【期末专项培优】角平分线（含解析）2024-2025学年北师大版数学八年级下册

期末专项培优：角平分线
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 新兴县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D．若AC＝5cm，则AE+DE＝（　　）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
2．（2024秋 合川区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是角平分线，若AB＝7，CD＝2，则△ABD的面积为（　　）
A．7 B．8 C．12 D．14
3．（2024秋 湘桥区期末）如图1，这是一个平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成，平板电脑放置在托板上，图2是其侧面结构示意图．现量得托板长AB＝10cm，支撑板顶端的C恰好是托板AB的中点，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．当CD⊥AB，且射线DB恰好是∠CDE的平分线时，此时点B到直线DE的距离是（　　）
A．3cm B．5cm C．6cm D．10cm
4．（2024秋 东莞市期末）小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在∠AOB上，两把直尺的接触点为P，边OA与另外一把直尺边缘的交点为C，点C，P在这把直尺上的刻度读数分别是2，5，则OC的长度是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2024秋 闽清县期末）如图，已知△ABC的面积为14，BP平分∠ABC，且AP⊥BP于点P，则△BPC的面积为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 伊川县期末）如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝6，DE＝2，AB＝4，则AC的长是 　 　．
7．（2024秋 鼓楼区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DC＝3，则点D到AB的距离是 　 　．
8．（2024秋 宝应县期末）如图，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB于E，△ABC的面积是28cm2，DE＝4cm，BC＝8cm，则AB＝ 　 　cm．
9．（2024秋 裕华区校级期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，动点P从点C出发，以每秒2cm的速度按C→A的路径运动，设运动时间为t秒．出发2秒时，△ABP的面积为 　 　cm2；当t＝ 　 　时，BP恰好平分∠ABC．
10．（2024秋 昌平区期末）如图，点C在∠AOB的平分线上，CD⊥OB于点D，且CD＝2，如果E是射线OA上一点，且OE＝4，那么△OEC的面积是 　 　．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 垫江县期末）如图，△ABC与△AED中，∠E＝∠C，DE＝BC，EA＝CA，过A作AF⊥DE垂足为F，DE交CB的延长线于点G，连接AG．
（1）求证：GA平分∠DGB；
（2）若S四边形DGBA＝6，AF，求FG的长．
12．（2024秋 望城区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，且BD＝DF．
（1）求证：CF＝EB；
（2）试判断AB与AF，EB之间存在的数量关系．并说明理由．
13．（2024秋 余姚市期末）如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝.100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE．
（1）求证：AE平分∠FAD．
（2）求证：DE平分∠ADC．
（3）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，S△ACD＝15，求△ABE的面积．
14．（2024秋 宜兴市期末）如图，△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线于E，EF⊥AB，交AB于F，EG⊥AC，交AC的延长线于G，试问：BF与CG的大小如何？证明你的结论．
15．（2024秋 博山区期末）如图，点D在边BC的延长线上，∠ACE＝28°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD于点H，且∠CEH＝62°．
（1）证明：AE平分∠CAF；
（2）若AB＝8，CD＝10，AC＝6，且S△ABE＝16，求△ACD的面积．
期末专项培优：角平分线
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 新兴县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D．若AC＝5cm，则AE+DE＝（　　）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【考点】角平分线的性质．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】D
【分析】根据角平分线的性质得到ED＝EC，则AE+ED＝AC．
【解答】解：∵BE平分∠ABC，DE⊥AB，EC⊥BC，
∴ED＝EC，
∴AE+ED＝AE+EC＝AC＝5cm．
故选：D．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
2．（2024秋 合川区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是角平分线，若AB＝7，CD＝2，则△ABD的面积为（　　）
A．7 B．8 C．12 D．14
【考点】角平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】A
【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得到△ABD的面积．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，
∵∠C＝90°，AD是角平分线，
∴DE＝CD＝7，
∴△ABD的面积，
故选：A．
【点评】本题考查角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键．
3．（2024秋 湘桥区期末）如图1，这是一个平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成，平板电脑放置在托板上，图2是其侧面结构示意图．现量得托板长AB＝10cm，支撑板顶端的C恰好是托板AB的中点，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．当CD⊥AB，且射线DB恰好是∠CDE的平分线时，此时点B到直线DE的距离是（　　）
A．3cm B．5cm C．6cm D．10cm
【考点】角平分线的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】B
【分析】根据C是AB的中点可求BC的长度，再根据角平分线上的点到角两边距离相等即可求解．
【解答】解：过点B作BF⊥DE，垂足为点F，
∵C是AB的中点，AB＝10cm，
∴，
∵CD⊥AB，BF⊥DE，射线DB是∠CDE的平分线，
∴BC＝BF＝5cm，
故选：B．
【点评】本题主要考查了角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等．
4．（2024秋 东莞市期末）小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在∠AOB上，两把直尺的接触点为P，边OA与另外一把直尺边缘的交点为C，点C，P在这把直尺上的刻度读数分别是2，5，则OC的长度是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】角平分线的性质；平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；推理能力．
【答案】B
【分析】过P作PN⊥OB于N，由角平分线性质定理的逆定理推出PO平分∠AOB，得到∠COP＝∠NOP，由平行线的性质推出∠CPO＝∠NOP，得到∠COP＝∠CPO，因此OC＝PC，由PC＝5﹣2＝3（cm），即可得到OC的长度是3cm．
【解答】解：过P作PN⊥OB于N，
由题意得：PM＝PN，
∵PM⊥OA，
∴PO平分∠AOB，
∴∠COP＝∠NOP，
∵PC∥OB，
∴∠CPO＝∠NOP，
∴∠COP＝∠CPO，
∴OC＝PC，
∵C、P在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，
∴PC＝5﹣2＝3（cm），
∴OC的长度是3cm．
故选：B．
【点评】本题考查角角平分线的性质，平行线的性质，解答本题的关键是证明PO平分∠AOB．
5．（2024秋 闽清县期末）如图，已知△ABC的面积为14，BP平分∠ABC，且AP⊥BP于点P，则△BPC的面积为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【考点】角平分线的性质；三角形的面积；全等三角形的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】C
【分析】延长AP交BC于D，证明△ABP≌△DBP（ASA）得到AP＝DP，再根据三角形中线平分三角形面积即可得到答案．
【解答】解：如图所示，延长AP交BC于D，
由角平分线定义可知：∠ABP＝∠DBP，
∴∠APB＝∠DPB＝90°，
∴△ABP≌△DBP（ASA），
∴AP＝DP，
∴，
∴．
故选：C．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，三角形中线平分三角形面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 伊川县期末）如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝6，DE＝2，AB＝4，则AC的长是 　2　．
【考点】角平分线的性质；三角形的面积．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】2．
【分析】首先根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得DE＝DF＝2，根据S△ADC＝S△ABC﹣S△ABD＝2可以求出△ADC的面积为2，再根据三角形的面积公式可得，可以求出AC＝2．
【解答】解：如图所示，过点D作DF⊥AC于点F，
∵AD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DE＝2，
∴DE＝DF＝2，
∵S△ABC＝6，AB＝4，
∴，
∴S△ADC＝S△ABC﹣S△ABD＝6﹣4＝2，
又∵，
∴AC＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了三角形的面积公式、角平分线的性质，熟知角平分线上的点到角的两边距离相等是解题的关键．
7．（2024秋 鼓楼区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DC＝3，则点D到AB的距离是 　3　．
【考点】角平分线的性质；点到直线的距离．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】3．
【分析】根据角平分线的性质即可得到答案．
【解答】解：过D作DE⊥AB交AB于点E，
∵∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，
∴DE＝DC，
∵DC＝3，
∴DE＝DC＝3，
∴D到AB的距离是3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键．
8．（2024秋 宝应县期末）如图，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB于E，△ABC的面积是28cm2，DE＝4cm，BC＝8cm，则AB＝ 　6　cm．
【考点】角平分线的性质；三角形的面积．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】6．
【分析】由角平分线的性质推出DF＝DE＝4cm，由三角形面积公式得到AB DEBC DF＝28cm2，即可求出AB的长．
【解答】解：过D作DF⊥BC于F，
∵BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB于E，
∴DF＝DE＝4cm，
∵△ABC的面积＝△ABD的面积+△CBD的面积，
∴AB DEBC DF＝28cm2，
∴AB×48×4＝28，
∴AB＝6cm．
故答案为：6．
【点评】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，关键是由角平分线的性质推出DF＝DE．
9．（2024秋 裕华区校级期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，动点P从点C出发，以每秒2cm的速度按C→A的路径运动，设运动时间为t秒．出发2秒时，△ABP的面积为 　12　cm2；当t＝ 　1.5　时，BP恰好平分∠ABC．
【考点】角平分线的性质．
【专题】三角形；运算能力．
【答案】12，1.5．
【分析】根据勾股定理求出AC，根据三角形的面积公式计算即可，根据角平分线的性得到PH＝PC，再由S△ABC＝S△PBC+S△ABP即可得出结论．
【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，
∴AC8（cm），
当t＝2时，AP＝8﹣2×2＝4（cm），
∴△ABP的面积＝×4×6＝12（cm2），
当BP平分∠ABC时，作PH⊥AB于H，
则PH＝PC＝2t，
∵S△ABC＝S△PBC+S△ABP，
∴AC BC＝BC PC+AB PH，即8×6＝12t+20t，
解得，t＝1.5，
则t＝1.5s时，BP恰好平分∠ABC．
故答案为：12，1.5．
【点评】本题考查的是勾股定理，熟知直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2是解题的关键．
10．（2024秋 昌平区期末）如图，点C在∠AOB的平分线上，CD⊥OB于点D，且CD＝2，如果E是射线OA上一点，且OE＝4，那么△OEC的面积是 　4　．
【考点】角平分线的性质．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】4．
【分析】过点C作CG⊥OA于G，根据角平分线的性质得到CG＝CD＝2，再根据三角形面积公式计算即可．
【解答】解：如图，过点C作CG⊥OA于G，
∵点C在∠AOB的平分线上，CD⊥OB，CG⊥OA，CD＝2，
∴CG＝CD＝2，
∴S△OECOE CG4×2＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 垫江县期末）如图，△ABC与△AED中，∠E＝∠C，DE＝BC，EA＝CA，过A作AF⊥DE垂足为F，DE交CB的延长线于点G，连接AG．
（1）求证：GA平分∠DGB；
（2）若S四边形DGBA＝6，AF，求FG的长．
【考点】角平分线的性质；三角形的面积；全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先过点A作AH⊥BC于H，判定△ABC≌△AED，得出AF＝AH，再判定Rt△AFG≌Rt△AHG，即可得出∠AGF＝∠AGH；
（2）先判定Rt△ADF≌Rt△ABH，得出S四边形DGBA＝S四边形AFGH＝6，再根据Rt△AFG≌Rt△AHG，求得Rt△AFG的面积＝3，进而得到FG的长．
【解答】解：（1）过点A作AH⊥BC于H，
∵△ABC与△AED中，∠E＝∠C，DE＝BC，EA＝CA，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴S△ABC＝S△AED，
又∵AF⊥DE，
即DE×AFBC×AH，
∴AF＝AH，
又∵AF⊥DE，AH⊥BC，AG＝AG，
∴Rt△AFG≌Rt△AHG（HL），
∴∠AGF＝∠AGH，
即GA平分∠DGB；
（注：由AF＝AH，AF⊥DE，AH⊥BC，也可以直接得到GA平分∠DGB．）
（2）∵△ABC≌△ADE，
∴AD＝AB，
又∵AF⊥DE，AH⊥BC，AF＝AH，
∴Rt△ADF≌Rt△ABH（HL），
∴S四边形DGBA＝S四边形AFGH＝6，
∵Rt△AFG≌Rt△AHG，
∴Rt△AFG的面积＝3，
∵AF，
∴FG3，
解得FG＝4．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，解题时注意：全等三角形的面积相等．
12．（2024秋 望城区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，且BD＝DF．
（1）求证：CF＝EB；
（2）试判断AB与AF，EB之间存在的数量关系．并说明理由．
【考点】角平分线的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据角平分线的性质得到DC＝DE，证明Rt△FCD≌Rt△BED，根据全等三角形的性质证明；
（2）证明Rt△ACD≌Rt△AED，根据全等三角形的性质证明．
【解答】（1）证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DC＝DE，
在Rt△FCD和Rt△BED中，
，
∴Rt△FCD≌Rt△BED（HL），
∴CF＝EB；
（2）解：AB＝AF+2BE，
理由如下：在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC＝AE，
∴AB＝AE+BE＝AF+FC+BE＝AF+2BE．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
13．（2024秋 余姚市期末）如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝.100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE．
（1）求证：AE平分∠FAD．
（2）求证：DE平分∠ADC．
（3）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，S△ACD＝15，求△ABE的面积．
【考点】角平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析；
（3）．
【分析】（1）由直角三角形的性质求出∠EAF＝40°，由平角定义即可求出∠DAE的度数，再根据角平分线定义即可得证；
（2）过E作EM⊥AD于M，EN⊥BC于N，由角平分线的性质推出EF＝EN，FE＝EM，得到EM＝EN，于是推出DE平分∠ADC；
（3）由△ACD的面积＝△ADE的面积+△CDE的面积，得到AD EM+CD EN＝18，即可求出EM＝3，得到EF＝3，由三角形面积公式即可求出△ABE的面积．
【解答】（1）证明：∵EF⊥AB，
∴∠AFE＝90°，
∵∠AEF＝50°，
∴∠EAF＝90°﹣∠AEF＝90°﹣50°＝40°，
∵∠BAD＝100°，
∴∠DAE＝180°﹣100°﹣40°＝40°＝∠EAF，
∴AE平分∠FAD；
（2）证明：过E作EM⊥AD于M，EN⊥BC于N，
∵BE平分∠ABC，EF⊥AB，
∴EF＝EN，
∵AE平分∠DAF，EF⊥AB，
∴FE＝EM，
∴EM＝EN，
∵EM⊥AD，EN⊥CD，
∴DE平分∠ADC；
（3）解：∵△ACD的面积＝△ADE的面积+△CDE的面积，
∴AD EMCD EN＝15，
∴（AD+CD） EM＝15，
∴（4+8）×EM＝15，
∴EM，
∴EF，
∴△ABE的面积AB EF7．
【点评】本题考查角平分线的性质，关键是掌握角平分线的性质定理及其逆定理．
14．（2024秋 宜兴市期末）如图，△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线于E，EF⊥AB，交AB于F，EG⊥AC，交AC的延长线于G，试问：BF与CG的大小如何？证明你的结论．
【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】探究型．
【答案】见试题解答内容
【分析】连EB、EC，根据角平分线性质得EF＝EG；根据垂直平分线的性质得EB＝EC；再根据“HL”定理证明Rt△EFB≌Rt△EGC，从而得BF＝CG．
【解答】解：相等．
证明如下：连EB、EC，
∵AE是∠BAC的平分线，
且EF⊥AB于F，EG⊥AC于G，
∴EF＝EG．
∵ED⊥BC于D，D是BC的中点，
∴EB＝EC．
在Rt△EFB和Rt△EGC中，
，
∴Rt△EFB≌Rt△EGC（HL），
∴BF＝CG．
【点评】本题考查了角平分线性质和垂直平分线的性质，利用了三角形全等的判定和性质解题．正确作出辅助线是解答本题的关键．
15．（2024秋 博山区期末）如图，点D在边BC的延长线上，∠ACE＝28°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD于点H，且∠CEH＝62°．
（1）证明：AE平分∠CAF；
（2）若AB＝8，CD＝10，AC＝6，且S△ABE＝16，求△ACD的面积．
【考点】角平分线的性质；三角形的面积．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）如图，过E点分别作EM⊥BF于M，EN⊥AC与N，根据角平分线的性质定理以及角平分线的定义可得EM＝EH、CE平分∠ACD、EN＝EH，最后根据角平分线的判定定理即可解答；
（2）根据S△ACD＝S△ACE+S△CED结合已知条件可得EM＝4，最后运用三角形的面积公式即可解答．
【解答】（1）证明：过E点作EM⊥BF于M，EN⊥AC与N，
∵BE平分∠ABC，
∴EM＝EH，
∵∠ACE＝28°，∠CEH＝62°，
∴∠HCE＝90°﹣∠CEH＝90°﹣62°＝28°＝∠ACE，
∴EN＝EH，
∴EM＝EN，
∴AE平分∠CAF；
（2）∵AB＝8，CD＝10，AC＝6，且S△ABE＝16，
∴，
∴EM＝4，
∴EN＝EH＝EM＝4，
∴S△ACD＝S△ACE+S△CED
＝32，
∴△ACD的面积为32．
【点评】本题考查角平分线的性质与判定、直角三角形两锐角互余、三角形的面积，掌握角平分线的性质与判定定理是解题的关键．
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