第15章　概率 单元练习(含详解)2024-2025学年高一数学苏教版（2019）必修第二册

第15章　概率
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一、 单项选择题
1 在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同．小明通过多次摸球试验后发现摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在15%和45%，则布袋中白色球的个数可能是(　　)
A. 15 B. 16 C. 17 D. 18
2 (2023苏州期末)已知事件A，B，且P(A)＝0.6，P(B)＝0.15.如果事件A与B互斥，那么P(AB)＝p1；如果事件A与B相互独立，那么P(A)＝p2，则p1，p2分别为(　　)
A. p1＝0，p2＝0.51 B. p1＝0.75，p2＝0.51
C. p1＝0，p2＝0.45 D. p1＝0.75，p2＝0.45
3 古代“五行”学说认为：物质分“金、木、水、火、土”五种属性，“金克木，木克土，土克水，水克火，火克金”．从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽到的两种物质不相克的概率为(　　)
A. B. C. D.
4 现将除颜色外其他完全相同的6个红球和6个白球平均放入A，B两个封闭的盒子中，甲从盒子A中，乙从盒子B中各随机取出一个球，若2个球同色，则甲胜，且将取出的2个球全部放入盒子A中；若2个球异色，则乙胜，且将取出的2个球全部放入盒子B中．按上述规则重复两次后，盒子A中恰有8个球的概率是(　　)
A. B. C. D.
5 (2024上海期中)掷两颗骰子，观察掷得的点数．设事件A表示“两个点数都是偶数”，事件B表示“两个点数都是奇数”，事件C表示“两个点数之和是偶数”，事件D表示“两个点数的乘积是偶数”．那么下列结论中正确的是(　　)
A. A与B是对立事件 B. A与C∩D是互斥事件
C. B与D是相互独立事件 D. B与C∪D是相互独立事件
6 (2024苏州期末)长篇评弹《玉蜻蜓》在江南可谓家喻户晓，是苏州评弹的一颗明珠．为了让更多年轻人走近评弹、爱上经典，苏州市评弹团在保留原本精髓的基础上，打造了《玉蜻蜓》精简版，将长篇压缩至三场，分别是《子归》篇、《认母》篇、《归宗》篇．某班级开展对《玉蜻蜓》的研究，现有三位学生随机从三篇中任意选一篇研究，记“三人都没选择《子归》篇”为事件M，“至少有两人选择的篇目一样”为事件N，则下列说法中正确的是(　　)
A. M与N互斥 B. P(M)＝P(MN)
C. M与N相互独立 D. P(M)＋P(N)<1
二、 多项选择题
7 在4件产品中，有一等品2件，二等品1件(一等品与二等品都是正品)，次品 1件，现从中任取2件，则下列说法中正确的是(　　)
A. 2件都是一等品的概率是
B. 2件中有1件是次品的概率是
C. 2件都是正品的概率是
D. 2件中至少有1件是一等品的概率是
8 (2024南通期末)一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球(标号为1和2)，2个白色球(标号为3和4)，从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件A表示“两个球颜色不同”，事件B表示“两个球标号的和为奇数”，事件C表示“两个球标号都不小于2”，则下列结论中正确的是(　　)
A. A与B互斥
B. A与C相互独立
C. P(AB)＋P(AC)＝P(A)
D. P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)
三、 填空题
9 若3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为________．
10 (2024河北期末)某校团委举办“强国复兴有我”知识竞赛，甲、乙两位同学同时回答一道题目．已知甲同学答对的概率为，乙同学答对的概率为.若这两位同学回答正确与否互不影响，则甲、乙两位同学中至少有1位同学答对这道题的概率为________．
11 (2023河南期末)某学校围棋社团组织高一与高二交流赛，双方各挑选业余一段、业余二段、业余三段三位选手，段位越高水平越高，已知高二每个段位的选手都比高一相应段位的选手强一些，比赛共三局，每局双方各派一名选手出场，且每名选手只参赛一局，胜两局或三局的一方获得比赛的胜利，在比赛之前，双方都不知道对方选手的出场顺序，则第一局比赛高一获胜的概率为________；在一场比赛中高一获胜的概率为________．
四、 解答题
12 (2024湖州期末)若某袋中有5个大小、质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球．若从中不放回地依次随机摸出2个球，记事件A表示“第一次摸到红球”，事件B表示“第二次摸到红球”．
(1) 求P(A)和P(B)的值；
(2) 求两次摸到的不都是红球的概率．
13 (2023常州期末)甲、乙、丙三个学校进行篮球比赛，各出一个代表队，简称甲队、乙队、丙队.约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两个队，另一队轮空；每场比赛的胜队与轮空队进行下一场比赛，负队下一场轮空，直至有一队被淘汰；当一队被淘汰后，剩余的两队继续比赛，直至其中一队被淘汰，另一队最终获胜，比赛结束. 已知在每场比赛中，甲队胜乙队和甲队胜丙队的概率均为，乙队胜丙队的概率为，各场比赛的结果相互独立. 经抽签，第一场比赛甲队轮空．
(1) 求“前三场比赛结束后，乙队被淘汰”的概率；
(2) 求“一共只需四场比赛，甲队就获得冠军”的概率；
(3) 求“需要进行第五场比赛”的概率．
第15章　概　　率
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1. B　由题意，得摸到红色球、黑色球的概率分别为15%和45%，则可摸到白色球的概率为1－15%－45%＝40%，所以可得白色球的个数为 40×40%＝16.
2. A　因为事件A与B互斥，所以P(AB)＝0，即p1＝0.因为A与B相互独立，P(A)＝0.6，P(B)＝0.15，所以P(A)＝P(A)[1－P(B)]＝0.6×0.85＝0.51，即p2＝0.51.
3. A　从五种物质中随机抽取两种，所有的抽法共有10种，而相克的有5种情况，则抽取的两种物质相克的概率是＝，故抽取的两种物质不相克的概率是1－＝.
4. A　若两次取球后，盒子A中恰有8个球，则两次取球均为甲胜，即两次取球均为同色．若第一次取球甲、乙都取到红球，概率为×＝，则第一次取球后盒子A中有4个红球和3个白球，盒子B中有2个红球和3个白球，第二次取同色球分为取到红球或取到白球，概率为×＋×＝，故第一次取球甲、乙都取到红球且两次取球后，盒子A有8个球的概率为×＝.同理，第一次取球甲、乙都取到白球且两次取球后，盒子A中有8个球的概率为，所以两次取球后，盒子A中恰有8个球的概率是＋＝.
5. D　对于A，因为掷两颗骰子，两个点数可以都是偶数，也可以都是奇数，还可以一奇一偶，即一次试验，事件A和事件B可以都不发生，故A错误；对于B，因为C∩D，即两个点数都是偶数，即A与C∩D可以同时发生，故B错误；对于C，因为P(B)＝＝，P(D)＝1－＝，且P(BD)＝0，所以P(BD)≠P(B)P(D)，故C错误；对于D，因为P(C∪D)＝1，P(B∩(C∪D))＝＝，所以P(B∩(C∪D))＝P(B)P(C∪D)，故D正确．
6. B　三个人随机选三篇文章研究，样本空间共 3×3×3＝27(种)，事件M“三人都没选择《子归》篇”共有2×2×2＝8(种)，所以P(M)＝，事件N“至少有两人选择的篇目一样”共有27－6＝21(种)，所以P(N)＝，P(M)＋P(N)>1，所以M与N不互斥，故A，D错误；事件MN共有2＋3＋3＝8(种)，所以P(MN)＝，故B正确；因为P(MN)≠P(M)P(N)，故C错误．
7. BD　由题意，设一等品编号为a，b，二等品编号为c，次品编号为d，从中任取2件的所有样本点为(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)，共6个.对于A，2件都是一等品的样本点为(a，b)，共1个，故2件都是一等品的概率P1＝，故A错误；对于B，2件中有1件是次品的样本点为(a，d)，(b，d)，(c，d)，共3个，故2件中有1件是次品的概率P2＝＝，故B正确；对于C，2件都是正品的样本点为(a，b)，(a，c)，(b，c)，共3个，故2件都是正品的概率P3＝＝，故C错误；对于D，2件中至少有1件是一等品的样本点为(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，共5个，故2件中至少有1件是一等品的概率P4＝，故D正确．故选BD.
8. BC　由题意，得样本空间Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)}，A＝{(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)}，B＝{(1，2)，(1，4)，(2，3)，(3，4)}，C＝{(2，3)，(2，4)，(3，4)}，AB＝{(1，4)，(2，3)}，AC＝{(2，3)，(2，4)}，BC＝{(2，3)，(3，4)}，ABC＝{(2，3)}，所以P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(C)＝＝，P(AB)＝＝，P(AC)＝＝，P(ABC)＝，对于A，AB＝{(1，4)，(2，3)}，事件A、B可以同时发生，则A、B不互斥，故A错误；对于B，P(A)P(C)＝P(AC)，A、C相互独立，故B正确；对于C，P(AB)＋P(AC)＝P(A)，故C正确；对于D，P(ABC)≠P(A)P(B)P(C)，故D错误．故选BC.
9. 　从1，2，3，4，5中任取3个不同的数共有10个样本点，其中的勾股数只有3，4，5，即3个数构成一组勾股数的样本点只有1个，故所求概率为.
10. 　由题意，所求概率为＋×＋×＝.
11. 　 　设Ai(i＝1，2，3)为高一出场选手，Bi(i＝1，2，3)为高二出场选手，其中i表示段位，则第一局比赛中，共有(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，共9个样本点，其中高一能取得胜利的样本点为(A2，B1)，(A3，B1)，(A3，B2)，共3个，所以第一局比赛高一获胜的概率为＝.在一场三局比赛中，共有3×3×2×2＝36(种)安排方法，其中高一能获胜的安排方法为(A2B1，A3B2，A1B3)，(A2B1，A1B3，A3B2)，(A3B2，A2B1，A1B3)，(A3B2，A1B3，A2B1)，(A1B3，A2B1，A3B2)，(A1B3，A3B2，A2B1)，共6种，故在一场比赛中高一获胜的概率为＝.
12. (1) 将两个红球编号为1，2，三个黄球编号为3，4，5.
第一次摸球时有5种等可能的结果，第二次摸球时有4种等可能的结果．
将两次摸球的结果配对，组成20种等可能的结果，
第一次摸到红球的可能结果有8种，即A＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(2，5)}，
所以P(A)＝＝.
第二次摸到红球的可能结果也有8种，即B＝{(2，1)，(3，1)，(4，1)，(5，1)，(1，2)，(3，2)，(4，2)，(5，2)}，
所以P(B)＝＝.
(2) 事件AB＝“两次摸到都是红球”包含2个可能结果，即AB＝{(1，2)，(2，1)}，
所以两次摸到都是红球的概率P(AB)＝＝，
故两次摸到的不都是红球的概率P(＋)＝1－P(AB)＝1－＝.
13. (1) 记事件A为甲队胜丙队，则P(A)＝，P()＝；
事件B为甲队胜乙队，则P(B)＝，P()＝；
事件C为丙队胜乙队，则P(C)＝，P()＝.
前三场比赛结束后，乙队被淘汰的概率为
P1＝P(CC)＋P(CAB)＝××＋××＝.
(2) 由于甲队胜乙队和甲队胜丙队的概率均为，且乙队胜丙队和丙队胜乙队的概率也相等，均为，第一场比赛甲队轮空，以后的比赛相对于甲队，可视乙队丙队为同一队，
设甲队胜为事件D，甲队轮空为事件E，
所以只需四场比赛甲队就获得冠军的概率P2＝P(EDDD)＝××＝.
(3) 只需四场比赛就决出冠军的概率为
P3＝P(CC)＋P(　　　)＋P(CABA)＋P(BAB)＝×××＋×××＋×××＋×××＝，
故需要进行第五场比赛的概率P4＝1－P3＝.