第12章 复数 练习(含详解)2024-2025学年高一数学苏教版（2019）必修第二册

第12章　复数
本 章 复 习
一、 单项选择题
1 (2024眉山月考)设在复平面内，复数2＋3i和3－i对应的点分别为A，B，则向量表示的复数所对应的点位于(　　)
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
2 (2023衢州期末)若复数z＝，则复数z的模为(　　)
A. B. 2 C. 1 D. 1－i
3 (2024广东期中)已知1＋2i是关于复数z的方程z2－mz＋n＝0(m，n∈R)的一个根，则m＋n等于(　　)
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
4 (2024重庆期中)若复数z＝，则z的共轭复数　　等于(　　)
A. ＋i B. －i C. －＋i D. －－i
5 (2024莆田期中)已知复数z满足z＝(1－i)(2＋i)，i为虚数单位，则复数在复平面内对应的点在(　　)
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
6 (2024江西月考)已知复数z1＝，z2＝3＋mi(m∈R)，若z1·2为纯虚数，则实数m的值为(　　)
A. －2 B. －3 C. 2 D. 3
二、 多项选择题
7 (2024南阳月考)已知复数z＝，则下列结论中正确的是(　　)
A. |z|＝
B. 复数z的共轭复数为＝－1－i
C. 复平面内表示复数z的点位于第一象限
D. 复数z是方程x2－4x＋5＝0的一个根
8 (2024石家庄期中)已知i为虚数单位，则下列说法中正确的是(　　)
A. 复数z＝(1＋i)2在复平面对应的点在第一象限
B. 若复数z1，z2满足|z1|＝|z2|，则z1＝z2
C. 若z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i为纯虚数，则实数a＝－2
D. 若复数z满足i2 024(2＋z)＝2－i，则＝i
三、 填空题
9 (2023上海闵行中学期末)已知复数z满足z2－2z＋6＝0，则|z|＝________．
10 (2024天津期中)若复数z满足z＋(1－i)＝|1＋i|，其中i为虚数单位，则复数z的虚部为________．
11 已知复数z在复平面内的对应点是(1，－2)，则＝________．
四、 解答题
12 (2024宁波期中)已知z为复数，z＋2i为实数，且z(1－2i)为纯虚数，其中i是虚数单位．
(1) 求|z|；
(2) 若复数(＋mi)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数m的取值范围．
13 (2024杭州期中)已知复数z＝sin θ＋i(cos 2θ＋1)，θ∈R，且2z－i是实数．
(1) 求θ的值；
(2) 求z3的值．
第12章　复　　数
本 章 复 习
1. D　由复数的几何意义知，A(2，3)，B(3，－1)，故＝(1，－4)，所以表示的复数所对应的点(1，－4)位于第四象限．
2. A　因为z＝＝＝1－i，所以|z|＝＝.
3. C　因为1＋2i是关于复数z的方程z2－mz＋n＝0的一个根，所以1－2i也是关于复数z的方程z2－mz＋n＝0的一个根，则1＋2i＋1－2i＝m，(1＋2i)(1－2i)＝n，所以m＝2，n＝5，所以m＋n＝7.
4. B　z＝＝＝＝＝＋i，所以＝－i.
5. A　因为z＝(1－i)(2＋i)＝2＋i－2i－i2＝3－i，所以＝3＋i，则复数在复平面内对应的点为(3，1)，位于第一象限．
6. D　因为复数z1＝＝＝1－i，z2＝3＋mi，所以z1·2＝(1－i)(3－mi)＝(3－m)－(m＋3)i.因为z1·2为纯虚数，所以解得m＝3.
7. ACD　z＝＝＝＝＝2＋i，对于A，|z|＝＝，故A正确；对于B，＝2－i，故B错误；对于C，复平面内表示复数z的点为(2，1)，在第一象限，故C正确；对于D，将2＋i代入方程中，(2＋i)2－4(2＋i)＋5＝0，等式成立，故D正确．故选ACD.
8. CD　对于A，复数z＝(1＋i)2＝2i在复平面对应的点为(0，2)在虚轴上，故A错误；对于B，若z1＝1＋i，z2＝1－i，满足|z1|＝|z2|＝，但z1，z2不相等，故B错误；对于C，z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i为纯虚数，可得解得a＝－2，故C正确；对于D，由i2 024(2＋z)＝2－i，得2＋z＝2－i，所以z＝－i，则＝i，故D正确．故选CD.
9. 　将z看作是关于z的一元二次方程z2－2z＋6＝0的根，则z＝＝1±i，所以|z|＝＝.
10. 1　因为|1＋i|＝＝2，所以z＋1－i＝2，所以z＝1＋i，所以z的虚部为1.
11. 1＋i　由题意，得z＝1－2i，故原式＝＝＝＝1＋i.
12. (1) 设z＝a＋bi，a，b∈R，z＋2i＝a＋(b＋2)i，因为z＋2i为实数，所以b＋2＝0，即b＝－2.
又z(1－2i)＝(a－2i)(1－2i)＝a－4－2(a＋1)i，
且z(1－2i)为纯虚数， 所以a－4＝0，即a＝4，
所以z＝4－2i，
所以|z|＝＝2.
(2) 由(1)知，＝4＋2i，
所以(＋mi)2＝(4＋2i＋mi)2＝16－(m＋2)2＋8(m＋2)i.
又因为(＋mi)2在复平面内所对应的点在第一象限，
所以解得－2所以实数m的取值范围为(－2，2).
13. (1) 因为z＝sin θ＋i(cos 2θ＋1)，
所以2z－i＝2[sin θ＋i(cos 2θ＋1)]－i＝2sin θ＋i(2cos 2θ＋1)，
因为2z－i是实数，所以2cos 2θ＋1＝0，
则cos 2θ＝－，
所以2θ＝＋2kπ或2θ＝＋2kπ，k∈Z，
解得θ＝＋kπ或θ＝＋kπ，k∈Z.
(2) 当θ＝＋kπ，k∈Z时，
若k为偶数，则sin θ＝sin ＝sin ＝，
若k为奇数，则sin θ＝sin ＝－sin ＝－，
所以sin θ＝±；
同理当θ＝＋kπ，k∈Z时，sin θ＝±，
又cos 2θ＝－，
所以当sin θ＝时，z＝＋i，
则z3＝＝＝＝i；
当sin θ＝－时，z＝－＋i，
则z3＝(－＋i)3＝(－＋i)2(－＋i)＝(－i)(－＋i)＝i.
综上所述，z3＝i.