【期末专项培优】分式方程（含解析）2024-2025学年北师大版数学八年级下册

期末专项培优：分式方程
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 巢湖市期末）若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（　　）
A．m＞﹣6 B．m≠2
C．m＞﹣6且m≠2 D．m＞﹣6且m≠﹣4
2．（2024秋 普陀区期末）下列方程中，不是分式方程的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024秋 裕华区期末）已知关于x的分式方程有增根，则k的值为（　　）
A．2 B．﹣2 C．﹣3 D．3
4．（2024秋 中山市期末）解分式方程时，去分母正确的是（　　）
A．2x﹣3＝3x﹣1 B．2x﹣3（x﹣2）＝3x﹣1
C．2x﹣3（x﹣2）＝﹣3x﹣1 D．2x﹣3（x﹣2）＝﹣3x+1
5．（2024秋 九龙坡区期末）初二1班同学们计划购进A，B两种水果送给社区养老院，其中A种水果的售价比B种水果的售价低4元，用240元购进A种水果的数量是用160元购进B种水果数量的2倍，求A种水果的售价？若设A种水果的售价为x元，则根据题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 宝山区期末）如果x＝﹣1是关于x的方程的增根，那么a的值为 　 　．
7．（2024秋 宝山区期末）如果分式的值为1，那么b的值是 　 　．
8．（2024秋 普陀区期末）定义：如果一个关于x的分式方程的解是，那么我们把这样的分式方程称为和解方程．例如方程就是和解方程．已知关于x的分式方程是和解方程，那么n的值是 　 　．
9．（2024秋 如东县期末）若关于x的分式方程的解是负数，则k的取值范围是 　 　．
10．（2024秋 浦东新区校级期末）对于代数式m和n，定义运算“ ”：m n，例如：4 2，若（x+1） （x﹣2），则2A﹣B＝　 　．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 藁城区期末）解方程：
（1）；
（2）．
12．（2024秋 合川区期末）解下列分式方程：
（1）；
（2）．
13．（2024秋 邗江区校级期末）已知关于x的分式方程的解是正数，求m的取值范围．
14．（2024秋 垫江县期末）阅读下面材料，解答后面的问题
解方程：．
解：设，则原方程化为：，方程两边同时乘y得：y2﹣4＝0，
解得：y＝±2，
经检验：y＝±2都是方程的解，∴当y＝2时，，解得：x＝﹣1，
当y＝﹣2时，，解得：x，经检验：x＝﹣1或x都是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为x＝﹣1或 x．上述这种解分式方程的方法称为换元法．
问题：
（1）若在方程中，设，则原方程可化为：　 　；
（2）若在方程中，设，则原方程可化为：　 　；
（3）模仿上述换元法解方程：．
15．（2024秋 开福区校级期末）某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为4800米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加20%，结果提前20天完成铺设任务．
（1）求原计划与实际每天铺设管道各多少米？
（2）负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过36万元．该公司原计划最多应安排多少名工人施工？
期末专项培优：分式方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 巢湖市期末）若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（　　）
A．m＞﹣6 B．m≠2
C．m＞﹣6且m≠2 D．m＞﹣6且m≠﹣4
【考点】分式方程的解．
【答案】D
【分析】先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求m的取值范围．
【解答】解：去分母，得2x+m＝3（x﹣2），
2x+m＝3x﹣6，
解得：x＝m+6，
∵的解为正数，
∴m+6＞0
∴m＞﹣6，
∵x≠2，
∴m≠﹣4，
∴m＞﹣6且m≠﹣4．
故选：D．
【点评】此题考查了分式方程的解，注意在任何时候都要考虑分母不为0．
2．（2024秋 普陀区期末）下列方程中，不是分式方程的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】分式方程的定义．
【专题】分式方程及应用；数感．
【答案】A
【分析】分母中含有未知数的方程叫做分式方程，据此进行判断即可．
【解答】解：A中方程分母中不含未知数，它不是分式方程；
B，C，D中方程符合分式方程的定义，它们是分式方程；
故选：A．
【点评】本题考查分式方程的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．
3．（2024秋 裕华区期末）已知关于x的分式方程有增根，则k的值为（　　）
A．2 B．﹣2 C．﹣3 D．3
【考点】分式方程的增根．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到x﹣2＝0，据此求出x的值，代入整式方程求出k的值即可．
【解答】解：去分母，得：k﹣3＝x﹣2，
由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，
把x＝2代入整式方程，可得：k＝3．
故选：D．
【点评】此题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
4．（2024秋 中山市期末）解分式方程时，去分母正确的是（　　）
A．2x﹣3＝3x﹣1 B．2x﹣3（x﹣2）＝3x﹣1
C．2x﹣3（x﹣2）＝﹣3x﹣1 D．2x﹣3（x﹣2）＝﹣3x+1
【考点】解分式方程．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】根据解分式方程的方法，把分式方程转化为整式方程即可得出答案．
【解答】解：，
方程两边同时乘（x﹣2），得2x﹣3（x﹣2）＝﹣3x+1．
故选：D．
【点评】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键．
5．（2024秋 九龙坡区期末）初二1班同学们计划购进A，B两种水果送给社区养老院，其中A种水果的售价比B种水果的售价低4元，用240元购进A种水果的数量是用160元购进B种水果数量的2倍，求A种水果的售价？若设A种水果的售价为x元，则根据题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【专题】分式方程及应用；应用意识．
【答案】D
【分析】根据用240元购进A种水果的数量是用160元购进B种水果数量的2倍，列方程即可．
【解答】解：设A种水果的进价为x元，则B种水果的进价为（x+4）元，
由题意，得，2．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答时根据条件建立方程是关键．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 宝山区期末）如果x＝﹣1是关于x的方程的增根，那么a的值为 　﹣2　．
【考点】分式方程的增根．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】﹣2．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，将x＝﹣1代入整式方程计算即可求出a的值．
【解答】解：分式方程去分母得：x+1+2x＝a，即3x+1＝a，
∵x＝﹣1是关于x的方程的增根，
∴把x＝﹣1代入3x+1＝a得到﹣3+1＝a，即a＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】此题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
7．（2024秋 宝山区期末）如果分式的值为1，那么b的值是 　0　．
【考点】解分式方程．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】0．
【分析】让所给代数式的值为1，列式求解即可．
【解答】解：由题意得：1，
方程两边都乘a﹣b得：a﹣2b＝a﹣b，
解得：b＝0，
经检验，b＝0是原分式方程的解，
故答案为：0．
【点评】本题考查了分式是值，解分式方程；掌握解分式方程的基本步骤是解题的关键．
8．（2024秋 普陀区期末）定义：如果一个关于x的分式方程的解是，那么我们把这样的分式方程称为和解方程．例如方程就是和解方程．已知关于x的分式方程是和解方程，那么n的值是 　　．
【考点】解分式方程；分式方程的解．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】．
【分析】根据题意可得关于x的分式方程的解是x，将其代入后解得n的值即可．
【解答】解：由题意可得关于x的分式方程的解是x，
则2024n＝2024﹣n，
解得：n，
故答案为：．
【点评】本题考查解分式方程，分式方程的解，结合已知条件得到分式方程的解是解题的关键．
9．（2024秋 如东县期末）若关于x的分式方程的解是负数，则k的取值范围是 　k＞1且k≠2　．
【考点】分式方程的解；解一元一次不等式．
【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】k＞1且k≠2．
【分析】首先根据解分式方程的步骤，求出关于x的分式方程解是多少；然后根据分式方程的解为负数，求出k的取值范围即可．
【解答】解：根据题意可知，化简分式方程可得，2﹣k＝x+1，
解得：x＝1﹣k，
∵1﹣k＜0，且1﹣k≠﹣1，
∴k＞1且k≠2．
故答案为：k＞1且k≠2．
【点评】此题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，掌握相应的运算法则是关键．
10．（2024秋 浦东新区校级期末）对于代数式m和n，定义运算“ ”：m n，例如：4 2，若（x+1） （x﹣2），则2A﹣B＝　﹣9　．
【考点】解分式方程．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】﹣9．
【分析】根据新定义运算，求得，再计算得，即得方程组
，即得答案．
【解答】解：∵，
，
∴，
∴2A﹣B＝﹣9．
故答案为：﹣9．
【点评】本题考查了新定义运算，分式的加减运算，正确理解新定义运算的方法是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 藁城区期末）解方程：
（1）；
（2）．
【考点】解分式方程．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】（1）无解；
（2）x．
【分析】利用去分母将分式方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．
【解答】解：（1）原方程去分母得：2（2x+1）＝4，
整理得：2x+1＝2，
解得：x，
当x时，（2x+1）（2x﹣1）＝0，
则x是分式方程的增根，
故原方程无解；
（2）原方程去分母得：4x+2x+6＝7，
解得：x，
检验：当x时，2x+6≠0，
故原方程的解为x．
【点评】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
12．（2024秋 合川区期末）解下列分式方程：
（1）；
（2）．
【考点】解分式方程．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】（1）x＝5；
（2）x＝2．
【分析】（1）先通过方程两边乘最简公分母将分式方程化为整式方程，再解整式方程，最后检验整式方程的解是不是分式方程的解；
（2）先通过方程两边乘最简公分母将分式方程化为整式方程，再解整式方程，最后检验整式方程的解是不是分式方程的解．
【解答】解：（1）原方程去分母得5+2（x﹣7）＝﹣（x﹣6），
5+2x﹣14＝﹣x+6，
2x+x＝6+14﹣5，
3x＝15，
x＝5，
检验：当x＝5时，x﹣7≠0，
∴x＝5是原分式方程的解；
（2）方程组整理得3+x（x﹣3）＝（x﹣3）2，
3+x2﹣3x＝x2﹣6x+9，
x2﹣x2﹣3x+6x＝9﹣3，
3x＝6，
x＝2，
检验：当x＝2时，x﹣3≠0，
∴x＝2是原分式方程的解；
【点评】本题考查了解分式方程．熟练掌握解分式方程是关键．
13．（2024秋 邗江区校级期末）已知关于x的分式方程的解是正数，求m的取值范围．
【考点】分式方程的解；解一元一次不等式．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】m＜4且m≠3．
【分析】先利用m表示出x的值，再由x为正数求出m的取值范围即可．
【解答】解：方程两边同时乘以x﹣1得，1﹣m﹣（x﹣1）＝﹣2，
解得x＝4﹣m．
∵x为正数，
∴4﹣m＞0，解得m＜4，
∵x≠1，
∴4﹣m≠1，即m≠3，
∴m的取值范围是m＜4且m≠3．
【点评】本题考查的是分式方程的解，熟知求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解是解答此题的关键．
14．（2024秋 垫江县期末）阅读下面材料，解答后面的问题
解方程：．
解：设，则原方程化为：，方程两边同时乘y得：y2﹣4＝0，
解得：y＝±2，
经检验：y＝±2都是方程的解，∴当y＝2时，，解得：x＝﹣1，
当y＝﹣2时，，解得：x，经检验：x＝﹣1或x都是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为x＝﹣1或 x．上述这种解分式方程的方法称为换元法．
问题：
（1）若在方程中，设，则原方程可化为：　　；
（2）若在方程中，设，则原方程可化为：　　；
（3）模仿上述换元法解方程：．
【考点】换元法解分式方程．
【专题】阅读型．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）和（2）将所设的y代入原方程即可；
（3）利用换元法解分式方程，设，将原方程化为，求出y的值并检验是否为原方程的解，然后求解x的值即可．
【解答】解：（1）将代入原方程，则原方程化为；
（2）将代入方程，则原方程可化为；
（3）原方程化为：，
设，则原方程化为：，
方程两边同时乘y得：y2﹣1＝0
解得：y＝±1，
经检验：y＝±1都是方程的解．
当y＝1时，，该方程无解；
当y＝﹣1时，，解得：；
经检验：是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为．
【点评】本题考查了分式方程的解法，关键是如何换元，题目比较好，有一定的难度．
15．（2024秋 开福区校级期末）某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为4800米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加20%，结果提前20天完成铺设任务．
（1）求原计划与实际每天铺设管道各多少米？
（2）负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过36万元．该公司原计划最多应安排多少名工人施工？
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】（1）原计划与实际每天铺设管道各为40米，48米；
（2）该公司原计划最多应安排10名工人施工．
【分析】（1）设原计划每天铺设管道x米，则实际施工每天铺设管道（1+20%）x＝1.2x，根据原计划的时间＝实际的时间+20，列出方程，求出方程的解即可得到结果；
（2）设该公司原计划应安排y名工人施工，根据工作时间＝工作总量÷工作效率计算出原计划的工作天数，进而表示出所有工人的工作总额，由所有工人的工资总金额不超过36万元列出不等式，求出不等式的解集，找出解集中的最大整数解即可．
【解答】解：（1）设原计划每天铺设管道x米，则实际施工每天铺设管道（1+20%）x＝1.2x米，
∴，
∴x＝40，
经检验x＝40是分式方程的解，
∴1.2x＝48，
则原计划与实际每天铺设管道各为40米，48米，
答：原计划与实际每天铺设管道各为40米，48米；
（2）设该公司原计划应安排y名工人施工，4800÷40＝120（天），
∴300×120y≤360000，
∴y≤10，
则该公司原计划最多应安排10名工人施工．
【点评】此题考查了分式方程的应用，以及一元一次不等式的应用，弄清题意是解本题的关键．
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