【期末专项培优】分式方程(含解析)2024-2025学年北师大版数学八年级下册

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名称 【期末专项培优】分式方程(含解析)2024-2025学年北师大版数学八年级下册
格式 docx
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资源类型 试卷
版本资源 北师大版
科目 数学
更新时间 2025-05-16 06:19:16

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期末专项培优:分式方程
一.选择题(共5小题)
1.(2024秋 巢湖市期末)若关于x的分式方程的解为正数,则m的取值范围是(  )
A.m>﹣6 B.m≠2
C.m>﹣6且m≠2 D.m>﹣6且m≠﹣4
2.(2024秋 普陀区期末)下列方程中,不是分式方程的是(  )
A. B.
C. D.
3.(2024秋 裕华区期末)已知关于x的分式方程有增根,则k的值为(  )
A.2 B.﹣2 C.﹣3 D.3
4.(2024秋 中山市期末)解分式方程时,去分母正确的是(  )
A.2x﹣3=3x﹣1 B.2x﹣3(x﹣2)=3x﹣1
C.2x﹣3(x﹣2)=﹣3x﹣1 D.2x﹣3(x﹣2)=﹣3x+1
5.(2024秋 九龙坡区期末)初二1班同学们计划购进A,B两种水果送给社区养老院,其中A种水果的售价比B种水果的售价低4元,用240元购进A种水果的数量是用160元购进B种水果数量的2倍,求A种水果的售价?若设A种水果的售价为x元,则根据题意可列方程为(  )
A. B.
C. D.
二.填空题(共5小题)
6.(2024秋 宝山区期末)如果x=﹣1是关于x的方程的增根,那么a的值为    .
7.(2024秋 宝山区期末)如果分式的值为1,那么b的值是    .
8.(2024秋 普陀区期末)定义:如果一个关于x的分式方程的解是,那么我们把这样的分式方程称为和解方程.例如方程就是和解方程.已知关于x的分式方程是和解方程,那么n的值是    .
9.(2024秋 如东县期末)若关于x的分式方程的解是负数,则k的取值范围是    .
10.(2024秋 浦东新区校级期末)对于代数式m和n,定义运算“ ”:m n,例如:4 2,若(x+1) (x﹣2),则2A﹣B=   .
三.解答题(共5小题)
11.(2024秋 藁城区期末)解方程:
(1);
(2).
12.(2024秋 合川区期末)解下列分式方程:
(1);
(2).
13.(2024秋 邗江区校级期末)已知关于x的分式方程的解是正数,求m的取值范围.
14.(2024秋 垫江县期末)阅读下面材料,解答后面的问题
解方程:.
解:设,则原方程化为:,方程两边同时乘y得:y2﹣4=0,
解得:y=±2,
经检验:y=±2都是方程的解,∴当y=2时,,解得:x=﹣1,
当y=﹣2时,,解得:x,经检验:x=﹣1或x都是原分式方程的解,
∴原分式方程的解为x=﹣1或 x.上述这种解分式方程的方法称为换元法.
问题:
(1)若在方程中,设,则原方程可化为:   ;
(2)若在方程中,设,则原方程可化为:   ;
(3)模仿上述换元法解方程:.
15.(2024秋 开福区校级期末)某市为治理污水,保护环境,需铺设一段全长为4800米的污水排放管道,为了减少施工对城市交通所造成的影响,实际施工时每天的工效比原计划增加20%,结果提前20天完成铺设任务.
(1)求原计划与实际每天铺设管道各多少米?
(2)负责该工程的施工单位,按原计划对工人的工资进行了初步的预算,工人每天人均工资为300元,所有工人的工资总金额不超过36万元.该公司原计划最多应安排多少名工人施工?
期末专项培优:分式方程
参考答案与试题解析
一.选择题(共5小题)
1.(2024秋 巢湖市期末)若关于x的分式方程的解为正数,则m的取值范围是(  )
A.m>﹣6 B.m≠2
C.m>﹣6且m≠2 D.m>﹣6且m≠﹣4
【考点】分式方程的解.
【答案】D
【分析】先解关于x的分式方程,求得x的值,然后再依据“解是正数”建立不等式求m的取值范围.
【解答】解:去分母,得2x+m=3(x﹣2),
2x+m=3x﹣6,
解得:x=m+6,
∵的解为正数,
∴m+6>0
∴m>﹣6,
∵x≠2,
∴m≠﹣4,
∴m>﹣6且m≠﹣4.
故选:D.
【点评】此题考查了分式方程的解,注意在任何时候都要考虑分母不为0.
2.(2024秋 普陀区期末)下列方程中,不是分式方程的是(  )
A. B.
C. D.
【考点】分式方程的定义.
【专题】分式方程及应用;数感.
【答案】A
【分析】分母中含有未知数的方程叫做分式方程,据此进行判断即可.
【解答】解:A中方程分母中不含未知数,它不是分式方程;
B,C,D中方程符合分式方程的定义,它们是分式方程;
故选:A.
【点评】本题考查分式方程的定义,熟练掌握其定义是解题的关键.
3.(2024秋 裕华区期末)已知关于x的分式方程有增根,则k的值为(  )
A.2 B.﹣2 C.﹣3 D.3
【考点】分式方程的增根.
【专题】分式方程及应用;运算能力.
【答案】D
【分析】首先把所给的分式方程化为整式方程,然后根据分式方程有增根,得到x﹣2=0,据此求出x的值,代入整式方程求出k的值即可.
【解答】解:去分母,得:k﹣3=x﹣2,
由分式方程有增根,得到x﹣2=0,即x=2,
把x=2代入整式方程,可得:k=3.
故选:D.
【点评】此题主要考查了分式方程的增根,解答此题的关键是要明确:(1)化分式方程为整式方程;(2)把增根代入整式方程即可求得相关字母的值.
4.(2024秋 中山市期末)解分式方程时,去分母正确的是(  )
A.2x﹣3=3x﹣1 B.2x﹣3(x﹣2)=3x﹣1
C.2x﹣3(x﹣2)=﹣3x﹣1 D.2x﹣3(x﹣2)=﹣3x+1
【考点】解分式方程.
【专题】分式方程及应用;运算能力.
【答案】D
【分析】根据解分式方程的方法,把分式方程转化为整式方程即可得出答案.
【解答】解:,
方程两边同时乘(x﹣2),得2x﹣3(x﹣2)=﹣3x+1.
故选:D.
【点评】本题考查了解分式方程,熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键.
5.(2024秋 九龙坡区期末)初二1班同学们计划购进A,B两种水果送给社区养老院,其中A种水果的售价比B种水果的售价低4元,用240元购进A种水果的数量是用160元购进B种水果数量的2倍,求A种水果的售价?若设A种水果的售价为x元,则根据题意可列方程为(  )
A. B.
C. D.
【考点】由实际问题抽象出分式方程.
【专题】分式方程及应用;应用意识.
【答案】D
【分析】根据用240元购进A种水果的数量是用160元购进B种水果数量的2倍,列方程即可.
【解答】解:设A种水果的进价为x元,则B种水果的进价为(x+4)元,
由题意,得,2.
故选:D.
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程,解答时根据条件建立方程是关键.
二.填空题(共5小题)
6.(2024秋 宝山区期末)如果x=﹣1是关于x的方程的增根,那么a的值为  ﹣2 .
【考点】分式方程的增根.
【专题】分式方程及应用;运算能力.
【答案】﹣2.
【分析】分式方程去分母转化为整式方程,将x=﹣1代入整式方程计算即可求出a的值.
【解答】解:分式方程去分母得:x+1+2x=a,即3x+1=a,
∵x=﹣1是关于x的方程的增根,
∴把x=﹣1代入3x+1=a得到﹣3+1=a,即a=﹣2,
故答案为:﹣2.
【点评】此题主要考查了分式方程的增根,解答此题的关键是要明确:(1)化分式方程为整式方程;(2)把增根代入整式方程即可求得相关字母的值.
7.(2024秋 宝山区期末)如果分式的值为1,那么b的值是  0 .
【考点】解分式方程.
【专题】分式方程及应用;运算能力.
【答案】0.
【分析】让所给代数式的值为1,列式求解即可.
【解答】解:由题意得:1,
方程两边都乘a﹣b得:a﹣2b=a﹣b,
解得:b=0,
经检验,b=0是原分式方程的解,
故答案为:0.
【点评】本题考查了分式是值,解分式方程;掌握解分式方程的基本步骤是解题的关键.
8.(2024秋 普陀区期末)定义:如果一个关于x的分式方程的解是,那么我们把这样的分式方程称为和解方程.例如方程就是和解方程.已知关于x的分式方程是和解方程,那么n的值是   .
【考点】解分式方程;分式方程的解.
【专题】分式方程及应用;运算能力.
【答案】.
【分析】根据题意可得关于x的分式方程的解是x,将其代入后解得n的值即可.
【解答】解:由题意可得关于x的分式方程的解是x,
则2024n=2024﹣n,
解得:n,
故答案为:.
【点评】本题考查解分式方程,分式方程的解,结合已知条件得到分式方程的解是解题的关键.
9.(2024秋 如东县期末)若关于x的分式方程的解是负数,则k的取值范围是  k>1且k≠2 .
【考点】分式方程的解;解一元一次不等式.
【专题】分式方程及应用;一元一次不等式(组)及应用;运算能力.
【答案】k>1且k≠2.
【分析】首先根据解分式方程的步骤,求出关于x的分式方程解是多少;然后根据分式方程的解为负数,求出k的取值范围即可.
【解答】解:根据题意可知,化简分式方程可得,2﹣k=x+1,
解得:x=1﹣k,
∵1﹣k<0,且1﹣k≠﹣1,
∴k>1且k≠2.
故答案为:k>1且k≠2.
【点评】此题考查了分式方程的解,解一元一次不等式,掌握相应的运算法则是关键.
10.(2024秋 浦东新区校级期末)对于代数式m和n,定义运算“ ”:m n,例如:4 2,若(x+1) (x﹣2),则2A﹣B= ﹣9 .
【考点】解分式方程.
【专题】分式方程及应用;运算能力.
【答案】﹣9.
【分析】根据新定义运算,求得,再计算得,即得方程组
,即得答案.
【解答】解:∵,

∴,
∴2A﹣B=﹣9.
故答案为:﹣9.
【点评】本题考查了新定义运算,分式的加减运算,正确理解新定义运算的方法是解题的关键.
三.解答题(共5小题)
11.(2024秋 藁城区期末)解方程:
(1);
(2).
【考点】解分式方程.
【专题】分式方程及应用;运算能力.
【答案】(1)无解;
(2)x.
【分析】利用去分母将分式方程化为整式方程,解得x的值后进行检验即可.
【解答】解:(1)原方程去分母得:2(2x+1)=4,
整理得:2x+1=2,
解得:x,
当x时,(2x+1)(2x﹣1)=0,
则x是分式方程的增根,
故原方程无解;
(2)原方程去分母得:4x+2x+6=7,
解得:x,
检验:当x时,2x+6≠0,
故原方程的解为x.
【点评】本题考查解分式方程,熟练掌握解方程的方法是解题的关键.
12.(2024秋 合川区期末)解下列分式方程:
(1);
(2).
【考点】解分式方程.
【专题】分式方程及应用;运算能力.
【答案】(1)x=5;
(2)x=2.
【分析】(1)先通过方程两边乘最简公分母将分式方程化为整式方程,再解整式方程,最后检验整式方程的解是不是分式方程的解;
(2)先通过方程两边乘最简公分母将分式方程化为整式方程,再解整式方程,最后检验整式方程的解是不是分式方程的解.
【解答】解:(1)原方程去分母得5+2(x﹣7)=﹣(x﹣6),
5+2x﹣14=﹣x+6,
2x+x=6+14﹣5,
3x=15,
x=5,
检验:当x=5时,x﹣7≠0,
∴x=5是原分式方程的解;
(2)方程组整理得3+x(x﹣3)=(x﹣3)2,
3+x2﹣3x=x2﹣6x+9,
x2﹣x2﹣3x+6x=9﹣3,
3x=6,
x=2,
检验:当x=2时,x﹣3≠0,
∴x=2是原分式方程的解;
【点评】本题考查了解分式方程.熟练掌握解分式方程是关键.
13.(2024秋 邗江区校级期末)已知关于x的分式方程的解是正数,求m的取值范围.
【考点】分式方程的解;解一元一次不等式.
【专题】分式方程及应用;运算能力.
【答案】m<4且m≠3.
【分析】先利用m表示出x的值,再由x为正数求出m的取值范围即可.
【解答】解:方程两边同时乘以x﹣1得,1﹣m﹣(x﹣1)=﹣2,
解得x=4﹣m.
∵x为正数,
∴4﹣m>0,解得m<4,
∵x≠1,
∴4﹣m≠1,即m≠3,
∴m的取值范围是m<4且m≠3.
【点评】本题考查的是分式方程的解,熟知求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值,这个值叫方程的解是解答此题的关键.
14.(2024秋 垫江县期末)阅读下面材料,解答后面的问题
解方程:.
解:设,则原方程化为:,方程两边同时乘y得:y2﹣4=0,
解得:y=±2,
经检验:y=±2都是方程的解,∴当y=2时,,解得:x=﹣1,
当y=﹣2时,,解得:x,经检验:x=﹣1或x都是原分式方程的解,
∴原分式方程的解为x=﹣1或 x.上述这种解分式方程的方法称为换元法.
问题:
(1)若在方程中,设,则原方程可化为:  ;
(2)若在方程中,设,则原方程可化为:  ;
(3)模仿上述换元法解方程:.
【考点】换元法解分式方程.
【专题】阅读型.
【答案】见试题解答内容
【分析】(1)和(2)将所设的y代入原方程即可;
(3)利用换元法解分式方程,设,将原方程化为,求出y的值并检验是否为原方程的解,然后求解x的值即可.
【解答】解:(1)将代入原方程,则原方程化为;
(2)将代入方程,则原方程可化为;
(3)原方程化为:,
设,则原方程化为:,
方程两边同时乘y得:y2﹣1=0
解得:y=±1,
经检验:y=±1都是方程的解.
当y=1时,,该方程无解;
当y=﹣1时,,解得:;
经检验:是原分式方程的解,
∴原分式方程的解为.
【点评】本题考查了分式方程的解法,关键是如何换元,题目比较好,有一定的难度.
15.(2024秋 开福区校级期末)某市为治理污水,保护环境,需铺设一段全长为4800米的污水排放管道,为了减少施工对城市交通所造成的影响,实际施工时每天的工效比原计划增加20%,结果提前20天完成铺设任务.
(1)求原计划与实际每天铺设管道各多少米?
(2)负责该工程的施工单位,按原计划对工人的工资进行了初步的预算,工人每天人均工资为300元,所有工人的工资总金额不超过36万元.该公司原计划最多应安排多少名工人施工?
【考点】分式方程的应用;一元一次不等式的应用.
【专题】分式方程及应用;运算能力.
【答案】(1)原计划与实际每天铺设管道各为40米,48米;
(2)该公司原计划最多应安排10名工人施工.
【分析】(1)设原计划每天铺设管道x米,则实际施工每天铺设管道(1+20%)x=1.2x,根据原计划的时间=实际的时间+20,列出方程,求出方程的解即可得到结果;
(2)设该公司原计划应安排y名工人施工,根据工作时间=工作总量÷工作效率计算出原计划的工作天数,进而表示出所有工人的工作总额,由所有工人的工资总金额不超过36万元列出不等式,求出不等式的解集,找出解集中的最大整数解即可.
【解答】解:(1)设原计划每天铺设管道x米,则实际施工每天铺设管道(1+20%)x=1.2x米,
∴,
∴x=40,
经检验x=40是分式方程的解,
∴1.2x=48,
则原计划与实际每天铺设管道各为40米,48米,
答:原计划与实际每天铺设管道各为40米,48米;
(2)设该公司原计划应安排y名工人施工,4800÷40=120(天),
∴300×120y≤360000,
∴y≤10,
则该公司原计划最多应安排10名工人施工.
【点评】此题考查了分式方程的应用,以及一元一次不等式的应用,弄清题意是解本题的关键.
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