【期末专项培优】多边形的内角和与外角和（含解析）2024-2025学年北师大版数学八年级下册

期末专项培优：多边形的内角和与外角和
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 巢湖市期末）如图，以正五边形ABCDE的边AB为边向内作等边三角形△ABF，连接EF，则∠AFE等于（　　）
A．66° B．48° C．60° D．72°
2．（2024秋 青山区期末）若正n边形的每个内角都等于150°，则n＝（　　）
A．10 B．11 C．12 D．13
3．（2024秋 兴宁市期末）从五边形的一个顶点出发，可作的对角线的条数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（2024秋 藁城区期末）如图，Rt△ABC的两条直角边AC，BC分别经过正五边形的两个顶点，则∠1+∠2等于（　　）
A．126° B．130° C．136° D．140°
5．（2024秋 高州市期末）如图，新疆伊犁特克斯城因八卦布局而被称为“八卦城”，“八卦城”的形状是一个八边形，则八边形的内角和是（　　）
A．360° B．1440° C．1080° D．1800°
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 新城区校级期末）一个多边形从一个顶点出发，最多可以作4条对角线，则这个多边形是 　 　边形．
7．（2024秋 顺德区期末）如图，将五角星沿着虚线FG剪下．若∠B+∠C+∠D+∠E＝5∠A，则∠CFG+∠DGF＝ 　 　．
8．（2024秋 闽清县期末）如果一个多边形的内角和与外角和相等，那么这个多边形的边数是 　 　．
9．（2024秋 中山市期末）如图，用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结，得到正五边形ABCDE，则∠BAC的度数为 　 　°．
10．（2024秋 邗江区期末）从多边形的一个顶点出发，分别连接这个点与同它不相邻的各个顶点，得到6个三角形，那么这个多边形为　 　边形．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 新兴县期末）已知一个多边形的每一个内角都相等，并且每个内角都等于与它相邻的外角的3倍．
（1）这个多边形是几边形？
（2）求这个多边形的内角和．
12．（2024秋 阎良区期末）已知一个多边形的内角和与外角和的差刚好等于一个十边形的内角和，求这个多边形的边数．
13．（2024秋 延边州期末）一个多边形的内角和比它的外角和的2倍少180°，求这个多边形的边数．
14．（2024秋 安阳期末）如图所示，在四边形ABCD中，∠C与∠D的平分线相交于P，且∠A＝70°，∠B＝80°，求∠P的度数．
15．（2024秋 延长县期末）已知一个多边形的边数为n．
（1）若n＝6，求这个多边形的内角和；
（2）若这个多边形的内角和是它的外角和的3倍，求n的值．
期末专项培优：多边形的内角和与外角和
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5
答案 A C A A C
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 巢湖市期末）如图，以正五边形ABCDE的边AB为边向内作等边三角形△ABF，连接EF，则∠AFE等于（　　）
A．66° B．48° C．60° D．72°
【考点】多边形内角与外角；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；等边三角形的性质．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】A
【分析】先求出正五边形的内角和，接着求出∠BAE的度数，再求出∠EAF的度数，进而得出答案．
【解答】解：正五边形的内角和为180°×（5﹣2）＝540°，
则∠BAE＝540°÷5＝108°，
∵△ABF为等边三角形，
∴AF＝AB，∠BAF＝60°，
∴∠EAF＝∠BAE﹣∠BAF＝108°﹣60°＝48°，
∵AB＝AE，
∴AF＝AE，
∴∠AFE＝∠AEF（180°﹣∠EAF）66°．
故选：A．
【点评】本题主要考查三角形的内角与外角、三角形内角和定理、等腰三角形的性质、等边三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
2．（2024秋 青山区期末）若正n边形的每个内角都等于150°，则n＝（　　）
A．10 B．11 C．12 D．13
【考点】多边形内角与外角．
【答案】C
【分析】首先求得内个外角的度数，然后根据任意多边形的外角和是360°进行解答即可．
【解答】解：180°﹣150°＝30°．
360°÷30°＝12．
故选：C．
【点评】本题主要考查的是多边形的内角与外角，利用任意多边形的外角和是360°进行求解是解题的关键．
3．（2024秋 兴宁市期末）从五边形的一个顶点出发，可作的对角线的条数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】多边形的对角线．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】A
【分析】利用n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线可得答案．
【解答】解：从五边形的一个顶点出发，最多可以引出该五边形的对角线的条数是5﹣3＝2，
故选：A．
【点评】此题主要考查了多边形对角线，关键是掌握计算公式．
4．（2024秋 藁城区期末）如图，Rt△ABC的两条直角边AC，BC分别经过正五边形的两个顶点，则∠1+∠2等于（　　）
A．126° B．130° C．136° D．140°
【考点】多边形内角与外角；直角三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；运算能力．
【答案】A
【分析】根据正五边形的特征，由多边形内角和定理：（n﹣2） 180 （n≥3）且n为整数）先求出正五边形的内角和，进一步得到2个内角的和，根据三角形内角和为180°，可求∠3+∠4的度数，根据角的和差关系即可得到图中∠1+∠2的结果．
【解答】解：如图：
∵（5﹣2）×180°÷5×2
＝3×180°÷5×2
＝216°，
∠3+∠4＝180°﹣90°＝90°，
∴∠1+∠2＝216°﹣90°＝126°．
故选：A．
【点评】本题考查了多边形内角与外角，解题的关键是熟练掌握多边形内角和定理：（n﹣2） 180 （n≥3）且n为整数）．
5．（2024秋 高州市期末）如图，新疆伊犁特克斯城因八卦布局而被称为“八卦城”，“八卦城”的形状是一个八边形，则八边形的内角和是（　　）
A．360° B．1440° C．1080° D．1800°
【考点】多边形内角与外角．
【专题】多边形与平行四边形；运算能力．
【答案】C
【分析】根据n边形的内角和公式（n﹣2）×180°计算即可．
【解答】解：八边形的内角和是（8﹣2）×180°＝1080°，
故选：C．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形内角和定理是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 新城区校级期末）一个多边形从一个顶点出发，最多可以作4条对角线，则这个多边形是 　七　边形．
【考点】多边形的对角线；多边形．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】七．
【分析】根据n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线，得出n﹣3＝9，求出n即可．
【解答】解：设这个多边形的边数是n，
由题意得n﹣3＝4，
解得n＝7．
故答案为：七．
【点评】本题考查了多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．掌握n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线是解题的关键．
7．（2024秋 顺德区期末）如图，将五角星沿着虚线FG剪下．若∠B+∠C+∠D+∠E＝5∠A，则∠CFG+∠DGF＝ 　210°　．
【考点】多边形内角与外角；三角形内角和定理；三角形的外角性质．
【专题】三角形；运算能力．
【答案】210°．
【分析】根据三角形内角和定理以及外角的性质进行计算即可．
【解答】解：如图，∵∠AMN＝∠C+∠E，∠ANM＝∠B+∠D，而∠AMN+∠ANM+∠A＝180°，
∴∠C+∠E+∠B+∠D＝180°﹣∠A，
即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°，
又∵∠B+∠C+∠D+∠E＝5∠A，
∴∠A+5∠A＝180°，
解得∠A＝30°，
∴∠CFG+∠DGF＝∠AFG+∠AGF+∠A+∠A＝180°+30°＝210°，
故答案为：210°．
【点评】本题考查三角形的内角与外角，掌握三角形内角和定理以及外角的性质是正确解答的关键．
8．（2024秋 闽清县期末）如果一个多边形的内角和与外角和相等，那么这个多边形的边数是 　4　．
【考点】多边形内角与外角．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用多边形的内角和与外角和公式列出方程，然后解方程即可．
【解答】解：设多边形的边数为n，根据题意得，
（n﹣2） 180°＝360°，
解得n＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了多边形的内角和公式与多边形的外角和定理，需要注意，多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是360°．
9．（2024秋 中山市期末）如图，用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结，得到正五边形ABCDE，则∠BAC的度数为 　36　°．
【考点】多边形内角与外角；三角形内角和定理；等腰三角形的性质．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】36．
【分析】先求出∠ABC的度数，再根据等腰三角形的性质即可得出答案．
【解答】解：∵正五边形ABCDE，
∴∠ABC（5﹣2）×180°＝108°，
∵BA＝BC，
∴∠BAC（180°﹣∠ABC）72°＝36°．
故答案为：36．
【点评】本题主要考查多边形内角与外角、三角形内角和定理、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
10．（2024秋 邗江区期末）从多边形的一个顶点出发，分别连接这个点与同它不相邻的各个顶点，得到6个三角形，那么这个多边形为　八　边形．
【考点】多边形的对角线；多边形．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】八．
【分析】解题的关键是从n边形的一个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，形成的三角形个数为（n﹣2）的规律进行解答即可．
【解答】解：设多边形有n条边，则n﹣2＝6，
解得：n＝8，
故多边形是八边形．
故答案为：八．
【点评】本题考查了多边形的性质，掌握多边形的性质是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 新兴县期末）已知一个多边形的每一个内角都相等，并且每个内角都等于与它相邻的外角的3倍．
（1）这个多边形是几边形？
（2）求这个多边形的内角和．
【考点】多边形内角与外角．
【专题】多边形与平行四边形；运算能力．
【答案】（1）八；
（2）1080°．
【分析】（1）先设这个多边形的每个外角都为x°，再根据每个内角与它相邻的外角是互为邻补角，列出关于x的方程，求出每个外角的度数，再根据多边形的外角和是360°，求出多边形的边数即可；
（2）根据（1）中所求边数，根据多边形内角和公式求出答案即可．
【解答】解：（1）设这个多边形的每个外角都为x°，则与它相邻的内角为3x°，由题意得：
x+3x＝180，
4x＝180，
x＝45，
∴这个多边形的边数为：360÷45＝8，
∴这个多边形是八边形；
（2）由（1）可知这个多边形是八边形，
∴这个多边形的内角和为：
（8﹣2）×180°＝6×180°＝1080°．
【点评】本题主要考查了多边形的内角与外角，解题关键是熟练掌握多边形的内角和定理与外角和为360°．
12．（2024秋 阎良区期末）已知一个多边形的内角和与外角和的差刚好等于一个十边形的内角和，求这个多边形的边数．
【考点】多边形内角与外角．
【专题】多边形与平行四边形；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】设这个多边形的边数为n，根据题意得出方程（n﹣2）×180°﹣360°＝（10﹣2）×180°，求出方程的解即可．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，根据题意得：
（n﹣2）×180°﹣360°＝（10﹣2）×180°，
解得：n＝12．
答：这个多边形的边数为12．
【点评】本题考查了多边形的内角，掌握多边形的内角和定理是解题的关键．
13．（2024秋 延边州期末）一个多边形的内角和比它的外角和的2倍少180°，求这个多边形的边数．
【考点】多边形内角与外角．
【专题】多边形与平行四边形；运算能力．
【答案】5．
【分析】根据多边形的内角和、外角和的求法列方程求解即可．
【解答】解：设这个多边形的边数是n，
由题意得（n﹣2）×180°＝360°×2﹣180°，
解得 n＝5，
答：这个多边形的边数是5．
【点评】本题考查多边形内角与外角，掌握多边形的内角和的计算公式以及外角和为360°是解决问题的关键．
14．（2024秋 安阳期末）如图所示，在四边形ABCD中，∠C与∠D的平分线相交于P，且∠A＝70°，∠B＝80°，求∠P的度数．
【考点】多边形内角与外角．
【答案】见试题解答内容
【分析】已知∠A＝70°，∠B＝80°，根据四边形的内角和是360度，就可以求出∠ACD+∠CDB＝210度．根据角平分线的概念就可以求出△CPD的两个角的和，进而根据三角形的内角和定理求出∠P的度数．
【解答】解：∠P＝180°∠ACD∠CDB
＝180°（∠ACD+∠CDB）
＝180°（360°﹣∠A﹣∠B）
＝180°（360°﹣150°）
＝75°．
【点评】解题技巧：∠A+∠B+∠ACD+∠CDB＝360°，整体代入法求∠ACD+∠CDB度数．
15．（2024秋 延长县期末）已知一个多边形的边数为n．
（1）若n＝6，求这个多边形的内角和；
（2）若这个多边形的内角和是它的外角和的3倍，求n的值．
【考点】多边形内角与外角．
【专题】多边形与平行四边形；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）直接根据多边形内角和公式为（n﹣2）×180°求解即可；
（2）根据多边形的外角和为360°，然后根据多边形内角和列方程求解即可．
【解答】解：（1）当n＝6时，（6﹣2）×180°＝720°，
所以这个多边形的内角和为720°；
（2）由题意得，（n﹣2）×180°＝360°×3，
解得：n＝8，
所以n的值为8．
【点评】本题考查了多边形内角和与外角和，熟练掌握多边形内角和公式（n﹣2）×180°以及多边形的外角和为360°是解本题的关键．
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