【期末专项培优】图形的旋转（含解析）2024-2025学年北师大版数学八年级下册

期末专项培优：图形的旋转
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 海曙区期末）如图，在△ABC中，AC＝2，AB＝4，分别以AC，BC为边向外作正△ACD和正△BCE，连结AE，在△ABC的边BC变化过程中，当AE取最长时，则BC的长为（　　）
A． B． C． D．
2．（2025 柳州一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6．将△ABC绕点C旋转至△A'CB'，使CB'⊥AB，A'B'交边AC于点D，则CD的长是（　　）
A．4 B． C．5 D．6
3．（2024秋 西湖区期末）如图，△ABC绕点A逆时针旋转20°得到△AB′C′，点C恰好落在B′C′上，则∠ACB的度数为（　　）
A．60° B．70° C．80° D．90°
4．（2024秋 东莞市期末）如图，△DEC是△ABC绕点C旋转得到的，∠B＝20°，∠1＝75°，则旋转角的度数是（　　）
A．90° B．85° C．65° D．25°
5．（2024秋 罗定市期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝55°，∠C＝90°，将△ABC绕点A顺时针方向旋转到△AB1C1位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于（　　）
A．55° B．70° C．125° D．145°
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 通河县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB′C′，使点C′落在边AB上，连接BB′，则BB′的长是　 　．
7．（2024秋 浦江县期末）如图，在边长为4的等边△ABC中，D是AC的中点，E是直线BC上一动点，连结BD，DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°，得到线段DF，连结EF，AF．
（1）当点E是线段BC的中点时，EF的长为 　 　．
（2）在点E的运动过程中，线段AF长度最小时，点D到AF的距离为 　 　．
8．（2024秋 浦东新区校级期末）在体育课上，当老师下达口令“向右转”时，右脚正确的动作应是以　 　（填“脚跟”或“脚尖”）为旋转中心，沿着　 　（填“顺”或“逆”）时针方向旋转　 　度．
9．（2024秋 廉江市期末）如图，将△ABC绕着点A逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，且点C恰好成为AD的中点，如果AB＝4cm，那么AE＝ 　 　cm．
10．（2024秋 东西湖区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，点D为边BC上任一点，点F是AC中点，以AD为边作等边△AED，连接EC，则当EC取最小值时，∠FEC＝ 　 　°．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 锦江区校级期末）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）请画出△ABC向左平移4个单位长度后得到的△A1B1C1；
（2）请画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2；
（3）求△ABC的面积．
12．（2024秋 海曙区期末）如图两个网格图都是由相同的小正方形组成的，△ABC和△DEF的顶点都在格点，请按下列要求在相应的网格中作图．
（1）如图1，作△ACP，使△ACP与△ACB关于直线AC对称．
（2）如图2，把△DEF绕点F按顺时针方向旋转90°，作出旋转后所得的△QRF．
13．（2024秋 包河区校级期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△A′BC′．若BC'＝3，AC＝4，求AA′的长．
14．（2024秋 宝山区期末）已知△ABC中，∠ACB＝90°AC＝BC，AB＝8，∠ABC＝∠BAC＝45°，点D在边AB上，BD＝a．
（1）如图1，△CBD绕着点C顺时针方向旋转，点B的对应点E落在射线CD上，点D的对应点F落在边AB上，而点E关于直线CF的对称点恰好是点A，那么DF的长度为　 　（结果用含a的代数式表示）；旋转角的度数为　 　；
（2）如图2，△CBD绕着点C顺时针方向旋转90°后得到△CAG，点B和点D的对应点分别是点A和点G．连接DG，用含a的代数式表示S△ADG．
15．（2024秋 高安市期末）如图，△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到，且点B的对应点D恰好落在BC的延长线上，AD，EC相交于点P．
（1）求∠BDE的度数；
（2）F是EC延长线上的点，且∠CDF＝∠DAC．判断DF和PF的数量关系，并证明．
期末专项培优：图形的旋转
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5
答案 A C C B C
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 海曙区期末）如图，在△ABC中，AC＝2，AB＝4，分别以AC，BC为边向外作正△ACD和正△BCE，连结AE，在△ABC的边BC变化过程中，当AE取最长时，则BC的长为（　　）
A． B． C． D．
【考点】旋转的性质；三角形三边关系；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】A
【分析】先证明△ACE和△DCB全等，再根据全等三角形的性质得到AE＝BD，根据勾股定理求出CF，结合三角形三边关系，得A、B、D三点共线时，BD最大，画出图形，由勾股定理即可求得BC．
【解答】解：如图1，连接BD，
∵△ACD和△BCE是等边三角形，
∴CE＝CB，CA＝CD＝2，∠ACD＝∠BCE＝60°，
∴∠ACD+∠ACB＝∠BCE+∠ACB，
∴∠ACE＝∠DCB，
在△ACE和△DCB中，
，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE＝BD，
∴当点D在AB延长线上时，BD最大，此时BD＝AB+AD＝4+2＝6，即AE的最大值为6，
如图2，过C作CF⊥AB交AB延长线于点F，
∵AC＝DC＝AD＝2，
∴DF＝AFAD＝1，
∴CFAF，
∵AB＝4，
∴BF＝AB+AF＝4+1＝5，
∴BC2，
故选：A．
【点评】本题主要考查的是旋转的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、勾股定理，证明△ACE≌△DCB以及由三角形三边关系得A、B、D三点共线时，BD最大是解题的关键．
2．（2025 柳州一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6．将△ABC绕点C旋转至△A'CB'，使CB'⊥AB，A'B'交边AC于点D，则CD的长是（　　）
A．4 B． C．5 D．6
【考点】旋转的性质．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】C
【分析】根据旋转的性质可以得到∠B＝∠B′，然后利用CB'⊥AB证明∠B＝∠ACB′，由此即可证明D为A′B′的中点解决问题．
【解答】解：∵将△ABC绕点C旋转至△A'CB'，
∴∠B＝∠B′，A′B′＝AB，∠A′CB′＝∠ACB＝90°，
∵CB'⊥AB，
∴∠B+∠BCB′＝∠BCB′+∠ACB′＝90°，
∴∠B＝∠ACB′，
∴∠ACB′＝∠B′，
∴CD＝DB′，
而∠A′+∠B′＝∠ACB′+∠A′CD＝90°，
∴∠A′＝∠A′CD，
∴DA′＝DC，
∴DA′＝DC＝DB′A′B′AB10＝5．
故选：C．
【点评】此题主要考查了旋转的性质，同时也利用了勾股定理及直角三角形的性质，解题的关键熟练利用旋转和直角三角形的性质．
3．（2024秋 西湖区期末）如图，△ABC绕点A逆时针旋转20°得到△AB′C′，点C恰好落在B′C′上，则∠ACB的度数为（　　）
A．60° B．70° C．80° D．90°
【考点】旋转的性质．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】C
【分析】根据旋转的性质得出∠CAC'＝20°，AC＝AC'，∠ACB＝∠C'，即可推出结果．
【解答】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转20°得到△AB′C′，
∴∠CAC'＝20°，AC＝AC'，∠ACB＝∠C'，
∴∠ACB＝∠C'80°，
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质，熟记旋转的性质是解题的关键．
4．（2024秋 东莞市期末）如图，△DEC是△ABC绕点C旋转得到的，∠B＝20°，∠1＝75°，则旋转角的度数是（　　）
A．90° B．85° C．65° D．25°
【考点】旋转的性质；三角形内角和定理．
【专题】三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】先确定∠BCE为旋转角，再由∠B＝20°，∠1＝75°，根据三角形内角和定理求得∠BCE＝85°，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵△DEC是△ABC绕点C旋转得到的，
∴∠BCE为旋转角，
∵∠B＝20°，∠1＝75°，
∴∠BCE＝180°﹣∠B﹣∠1＝180°﹣20°﹣75°＝85°，
∴旋转角的度数是85°，
故选：B．
【点评】此题重点考查旋转的性质、三角形内角和定理等知识，正确理解旋转角的定义是解题的关键．
5．（2024秋 罗定市期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝55°，∠C＝90°，将△ABC绕点A顺时针方向旋转到△AB1C1位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于（　　）
A．55° B．70° C．125° D．145°
【考点】旋转的性质．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】C
【分析】首先根据点C、A、B1在同一条直线上，得到∠CAB1＝180°，然后利用邻补角互补求解即可．
【解答】解：∵∠CAB1＝180°，
∵∠BAC＝55°，
∴∠BAB1＝180°﹣∠BAC＝125°．
故选：C．
【点评】此题考查旋转的性质，解题的关键是掌握以上知识点．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 通河县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB′C′，使点C′落在边AB上，连接BB′，则BB′的长是　2　．
【考点】旋转的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】2．
【分析】由∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC，得AB＝2AC＝2，则BC3，由旋转得AC′＝AC，B′C′＝BC＝3，∠AC′B′＝∠C＝90°，则BC′＝AB﹣AC′，∠BC′B′＝90°，所以BB′2，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC，
∴AB＝2AC＝2，
∴BC3，
∵将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB′C′，使点C′落在边AB上，
∴AC′＝AC，B′C′＝BC＝3，∠AC′B′＝∠C＝90°，
∴BC′＝AB﹣AC′＝2，∠BC′B′＝90°，
∴BB′2，
故答案为：2．
【点评】此题重点考查旋转的性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，正确地求出BC的长及BC′的长是解题的关键．
7．（2024秋 浦江县期末）如图，在边长为4的等边△ABC中，D是AC的中点，E是直线BC上一动点，连结BD，DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°，得到线段DF，连结EF，AF．
（1）当点E是线段BC的中点时，EF的长为 　2　．
（2）在点E的运动过程中，线段AF长度最小时，点D到AF的距离为 　　．
【考点】旋转的性质；垂线段最短；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】（1）2；（2）．
【分析】（1）利用这就是细节斜边中线的性质求出DE＝2，再利用勾股定理求解；
（2）如图，过点D作DM⊥BC于点M，将线段DM绕点D逆时针旋转90°得到线段DN，连接NM．证明△DME≌△DNF（SAS），推出∠DME＝∠DNF＝90°，推出点F的运动轨迹是直线FN，过点A作AF′⊥FN于点F′，过点D作DJ⊥AF′于点J．求出DJ即可．
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，D是AC的中点，
∴BD⊥AC，
∵BE＝CE，
∴DE＝DFBC＝2，
∴EF2．
故答案为：；
（2）如图，过点D作DM⊥BC于点M，将线段DM绕点D逆时针旋转90°得到线段DN，连接NM．
∵△ABC是等边三角形，D是AC的中点，
∴AD＝DC＝2，∠C＝60°，
∵DM⊥BC，
∴∠DMC＝90°，
∴∠CDM＝30°，
∴CMCD＝1，
∴DM，
∵∠EDF＝∠MDN＝90°，
∴∠EDM＝∠FDN，
∵DE＝DF，DM＝DN，
∴△DME≌△DNF（SAS），
∴∠DME＝∠DNF＝90°，
∵DM＝DM定值，
∴点F的运动轨迹是直线FN，
过点A作AF′⊥FN于点F′，过点D作DJ⊥AF′于点J．
根据此线段最短可知当点F与F′重合时，AF的值最小，
∵∠AJD＝90°，∠ADJ＝∠CDM＝30°，
∴AJAD＝1，
∴DJ，
∴线段AF长度最小时，点D到AF的距离为．
故答案为：．
【点评】本题考查旋转的性质，垂线段最短，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
8．（2024秋 浦东新区校级期末）在体育课上，当老师下达口令“向右转”时，右脚正确的动作应是以　脚跟　（填“脚跟”或“脚尖”）为旋转中心，沿着　顺　（填“顺”或“逆”）时针方向旋转　90　度．
【考点】生活中的旋转现象；钟面角．
【专题】平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】脚跟；顺；90．
【分析】根据旋转的相关概念，结合生活经验即可解答．
【解答】解：在体育课上，当老师下达口令“向右转”时，右脚正确的动作应是以脚跟为旋转中心，沿着顺时针方向旋转90度．
故答案为：脚跟；顺；90．
【点评】本题考查了旋转的相关概念，掌握旋转的相关概念，结合生活经验解决问题是解题的关键．
9．（2024秋 廉江市期末）如图，将△ABC绕着点A逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，且点C恰好成为AD的中点，如果AB＝4cm，那么AE＝ 　2　cm．
【考点】旋转的性质．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观；推理能力．
【答案】2．
【分析】根据旋转的性质得出AE＝AC，AD＝AB＝4cm，根据中点的定义可得，则AE＝AC＝2cm．
【解答】解：∵将△ABC绕着点A逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，且点C恰好成为AD的中点，
∴AE＝AC，AD＝AB＝4cm，
∴，
∴AE＝AC＝2cm．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，熟练掌握旋转前后对应边相等是解题的关键．
10．（2024秋 东西湖区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，点D为边BC上任一点，点F是AC中点，以AD为边作等边△AED，连接EC，则当EC取最小值时，∠FEC＝ 　30　°．
【考点】旋转的性质；垂线段最短；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】30．
【分析】由SAS可证△ACE≌△AHD，可得EC＝DH，当DH有最小值时，EC有最小值，则当HD⊥BC时，DH有最小值，由全等三角形的性质可得EC＝HD＝CH，∠AHD＝∠ACE＝120°，即可求解．
【解答】解：取点AB的中点H，连接DH，
∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝60°，AB＝2AC，
∵点H是AB的中点，
∴AH＝BHAB，
∴AH＝AC＝BH，
∵△ABD是等边三角形，
∴AE＝AD，∠DAE＝60°＝∠BAC，
∴∠CAE＝∠DAH，
∴△ACE≌△AHD（SAS），
∴EC＝DH，
∴当DH有最小值时，EC有最小值，
则当HD⊥BC时，DH有最小值，
如图，
∵HD⊥BC，∠B＝30°，
∴∠AHD＝120°，BH＝2HD，
∵点F是AC的中点，
∴AC＝2CF，
∴CH＝HD，
∵△ACE≌△AHD，
∴EC＝HD＝CH，∠AHD＝∠ACE＝120°，
∴∠FEC＝30°，
故答案为：30．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 锦江区校级期末）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）请画出△ABC向左平移4个单位长度后得到的△A1B1C1；
（2）请画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2；
（3）求△ABC的面积．
【考点】作图﹣旋转变换；作图﹣平移变换．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观；运算能力．
【答案】（1）见解答．
（2）见解答．
（3）．
【分析】（1）根据平移的性质作图即可．
（2）根据中心对称的性质作图即可．
（3）利用割补法求三角形的面积即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
（3）△ABC的面积为．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换、作图﹣平移变换，熟练掌握中心对称的性质、平移的性质是解答本题的关键．
12．（2024秋 海曙区期末）如图两个网格图都是由相同的小正方形组成的，△ABC和△DEF的顶点都在格点，请按下列要求在相应的网格中作图．
（1）如图1，作△ACP，使△ACP与△ACB关于直线AC对称．
（2）如图2，把△DEF绕点F按顺时针方向旋转90°，作出旋转后所得的△QRF．
【考点】作图﹣旋转变换；作图﹣轴对称变换．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】（1）见解答．
（2）见解答．
【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可．
（2）根据旋转的性质作图即可．
【解答】解：（1）如图1，△ACP即为所求．
（2）如图2，△QRF即为所求．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换、作图﹣轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质、旋转的性质是解答本题的关键．
13．（2024秋 包河区校级期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△A′BC′．若BC'＝3，AC＝4，求AA′的长．
【考点】旋转的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】AA′＝5．
【分析】由旋转的性质可得AB＝A′B，∠ABA′＝60°，BC＝BC′＝3，可证△ABA′是等边三角形，可得AB＝AA′，由勾股定理可求解．
【解答】解：∵将△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△A′BC′，
∴AB＝A′B，∠ABA′＝60°，BC＝BC′＝3，
∴△ABA′是等边三角形，
∴AB＝AA′，
∵∠C＝90°，
∴，
∴AA′＝AB＝5．
【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，掌握旋转的性质是解题的关键．
14．（2024秋 宝山区期末）已知△ABC中，∠ACB＝90°AC＝BC，AB＝8，∠ABC＝∠BAC＝45°，点D在边AB上，BD＝a．
（1）如图1，△CBD绕着点C顺时针方向旋转，点B的对应点E落在射线CD上，点D的对应点F落在边AB上，而点E关于直线CF的对称点恰好是点A，那么DF的长度为　8﹣2a　（结果用含a的代数式表示）；旋转角的度数为　30°　；
（2）如图2，△CBD绕着点C顺时针方向旋转90°后得到△CAG，点B和点D的对应点分别是点A和点G．连接DG，用含a的代数式表示S△ADG．
【考点】旋转的性质；列代数式；轴对称的性质．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】（1）8﹣2a，30°；
（2）．
【分析】（1）根据旋转与轴对称的性质先判断∠BCE＝∠ECF＝∠ACF＝30°，可得旋转角，再证明△ABC是轴对称图形，△CDF是轴对称图形，进一步可得DF的长度；
（2）由旋转可得：CD＝CG，∠DCG＝∠ACB＝90°，∠B＝∠CAG＝45°，BD＝AG＝a，证明∠BAG＝90°，求解AD＝8﹣a，再进一步求解三角形的面积即可．
【解答】解：（1）∵△CBD绕着点C顺时针方向旋转，点B的对应点E落在射线CD上，点D的对应点F落在边AB上，而点E关于直线CF的对称点恰好是点A，
∴∠BCE＝∠ECF＝∠ACF，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCE＝∠ECF＝∠ACF＝30°，
∴旋转角是30°，
∵AC＝BC，∠ABC＝∠CAB＝45°，
∴△ABC是轴对称图形，由旋转可得：CD＝CF，
∴△CDF是轴对称图形，
∴BD＝AF＝a，
∵AB＝8，
∴DF＝8﹣2a；
故答案为：8﹣2a，30°；
（2）由旋转可得：CD＝CG，∠DCG＝∠ACB＝90°，∠B＝∠CAG＝45°，BD＝AG＝a，
∵∠CAB＝45°，
∴∠BAG＝90°，
∵AB＝8，
∴AD＝8﹣a，
∴S△ADGa（8﹣a）．
【点评】本题考查的是轴对称的性质，旋转的性质，整式的乘法运算；
15．（2024秋 高安市期末）如图，△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到，且点B的对应点D恰好落在BC的延长线上，AD，EC相交于点P．
（1）求∠BDE的度数；
（2）F是EC延长线上的点，且∠CDF＝∠DAC．判断DF和PF的数量关系，并证明．
【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据旋转的性质可得AB＝AD，∠BAD＝90°，∠ADE＝∠B＝45°，从而得出答案；
（2）利用三角形的外角等于不相邻的两个内角和即可说明∠FPD＝∠FDP，从而DF＝PF．
【解答】解：（1）由旋转的性质可知，AB＝AD，∠BAD＝90°，
在Rt△ABD中，∠B＝∠ADB＝45°，
∴∠ADE＝∠B＝45°，
∴∠BDE＝∠ADB+∠ADE＝90°．
（2）DF＝PF．理由如下：
由旋转的性质可知，AC＝AE，∠CAE＝90°，
在Rt△ACE中，∠ACE＝∠AEC＝45°，
∵∠CDF＝∠CAD，∠ACE＝∠ADB＝45°，
∴∠ADB+∠CDF＝∠ACE+∠CAD，
即∠FPD＝∠FDP，
∴DF＝PF．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)