则△ABC为等腰直角三角形
8 (2024邯郸期末)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin A∶sin B∶sin C＝4∶5∶6，D为线段AC上一点，则下列结论中正确的是(　　)
A. △ABC为钝角三角形
B. △ABC的最大内角是最小内角的2倍
C. 若D为AC中点，则BD∶AC＝∶10
D. 若∠ABD＝∠CBD，则BD∶AC＝3∶5
三、 填空题
9 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝，A＝60°，则的值为________．
10 (2024连云港期末)在△ABC中，tan A＝，tan B＝，若△ABC最短边的长为，则最长边的长为________．
11 (2024杭州期末)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin C＝cos B，a2＋b2－c2＝ab，若△ABC的面积为3＋，则实数a＝________．
四、 解答题
12 (2024南通期末)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2＋c2＝b2＋ac.
(1) 求角B的大小；
(2) 若c＝2a，求tan C的值．
13 (2024邯郸期末)如图，在平面四边形ABCD中，设BC＝a，AB＝c，AC＝b，a sin ∠CBA＝b cos ∠BAC.
(1) 求sin ∠BAC的值；
(2) 若AB＝AC，CD＝2AD＝2，求∠ADC为何值时，平面四边形ABCD的面积最大？
第11章　解 三 角 形
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1. B　因为a＝，b＝，即a2. B　因为a2－(b－c)2≤bc，所以a2－b2－c2＋2bc≤bc，即b2＋c2－a2≥bc，所以cos A＝≥＝，因为03. B　由题意，得cos A＝＝，所以sin A＝.因为S△ABC＝AB·ACsin A＝·AC·h，所以h＝.
4. D　在△ACD中，∠ADC＝67.5°，∠ACD＝45°，则∠DAC＝180°－67.5°－45°＝67.5°，AC＝DC＝100.在△BCE中，∠BCE＝75°，∠BEC＝60°，CE＝200，则∠EBC＝180°－75°－60°＝45°，因为＝，所以BC＝＝＝200.在△ABC中，AC＝100，BC＝200，∠ACB＝180°－∠ACD－∠BCE＝60°，则AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos ∠ACB＝90 000，所以AB＝300.
5. B　方法一：设∠ABC＝α，则α∈，AC＝＝，在△ABC中，∠BAC＝＝－，因为∠DAB＝，所以∠DAC＝.四边形ABCD的面积为×1×1×sin α＋×1··sin ＝sin α＋·＝sin α＋(1－cos α)＝sin ＋，当α－＝，即α＝时，四边形ABCD的面积取得最大值，最大值为.
方法二：连接BD，则四边形ABCD的面积S＝S△ABD＋S△BCD＝＋×1××sin ∠CBD≤＋＝.
6. B　已知sin2A－sin2B＝sinB sin C，由正弦定理，得a2－b2＝bc，即a2＝b2＋bc.由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cos A，则b2＋bc＝b2＋c2－2bc cos A，即b＝c－2b cos A，由正弦定理，得sin B＝sin C－2sin B cos A，因为C＝π－(A＋B)，则sin C＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B，所以sin B＝sin A cos B－cos A sin B，即sin B＝sin (A－B).因为△ABC为锐角三角形，所以07. ABD　对于A，由sin2A＋sin2B＝sin2C及正弦定理，得a2＋b2＝c2，所以C＝，所以△ABC为直角三角形，故A正确；对于B，由a sinA＝b sin B及正弦定理，得a2＝b2，所以a＝b，所以△ABC为等腰三角形，故B正确；对于C，由a cos A＝b cos B及正弦定理，得sin A cos A＝sin B cos B，即sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝，则△ABC是等腰三角形或直角三角形，故C错误；对于D，由＝＝及正弦定理，得＝＝，所以cos B＝sin B，cos C＝sin C，即B＝，C＝，所以△ABC为等腰直角三角形，故D正确．故选ABD.
8. BCD　由题意知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由正弦定理，得a∶b∶c＝4∶5∶6，不妨设a＝4m，则b＝5m，c＝6m，对于A，因为c为最大边，所以C为最大角，由余弦定理，得cos C＝>0，则C为锐角，所以△ABC为锐角三角形，故A错误；对于B，因为A为最小角，且cos A＝，又cos C＝，所以cos ＝＝，且A，C均为锐角，则A＝，故B正确；对于C，由2＝＋，解得4BD2＝c2＋a2＋2ac cos ∠ABC＝c2＋a2＋2ac·＝2(a2＋c2)－b2＝79m2，所以BD＝m，又因为AC＝5m，所以BD∶AC＝∶10，故C正确；对于D，由cos B＝，得sin B＝，又cos B＝1－2sin2＝，所以sin＝，由S△ABC＝S△BCD＋S△BAD，即×4m×6m×sin B＝×(4m＋6m)×BD·sin ，解得BD＝3m，所以BD∶AC＝3∶5，故D正确．故选BCD.
9. 2　因为a＝，A＝60°，所以由正弦定理，得＝＝＝＝＝2，所以＝2.
10. 　由tan A＝，tan B＝，A，B∈(0，π)，得011. ＋　因为a2＋b2－c2＝ab，由余弦定理，得cos C＝＝，且00)，得b＝×2R＝R，c＝2R×＝R，a＝×2R＝R，若△ABC的面积为3＋，则bc sin A＝×R×R×＝3＋，解得R＝2，所以a＝×2＝＋.
12. (1) 因为a2＋c2＝b2＋ac，所以a2＋c2－b2＝ac，
即cos B＝＝＝.
因为B∈(0，π)，所以B＝.
(2) 设a＝t，c＝2t，t>0，代入a2＋c2＝b2＋ac中，得t2＋8t2＝b2＋t·2t，
所以b2＝5t2，解得b＝t，
所以cos C＝＝＝－，
则sin C＝＝±，
因为C∈(0，π)，所以sinC＝.
故tan C＝＝＝－2.
13. (1) 由已知及正弦定理，得sin ∠BAC·sin ∠CBA＝sin ∠CBA·cos ∠BAC，
因为sin ∠CBA≠0，故tan ∠BAC＝，
又0<∠BAC<π，所以∠BAC＝，
所以sin ∠BAC＝.
(2) 由(1)知∠BAC＝，且AB＝AC，
则△ABC为等边三角形，
设∠ADC＝θ，θ∈(0，π).
则S平面四边形ABCD＝S△ADC＋S△ABC＝CD·AD sin θ＋AB·AC sin ∠BAC＝×2×1×sin θ＋×AC2×＝sin θ＋AC2，
在△ADC中，由余弦定理知AC2＝CD2＋AD2－2CD·AD cos θ＝5－4cos θ，
所以S平面四边形ABCD＝＋sin θ－cos θ＝＋2sin ，
又θ－∈，所以当θ－＝，即θ＝时，平面四边形ABCD的面积最大，最大值为＋2.