【期末专项培优】等腰三角形（含解析）2024-2025学年北师大版数学八年级下册

期末专项培优：等腰三角形
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 巢湖市期末）如图，AD，BE分别为△ABC的高线和角平分线，AF⊥BE于点F．若AC＝BC，∠C＝40°，则∠EAF的度数为（　　）
A．10° B．15° C．20° D．25°
2．（2024秋 海曙区期末）已知一个等腰三角形的两条边长分别是2和4，则这个等腰三角形的周长是（　　）
A．8 B．10 C．4或8 D．6或10
3．（2024秋 锦江区校级期末）某城市几条道路的位置关系如图所示，道路AB∥CD，道路AB与AE的夹角∠BAE＝48°．城市规划部门想新修一条道路CE，要求CF＝EF，则∠E的度数为（　　）
A．22° B．23° C．24° D．25°
4．（2024秋 高邮市期末）如图，已知AD平分△ABC中的∠BAC，过点D作AD⊥BD，点E是边AC的中点，连接若DC＝AC＝4，则图中两个阴影部分面积之差的最大值（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
5．（2024秋 仓山区期末）如图，A，B，C，D，E五点都在小正方形网格的格点上，则下列各组点能构成等腰三角形的是（　　）
A．A，B，C B．B，C，D C．A，D，E D．A，C，E
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 海曙区期末）如图△ABP，∠B＝45°，∠APB＝120°，延长BP至C，连接AC．
（1）若PC＝PA，则∠C＝　 　；
（2）若PC＝2PB，则∠C＝　 　．
7．（2024秋 江都区期末）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，腰AB的长为6，则△ABC的周长为 　 　．
8．（2024秋 丽水期末）如图，△ABC中，AB＝AC，点D为BC的中点，∠BAD＝24°，AD＝AE，∠EDC＝　 　度．
9．（2024秋 鼓楼区校级期末）如图，已知点M是等边三角形ABC的边AB上的一点，若∠AMC＝103°，则在以线段AM，BM，CM为边围成的三角形中，最小内角的度数为 　 　°．
10．（2024秋 合川区期末）如图，在等边三角形ABC中，D为BC边的中点，DE⊥AB交AB于点E，DF⊥DE交AC于点F，若BE＝2，则AF的长为　 　．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 巢湖市期末）如图，△ABC中，∠A＝36°，D在边AC上，AD＝BD＝BC，求∠DBC的度数．
12．（2024秋 长沙期末）已知：如图，P、Q是△ABC边BC上两点，且AB＝AC，AP＝AQ．求证：BP＝CQ．
13．（2024秋 大足区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．
14．（2024秋 钢城区期末）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝6，∠A＝40°，ED垂直平分AB，点D为垂足，交AC于点E，连接BE．
（1）求△EBC的周长；
（2）求∠EBC的度数．
15．（2024秋 平潭县期末）如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M．
（1）求∠E的度数．
（2）求证：M是BE的中点．
期末专项培优：等腰三角形
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5
答案 B B C B A
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 巢湖市期末）如图，AD，BE分别为△ABC的高线和角平分线，AF⊥BE于点F．若AC＝BC，∠C＝40°，则∠EAF的度数为（　　）
A．10° B．15° C．20° D．25°
【考点】等腰三角形的判定与性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】B
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠BAC（180°﹣∠C）（180°﹣40°）＝70°，根据角平分线的定义得到∠ABE∠ABC＝35°，根据三角形的内角和定理即可得到结论．
【解答】解：∵AC＝BC，∠C＝40°，
∴∠ABC＝∠BAC（180°﹣∠C）（180°﹣40°）＝70°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE∠ABC＝35°，
∴∠AEB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABE＝75°，
∵AF⊥BE，
∴∠AFE＝90°，
∴∠EAF＝90°﹣∠AEF＝15°，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
2．（2024秋 海曙区期末）已知一个等腰三角形的两条边长分别是2和4，则这个等腰三角形的周长是（　　）
A．8 B．10 C．4或8 D．6或10
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】B
【分析】分2是腰长与底边长两种情况讨论求解．
【解答】解：①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、4，
∵2+2＝4，
∴不能组成三角形，
②2是底边时，三角形的三边分别为2、4、4，
能组成三角形，
周长＝2+4+4＝10，
综上所述，它的周长是10．
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系进行判定．
3．（2024秋 锦江区校级期末）某城市几条道路的位置关系如图所示，道路AB∥CD，道路AB与AE的夹角∠BAE＝48°．城市规划部门想新修一条道路CE，要求CF＝EF，则∠E的度数为（　　）
A．22° B．23° C．24° D．25°
【考点】等腰三角形的性质；平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】C
【分析】由平行线的性质推出∠DFE＝∠BAE＝48°，由等腰三角形的性质得到∠C＝∠E，由三角形的外角性质求出∠E∠DFE＝24°．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠DFE＝∠BAE＝48°，
∵CF＝EF，
∴∠C＝∠E，
∵∠C+∠E＝∠DFE，
∴∠E∠DFE＝24°．
故选：C．
【点评】本题考查平行线的性质，等腰三角形的性质，关键是由平行线的性质推出∠DFE＝∠BAE，由等腰三角形的性质得到∠C＝∠E．
4．（2024秋 高邮市期末）如图，已知AD平分△ABC中的∠BAC，过点D作AD⊥BD，点E是边AC的中点，连接若DC＝AC＝4，则图中两个阴影部分面积之差的最大值（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
【考点】等腰三角形的判定与性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】B
【分析】延长BD交AC于点H．设AD交BE于点O，根据垂直定义得到∠ADB＝∠ADH＝90°，求得∠ABD＝∠H，得到AB＝AH，根据等腰三角形的性质得到BD＝DH，推出∠CDH＝∠H，求得CD＝CH＝AC，推出当DC⊥AC时，△ACD的面积最大，最大面积为4×4＝8．
【解答】解：延长BD交AC于点H，设AD交BE于点O，
∵AD⊥BH，
∴∠ADB＝∠ADH＝90°，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，∠H+∠HAD＝90°，
∵∠BAD＝∠HAD，
∴∠ABD＝∠H，
∴AB＝AH，
∵AD⊥BH，
∴BD＝DH，
∵DC＝CA，
∴∠CDA＝∠CAD，
∵∠CAD+∠H＝90°，∠CDA+∠CDH＝90°，
∴∠CDH＝∠H，
∴CD＝CH＝AC，
∵AE＝EC，
∴S△ABES△ABH，S△CDHS△ABH，
∵S△OBD﹣S△AOE＝S△ADB﹣S△ABE＝S△ADH﹣S△CDH＝S△ACD，
∵AC＝CD＝4，
∴当DC⊥AC时，△ACD的面积最大，最大面积为4×4＝8．
∴图中两个阴影部分面积之差的最大值为8，
故选：B．
【点评】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
5．（2024秋 仓山区期末）如图，A，B，C，D，E五点都在小正方形网格的格点上，则下列各组点能构成等腰三角形的是（　　）
A．A，B，C B．B，C，D C．A，D，E D．A，C，E
【考点】等腰三角形的判定．
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观．
【答案】A
【分析】根据等腰三角形的判定解决问题．
【解答】解：如图，△ABC是等腰三角形．
故选：A．
【点评】本题考查等腰三角形的判定，解题的关键是掌握等腰三角形的判定．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 海曙区期末）如图△ABP，∠B＝45°，∠APB＝120°，延长BP至C，连接AC．
（1）若PC＝PA，则∠C＝　60°　；
（2）若PC＝2PB，则∠C＝　75°　．
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先根据平角的定义求出∠APC＝60°，再根据等边对等角和三角形内角和定理求解即可；
（2）如图所示，过点C作CE⊥AP于E，连接BE，求出∠PCE＝30°得到PC＝2PE，可以推出PB＝PE，则∠PBE＝∠PEB＝30°，证明∠EBC＝∠ECB，得到CE＝BE，证明∠ABE＝∠BAE＝15°，得到BE＝AE，即可推出AE＝CE，则∠ACE＝∠CAE＝45°，从而得到∠ACB＝∠ACE+∠BCE＝75°．
【解答】解：（1）∵∠APB＝120°，
∴∠APC＝180°﹣∠APB＝60°，
∵PC＝PA，
∴，
故答案为：60°；
（2）如图所示，过点C作CE⊥AP于E，连接BE，
∵∠APB＝120°，
∴∠APC＝180°﹣∠APB＝60°，
∴∠PCE＝180°﹣∠PEC﹣∠EPC＝30°，
∴PC＝2PE，
∵PC＝2PB，
∴PB＝PE，
∴，
∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBP＝15°，∠EBC＝∠ECB，
∴CE＝BE，∠BAE＝∠BEP﹣∠ABE＝15°，
∴∠ABE＝∠BAE＝15°，
∴BE＝AE，
∴AE＝CE，
∴∠ACE＝∠CAE＝45°，
∴∠ACB＝∠ACE+∠BCE＝75°，
故答案为：75°．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
7．（2024秋 江都区期末）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，腰AB的长为6，则△ABC的周长为 　15　．
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】15．
【分析】分两种情况：当等腰三角形的底边长BC是腰长AB的2倍时，当等腰三角形的腰长AB是底边长BC的2倍时，然后分别进行计算即可解答．
【解答】解：分两种情况：
当等腰三角形的底边长BC是腰长AB的2倍时，
∵腰长AB＝AC＝6，
∵底边BC的长为12，
∵6+6＝12，
∴不能组成三角形；
当等腰三角形的腰长AB是底边长BC的2倍时，
∵腰长AB＝AC＝6，
∴底边BC的长为3，
∴△ABC的周长为：6+6+3＝15，
综上所述：△ABC的周长为15，
故答案为：15．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，分两种情况讨论是解题的关键．
8．（2024秋 丽水期末）如图，△ABC中，AB＝AC，点D为BC的中点，∠BAD＝24°，AD＝AE，∠EDC＝　12　度．
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】12．
【分析】根据题意可判断出AD为角平分线，所以∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE．
【解答】解：在△ABC中，D为BC中点，AB＝AC，∠BAD＝24°，BD＝DC，
∴AD为角平分线，AD⊥BC；
又∵AD＝AE，∠DAE＝24°，
∴∠ADE＝78°
又∵AD⊥BC，
∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣78°＝12°．
故答案为：12．
【点评】本题考查了等腰三角形的中线、高和垂线三线合一的性质，以及角的度量运算．得到AD⊥BC是正确解答本题的关键．
9．（2024秋 鼓楼区校级期末）如图，已知点M是等边三角形ABC的边AB上的一点，若∠AMC＝103°，则在以线段AM，BM，CM为边围成的三角形中，最小内角的度数为 　17　°．
【考点】等边三角形的判定与性质．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】17．
【分析】将△CBM绕点C顺时针60°旋转得到△CAQ，可得以AM，BM，CM线段为边的三角形，即△AMQ，最小的锐角为∠AQM，根据邻补角以及旋转的性质得出∠CQA＝∠CMB＝77°，进而即可求解．
【解答】解：如图所示，将△CBM绕点C顺时针60°旋转得到△CAQ，
∴CM＝CQ，∠MCQ＝60°，BM＝AQ，∠AQC＝∠BMC，
∴△CMQ为等边三角形，
∴MQ＝CM，
∴以AM，BM，CM线段为边的三角形，即△AMQ，最小的锐角为∠AQM，
∵∠AMC＝103°，
∴∠CMB＝180°﹣103°＝77°，
∴∠CQA＝∠CMB＝77°，
∴∠PQC＝77°﹣60°＝17°．
故答案为：17．
【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定定理．
10．（2024秋 合川区期末）如图，在等边三角形ABC中，D为BC边的中点，DE⊥AB交AB于点E，DF⊥DE交AC于点F，若BE＝2，则AF的长为　4　．
【考点】等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；推理能力．
【答案】4．
【分析】证得△BDE为含30度角的直角三角形，△CDF为等边三角形，△ADF为等腰三角形，进而得到AF＝DF＝CD＝BD＝2EB，即可得解．
【解答】解：在等边三角形ABC中，D为BC边的中点，
∴∠B＝∠C＝60°，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠CAD＝30°，BD＝CD，
∵DE⊥AB交AB于点E，
∴∠EDB＝30°，
∴BD＝2BE，
∵∠ADE＝∠ADB﹣∠BDE＝60°，
∵DF⊥DE交AC于点F，
∴∠ADF＝∠EDF﹣∠ADE＝30°，
∴∠CDF＝∠ADC﹣∠ADF＝60°，∠ADF＝∠DAF，
∴DF＝AF，∠DFC＝180°﹣∠FDC﹣∠FCD＝60°，
∴△CDF为等边三角形，
∴AF＝DF＝CD＝BD＝2EB，
∵BE＝2，
∴AF＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，解答本题的关键是熟练掌握含30度角的直角三角形的性质．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 巢湖市期末）如图，△ABC中，∠A＝36°，D在边AC上，AD＝BD＝BC，求∠DBC的度数．
【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】36°．
【分析】根据等腰三角形的性质、三角形外角性质及三角形内角和定理求解即可．
【解答】解：∵BD＝AD，
∴∠A＝∠ABD＝36°，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°，
∵BD＝BC，
∴∠BDC＝∠BCD＝72°，
∴∠DBC＝180°﹣72°﹣72°＝36°．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角性质，熟练运用有关定理是解答本题的关键．
12．（2024秋 长沙期末）已知：如图，P、Q是△ABC边BC上两点，且AB＝AC，AP＝AQ．求证：BP＝CQ．
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】证明题．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据线段垂直平分线的性质，可得BO＝CO，PO＝QO，根据等式的性质，可得答案．
【解答】证明：过点A作AO⊥BC于O．
∵AB＝AC，AO⊥BC
∴BO＝CO
∵AP＝AQ，AO⊥BC
∴PO＝QO
∴BO﹣PO＝CO﹣QO
∴BP＝CQ．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，利用线段垂直平分线的性质是解题关键．
13．（2024秋 大足区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．
【考点】等腰三角形的判定与性质．
【专题】计算题；证明题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由AB＝AC，∠ABC＝∠ACB，BE＝CF，BD＝CE．利用边角边定理证明△DBE≌△ECF，然后即可求证△DEF是等腰三角形．
（2）根据∠A＝40°可求出∠ABC＝∠ACB＝70°根据△DBE≌△ECF，利用三角形内角和定理即可求出∠DEF的度数．
【解答】证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
在△DBE和△ECF中
，
∴△DBE≌△ECF（SAS），
∴DE＝EF，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）∵△DBE≌△ECF，
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B（180°﹣40°）＝70°
∴∠1+∠2＝110°
∴∠3+∠2＝110°
∴∠DEF＝70°
【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，此题主要应用了三角形内角和定理和平角是180°，因此有一定的难度，属于中档题．
14．（2024秋 钢城区期末）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝6，∠A＝40°，ED垂直平分AB，点D为垂足，交AC于点E，连接BE．
（1）求△EBC的周长；
（2）求∠EBC的度数．
【考点】等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）16；（2）30°．
【分析】（1）由于 ED 垂直平分AB，所以AE＝BE，三角形EBC的周长等于BE+EC+BC．由于AE ＝ BE，周长也可以表示为 AE+EC+BC，即 AC+BC．已知AC＝10，BC＝ 6，所以周长为 10+6＝16．
（2）根据线段的垂直平分线的性质写出答案即可．
【解答】解：（1）∵ED 垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴△EBC的周长＝BE+EC+BC
＝ AE+EC+BC
＝ AC+BC
＝ 10+6
＝ 16；
（2）∵ED 垂直平分 AB，
∴AE＝BE，
∴∠A＝∠ABE＝40°，
∴AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣40°）÷2＝70°；
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝70°﹣40°＝30°；
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，解题时注意：线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
15．（2024秋 平潭县期末）如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M．
（1）求∠E的度数．
（2）求证：M是BE的中点．
【考点】等边三角形的性质；含30度角的直角三角形．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由等边△ABC的性质可得：∠ACB＝∠ABC＝60°，然后根据等边对等角可得：∠E＝∠CDE，最后根据外角的性质可求∠E的度数；
（2）连接BD，由等边三角形的三线合一的性质可得：∠DBC∠ABC60°＝30°，结合（1）的结论可得：∠DBC＝∠E，然后根据等角对等边，可得：DB＝DE，最后根据等腰三角形的三线合一的性质可得：M是BE的中点．
【解答】（1）解：∵三角形ABC是等边△ABC，
∴∠ACB＝∠ABC＝60°，
又∵CE＝CD，
∴∠E＝∠CDE，
又∵∠ACB＝∠E+∠CDE，
∴∠E∠ACB＝30°；
（2）证明：连接BD，
∵等边△ABC中，D是AC的中点，
∴∠DBC∠ABC60°＝30°
由（1）知∠E＝30°
∴∠DBC＝∠E＝30°
∴DB＝DE
又∵DM⊥BC
∴M是BE的中点．
【点评】此题考查了等边三角形的有关性质，重点考查了等边三角形的三线合一的性质．
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