【期末专项培优】平四边形的判定（含解析）2024-2025学年北师大版数学八年级下册

期末专项培优：平四边形的判定
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 长春校级期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，添加下列一个条件后，一定能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．AB＝CD B．AD＝BC
C．AB＝BC D．∠B+∠C＝180°
2．（2024秋 重庆期末）如图，已知四边形ABCD，下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．AB∥CD，AD∥BC B．AD＝BC，AB＝CD
C．∠A＝∠C，∠B＝∠D D．AB∥CD，AD＝BC
3．（2024 潮州一模）如图所示，在 ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点E，∠ABC的平分线交CD于点F．若AB＝11，AD＝7，则EF的长是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（2024 南充模拟） ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（　　）
A．BE＝DF B．AF∥CE C．CE＝AF D．∠DAF＝∠BCE
5．（2024春 孝义市期末）如图，在 ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，添加下列选项中的一个条件，不一定能使四边形AECF是平行四边形的是（　　）
A．AE＝CF B．BE＝DF C．BF＝DE D．∠DCF＝∠BAE
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 潍坊期末）如图， ABCD中，AD＝5cm，CD＝3cm，AE平分∠BAD，则EC＝　 　．
7．（2024秋 鲤城区校级期末）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥CD，过点O作OE⊥AC交AD于点E，连接CE．已知AC＝6，BD＝10，则△CDE的周长是 　 　．
8．（2023秋 巴中期末）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA、PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为 　 　．
9．（2024春 赣州期中）如图，平行四边形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时点Q也停止运动），当t＝　 　时，四边形PDQB为平行四边形．
10．（2024秋 松北区期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E，F分别是AD，BC上的动点，AE＝CF，连接EF，过点B作BG⊥EF，垂足为G，若S平行四边形ABCD＝12，则BG的最大值为 　 　．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 沙坪坝区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，延长CD至点E，使CD＝DE，连接AE．
（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）若AC平分∠BAE，AC＝8，AE＝6，求△ACE的面积．
12．（2024秋 鄠邑区期末）已知：如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD，AC相交于点O，点E，F分别在BD，DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，AF，CF，CE．
（1）求证：四边形AFCE为平行四边形；
（2）若AC平分∠EAF，∠AEC＝60°，OA＝4，求四边形AFCE的周长．
13．（2024秋 莱芜区期末）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线EF分别交AD、CB的延长线于点E，F．求证：OE＝OF．
14．（2022 绿园区校级一模）如图，在 ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，EF过点O且垂直于AD．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若S ABCD＝63，OE＝3.5，求AD的长．
15．（2024 孝南区模拟）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是OA、OC的中点，求证：BE＝DF．
期末专项培优：平四边形的判定
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 长春校级期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，添加下列一个条件后，一定能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．AB＝CD B．AD＝BC
C．AB＝BC D．∠B+∠C＝180°
【考点】平行四边形的判定．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】A
【分析】由AB∥CD，AB＝CD，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形ABCD是平行四边形，可判断A符合题意；由AB∥CD，AD＝BC，可知四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形，而不能判定四边形ABCD是平行四边形，可判断B不符合题意；由AB∥CD，AB＝BC，不能判定四边形ABCD是平行四边形，可判断C不符合题意；由AB∥CD，得∠B+∠C＝180°，可知由AB∥CD，∠B+∠C＝180°，不能判定四边形ABCD是平行四边形，可判断D不符合题意，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故A符合题意；
∵AB∥CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形，
∴不能判定四边形ABCD是平行四边形，
故B不符合题意；
∵由AB∥CD，AB＝BC，不能推导出AB＝CD，
∴不能判定四边形ABCD是平行四边形，
故C不符合题意；
∵AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
∴由AB∥CD，∠B+∠C＝180°，不能判定四边形ABCD是平行四边形，
故D不符合题意，
故选：A．
【点评】此题重点考查平行四边形的判定，正确理解和运用平行四边形的判定定理是解题的关键．
2．（2024秋 重庆期末）如图，已知四边形ABCD，下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．AB∥CD，AD∥BC B．AD＝BC，AB＝CD
C．∠A＝∠C，∠B＝∠D D．AB∥CD，AD＝BC
【考点】平行四边形的判定．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】D
【分析】由AB∥CD，AD∥BC，根据平行四边形的定义证明四边形ABCD是平行四边形，可判断A不符合题意；由AD＝BC，AB＝CD，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”证明四边形ABCD是平行四边形，可判断B不符合题意；由∠A＝∠C，∠B＝∠D，推导出∠A+∠B＝180°，∠A+∠D＝180°，则AD∥BC，AB∥CD，再根据平行四边形的定义证明四边形ABCD是平行四边形，可判断C不符合题意；由AB∥CD，AD＝BC，可判定四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形，可判断D符合题意，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故A不符合题意；
∵AD＝BC，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故B不符合题意；
∵∠A＝∠C，∠B＝∠D，且∠A+∠C+∠B+∠D＝360°，
∴2∠A+2∠B＝360°，2∠A+2∠D＝360°，
∴∠A+∠B＝180°，∠A+∠D＝180°，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故C不符合题意；
∵AB∥CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形，
∴由AB∥CD，AD＝BC不能判定四边形ABCD是平行四边形，
故D符合题意，
故选：D．
【点评】此题重点考查平行四边形的定义及判定定理，适当选择平行四边形的定义或判定定理证明四边形ABCD是平行四边形是解题的关键．
3．（2024 潮州一模）如图所示，在 ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点E，∠ABC的平分线交CD于点F．若AB＝11，AD＝7，则EF的长是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】平行四边形的性质；角平分线的性质．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】A
【分析】由平行四边形的性质推出AB∥CD，CD＝AB＝11，BC＝AD＝7，由角平分线定义得到∠DAE＝∠BAE，由平行线的性质得到∠DEA＝∠BAE，因此∠DEA＝∠DAE，得到DE＝AD＝7，同理：CF＝BC＝7，即可求出EF＝CF+DE﹣DC＝7+7﹣11＝3．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，CD＝AB＝11，BC＝AD＝7，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAE，
∵AB∥CD，
∴∠DEA＝∠BAE，
∴∠DEA＝∠DAE，
∴DE＝AD＝7，
同理：CF＝BC＝7，
∴EF＝CF+DE﹣DC＝7+7﹣11＝3．
故选：A．
【点评】本题考查平行四边形的性质，关键是由平行四边形的性质推出DE＝AD＝7，CF＝BC＝7．
4．（2024 南充模拟） ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（　　）
A．BE＝DF B．AF∥CE C．CE＝AF D．∠DAF＝∠BCE
【考点】平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】C
【分析】连接AC与BD相交于O，根据平行四边形的对角线互相平分可得OA＝OC，OB＝OD，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，只要证明得到OE＝OF即可，然后根据各选项的条件分析判断即可得解．
【解答】解：连接AC与BD相交于O，
在 ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，
要使四边形AECF为平行四边形，只需证明得到OE＝OF即可；
A、若BE＝DF，则OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，故本选项不符合题意；
B、AF∥CE能够利用“角角边”证明△AOF和△COE全等，从而得到OE＝OF，故本选项不符合题意；
C、若CE＝AF，则无法判断OE＝OE，故本选项符合题意；
D、由∠DAF＝∠BCE，从而推出△DAF≌△BCE，然后得出∠DFA＝∠BEC，∴∠AFE＝∠CEF，∴AF∥CE，结合选项B可证明四边形AECF是平行四边形；故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
5．（2024春 孝义市期末）如图，在 ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，添加下列选项中的一个条件，不一定能使四边形AECF是平行四边形的是（　　）
A．AE＝CF B．BE＝DF C．BF＝DE D．∠DCF＝∠BAE
【考点】平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；多边形与平行四边形；几何直观；推理能力．
【答案】A
【分析】根据平行线的判定方法结合已知条件逐项进行分析即可得．
【解答】解：如图所示，连接AC，交BD于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，
当BE＝DF时，
∴OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边，故B选项不合题意；
当BF＝DE时，同理可得OF＝OE，故C选项不合题意，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠CDF＝∠ABE，
当∠DCF＝∠BAE时，△DFC≌△BEA（ASA），
∴BE＝DF，
∴OE＝OF，则四边形AECF是平行四边，故D选项不合题意，
当AE＝CF时不能证明三角形全等，无条件证明四边形AECF是平行四边，故A选项符合题意，
故选：A．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 潍坊期末）如图， ABCD中，AD＝5cm，CD＝3cm，AE平分∠BAD，则EC＝　2cm　．
【考点】平行四边形的性质；角平分线的定义；平行线的性质；等腰三角形的判定．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】2cm．
【分析】根据平行四边形的性质证明∠BAE＝BAE，得BE＝AB＝3cm，然后根据线段的和差即可解决问题．
【解答】解：在 ABCD中，BC＝AD＝5cm，AB＝CD＝3cm，AD∥BC，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝DAE，
∵AD∥BC，
∴∠BEA＝DAE，
∴∠BAE＝BAE，
∴BE＝AB＝3cm，
∴CE＝BC﹣BE＝5﹣3＝2（cm），
故答案为：2cm．
【点评】本题考查平行四边形的性质，角平分线定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，解决本题的关键是得到BE＝AB．
7．（2024秋 鲤城区校级期末）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥CD，过点O作OE⊥AC交AD于点E，连接CE．已知AC＝6，BD＝10，则△CDE的周长是 　4+2　．
【考点】平行四边形的性质；线段垂直平分线的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；运算能力；推理能力．
【答案】4+2．
【分析】由平行四边形的性质得OC＝OAAC＝3，OD＝OBBD＝5，而AC⊥CD，OE⊥AC，则∠ACD＝90°，AE＝CE，所以CD4，则AD2，再证明∠ECD＝∠EDC，所以DE＝CE＝AEAD，即可求得△CDE的周长为4+2，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵四边ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，AC＝6，BD＝10，
∴OC＝OAAC＝3，OD＝OBBD＝5，
∵AC⊥CD，OE⊥AC，
∴∠ACD＝90°，AE＝CE，
∴CD4，
∴AD2，
∵∠ECD+∠ECA＝90°，∠EDC+∠EAC＝90°，∠ECA＝∠EAC，
∴∠ECD＝∠EDC，
∴DE＝CE＝AEAD，
∴△CDE的周长＝CD+DE+CE＝44+2，
∴故答案为：4+2．
【点评】此题重点考查平行四边形的性质、线段的垂直平分线的性质、等角的余角相等、勾股定理等知识，证明DE＝CE＝AE是解题的关键．
8．（2023秋 巴中期末）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA、PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为 　　．
【考点】平行四边形的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】设PQ与AC交于点O，作OP′⊥BC于P′．首先求出OP′，当P与P′重合时，PQ的值最小，PQ的最小值＝2OP′．
【解答】解：设PQ与AC交于点O，作OP′⊥BC于P′．
在Rt△ABC中，BC10，
∵∠OCP′＝∠ACB，∠OP′C＝∠CAB，
∴△COP′∽△CBA，
∴，
∴，
∴OP′，
当P与P′重合时，PQ的值最小，PQ的最小值＝2OP′．
故答案为．
【点评】本题考查平行四边形的性质．直角三角形的性质、勾股定理、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用垂线段最短解决最值问题，属于中考常考题型．
9．（2024春 赣州期中）如图，平行四边形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时点Q也停止运动），当t＝　4.8s或8s或9.6s　时，四边形PDQB为平行四边形．
【考点】平行四边形的判定与性质．
【专题】多边形与平行四边形；运算能力；推理能力．
【答案】＝4.8s或8s或9.6s．
【分析】根据平行四边形的判定可得当DP＝BQ时，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，然后分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可．
【解答】解：设经过m秒，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，
∵以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，
∴DP＝BQ，
分为以下情况：①点Q的运动路线是C﹣B，方程为12﹣4m＝12﹣tm
此时方程m＝0，此时不符合题意；
②点Q的运动路线是C﹣B﹣C，方程为4m﹣12＝12﹣m，
解得：m＝4.8；
③点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B，方程为12﹣（4m﹣24）＝12﹣m，
解得：m＝8；
④点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B﹣C，方程为4m﹣36＝12﹣tm
解得：m＝9.6；
综上所述，m＝4.8s或8s或9.6s时，以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，
故答案为：＝4.8s或8s或9.6s．
【点评】此题考查了平行四边形的判定．求出符合条件的所有情况是解此题的关键，注意分类讨论思想的应用．
10．（2024秋 松北区期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E，F分别是AD，BC上的动点，AE＝CF，连接EF，过点B作BG⊥EF，垂足为G，若S平行四边形ABCD＝12，则BG的最大值为 　　．
【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；运算能力；推理能力．
【答案】．
【分析】连接BD交EF于点L，作BH⊥DC交DC的延长线于点H，由平行四边形的性质得DC＝AB＝3，AD＝BC，AD∥BC，则∠EDL＝∠FBL，而AE＝CF，可证明DE＝BF，由S平行四边形ABCD＝DC BH＝3BH＝12，求得BH＝4，则CH3，所以DH＝6，则BD2，再证明△DLE≌△BLF，得DL＝BLBD，因为BG⊥EF于点G，所以BG的最大值为，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接BD交EF于点L，作BH⊥DC交DC的延长线于点H，则∠H＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝3，BC＝5，
∴DC＝AB＝3，AD＝BC，AD∥BC，
∴∠EDL＝∠FBL，
∵AE＝CF，
∴AD﹣AE＝BC﹣CF，
∴DE＝BF，
∵S平行四边形ABCD＝DC BH＝3BH＝12，
∴BH＝4，
∴CH3，
∴DH＝DC+CH＝3+3＝6，
∴BD2，
在△DLE和△BLF中，
，
∴△DLE≌△BLF（AAS），
∴DL＝BLBD2，
∵BG⊥EF于点G，
∴BG≤BL，
∴BG，
∴BG的最大值为，
故答案为：．
【点评】此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 沙坪坝区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，延长CD至点E，使CD＝DE，连接AE．
（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）若AC平分∠BAE，AC＝8，AE＝6，求△ACE的面积．
【考点】平行四边形的判定与性质；角平分线的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解答；
（2）△ACE的面积是8．
【分析】（1）由平行四边形的性质得AB∥CD，AB＝CD，因为延长CD至点E，使CD＝DE，所以AB∥DE，AB＝DE，则四边形ABDE是平行四边形；
（2）连接OE，由 ABCD的对角线AC与BD相交于点O，得OA＝OCAC＝4，由AC平分∠BAE，得∠BAC＝∠EAC，由AB∥CD，得∠BAC＝∠ECA，则∠EAC＝∠ECA，所以AE＝CE＝6，则OE⊥AC，所以∠AOE＝90°，求得OE2，则S△ACEAC OE＝8．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵延长CD至点E，使CD＝DE，
∴AB∥DE，AB＝DE，
∴四边形ABDE是平行四边形．
（2）解：连接OE，
∵ ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，
∴OA＝OCAC＝4，
∵AC平分∠BAE，
∴∠BAC＝∠EAC，
∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ECA，
∴∠EAC＝∠ECA，
∴AE＝CE＝6，
∴OE⊥AC，
∴∠AOE＝90°，
∴OE2，
∴S△ACEAC OE8×28，
∴△ACE的面积是8．
【点评】此题重点考查平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
12．（2024秋 鄠邑区期末）已知：如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD，AC相交于点O，点E，F分别在BD，DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，AF，CF，CE．
（1）求证：四边形AFCE为平行四边形；
（2）若AC平分∠EAF，∠AEC＝60°，OA＝4，求四边形AFCE的周长．
【考点】平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解答；
（2）四边形AFCE周长是32．
【分析】（1）由平行四边形的性质得OD＝OB，OA＝OC，而DE＝BF，所以OE＝OF，即可证明四边形AFCE是平行四边形；
（2）由∠EAC＝∠FAC，∠ECA＝∠FAC，推导出∠EAC＝∠ECA，则AE＝CE，所以四边形AFCE是菱形，而∠AEC＝60°，则△EAC是等边三角形，所以AE＝AC＝8，即可求得四边形AFCE周长是32．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OD＝OB，
∵DE＝BF，
∴OD+DE＝OB+BF，
∴OE＝OF，
∵OA＝OC，
∴四边形AFCE为平行四边形．
（2）解：∵AC平分∠EAF，
∴∠EAC＝∠FAC，
∵四边形AFCE为平行四边形，OA＝4，
∴CE∥AF，OC＝OA＝4，
∴∠ECA＝∠FAC，AC＝4+4＝8，
∴∠EAC＝∠ECA，
∴AE＝CE，
∴四边形AFCE是菱形，
∵∠AEC＝60°，
∴△EAC是等边三角形，
∴AE＝AC＝8，
∴AF+CF+CE+AE＝4AE＝4×8＝32，
∴四边形AFCE周长是32．
【点评】此题重点考查等式的性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、菱形的周长等知识，证明OE＝OF，以及在AC平分∠EAF的条件下证明四边形AFCE为菱形是解题的关键．
13．（2024秋 莱芜区期末）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线EF分别交AD、CB的延长线于点E，F．求证：OE＝OF．
【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】证明见解析．
【分析】根据平行四边形的性质可得AO＝CO，AD∥BC，进而可得∠EAO＝∠FCO，再根据对顶角相等可得∠AOE＝∠COF从而证明△AOE≌△COF，证得结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴得AO＝CO，AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF．
【点评】本题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练运用平行四边形的性质．
14．（2022 绿园区校级一模）如图，在 ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，EF过点O且垂直于AD．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若S ABCD＝63，OE＝3.5，求AD的长．
【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】综合题；几何直观．
【答案】（1）证明见解析；
（2）9．
【分析】（1）运用ASA证明△AEO≌△CFO即可得到结论；
（2）由（1）得EF＝7，再根据平行四边形的面积计算公式求解即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OA＝OC，
∴∠EAO＝∠FCO，
在△AEO和△CFO中，
∵∠EAO＝∠FCO，OA＝OC，∠AOE＝∠COF，
∴△AEO≌△CFO，（ASA）
∴OE＝OF；
（2）解：∵OE＝OF，OE＝3.5，
∴EF＝2OE＝7，
又∵EF⊥AD，
∴S ABCD＝AD×EF＝63，
∴AD＝9．
【点评】本题考查了平行四边形性质，全等三角形的判定的应用，注意：平行四边形的对边平行且相等，平行四边形的对角线互相平分，全等三角形的判定方法有SAS，ASA，AAS，SSS等，本题主要考查了学生运用定理进行推理的能力．
15．（2024 孝南区模拟）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是OA、OC的中点，求证：BE＝DF．
【考点】平行四边形的性质．
【专题】证明题．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据平行四边形的性质对角线互相平分得出OA＝OC，OB＝OD，利用中点的意义得出OE＝OF，从而利用平行四边形的判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定BFDE是平行四边形，从而得出BE＝DF．
【解答】证明：连接BF、DE，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA＝OC，OB＝OD
∵E、F分别是OA、OC的中点
∴OEOA，OFOC
∴OE＝OF
∴四边形BFDE是平行四边形
∴BE＝DF．
【点评】本题考查了平行四边形的基本性质和判定定理的运用．性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
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