【中考押题卷】2025年北师大版中考数学考前冲刺：垂径定理（含解析）

中考押题卷：垂径定理
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 仪征市期末）如图，AB是⊙O的弦，C是AB的三等分点，连接OC并延长交⊙O于点D．若OC＝3，CD＝2，则圆心O到弦AB的距离是（　　）
A．6 B．9 C． D．25﹣3
2．（2025 柳州一模）某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为3.5cm，AB＝3cm，CD＝4cm．请你帮忙计算纸杯杯底的直径为（　　）
A．4.8cm B．5cm C．5.2cm D．6cm
3．（2024秋 西湖区期末）如图，在⊙O中，弦AB＝8，半径OC⊥AB于点D，OD＝3，则⊙O的半径为（　　）
A． B． C． D．5
4．（2024秋 白云区期末）唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB长4m，轮子的吃水深度CD为1m，则该桨轮船的轮子直径为（　　）
A． B．4m C．5m D．6m
5．（2024秋 滨湖区期末）桥是江南水乡重要的城市景观．如图，古运河上建有一座石拱桥，已知桥拱半径OC为5m，面宽AB为，则石拱桥的拱顶到水面的距离CD为（　　）
A． B．6m C． D．7m
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 金湾区期末）如图，在⊙O中，圆心O到弦AB的距离OC为1，AB＝4，则⊙O的半径OA长为 　 　．
7．（2024秋 碑林区校级期末）王师傅要测量一个如图所示的残缺圆形工件的半径，因为无法直接测量，所以王师傅这样操作：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交于点C，测出AB＝40cm，CD＝10cm，便可求出该工件的半径，则该圆形工件的半径为 　 　cm．
8．（2024秋 温州期末）某大门是轴对称图形，由矩形与哥特式尖拱组成（如图1），图2是其设计图，尖拱部分是两条等弧，圆心均落在直线AB上，圆弧的半径为米，CD＝4米．过拱尖P作PN⊥CD分别交AB，CD于点M，N．若，则高PN等于 　 　米．
9．（2024秋 惠州期末）如图1，水车又称孔明车，是我国最古老的农业灌溉工具，是珍贵的历史文化遗产．如图2，圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为8米，半径为5米，则圆心O到水面AB的距离为 　 　米．
10．（2024秋 通州区期末）图1为一个装有液体的圆底烧瓶（厚度忽略不计），侧面示意图如图2，其液体水平宽度AB为16cm，竖直高度CD为4cm，则⊙O的半径为　 　cm．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 合川区期末）如图，OA＝OB，AB交⊙O于点C，D，OE是半径，且OE⊥AB于点F．
（1）若CD＝5，，求⊙O的半径．
（2）求证：AC＝BD．
12．（2024秋 四会市期末）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB，点O是这段弧的圆心，AB＝300m，C是上一点，OC⊥AB，垂足为D，CD＝45m，求这段公路的半径．
13．（2024秋 雁塔区校级期末）HUAWEIMate60pro手机完成了核心技术领域从0到1的跃迁，让无数国人为之自豪并被赞誉为“争气机”．手机背面有一条圆弧，象征着以山河之美致敬奔腾不息的力量．圆弧对应的弦AB长60mm，弓形高CD长10mm，求半径OA的长．
14．（2024秋 莱阳市期末）如图，AD是⊙O的直径，将弧AB沿弦AB折叠后，弧AB刚好经过圆心O，若BD＝6，求⊙O的半径．
15．（2024秋 麻章区期末）某村为了促进农村经济发展，建设了蔬菜基地，新建了一批蔬菜大棚．如图是蔬菜大棚的截面，形状为圆弧型，圆心为O，跨度AB（弧所对的弦）的长为8米，拱高CD（弧的中点到弦的距离）为2米．
（1）求该圆弧所在圆的半径；
（2）在修建过程中，在距蔬菜大棚的一端（点B）1米处将竖立支撑杆EF，求支撑杆EF的高度．
中考押题卷：垂径定理
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 仪征市期末）如图，AB是⊙O的弦，C是AB的三等分点，连接OC并延长交⊙O于点D．若OC＝3，CD＝2，则圆心O到弦AB的距离是（　　）
A．6 B．9 C． D．25﹣3
【考点】垂径定理；勾股定理．
【专题】计算题．
【答案】C
【分析】过圆心O作弦的垂线，垂足为G，得到Rt△OBG和Rt△OCG，在这两个三角形中用勾股定理计算可以求出OG的值，也就是圆心到弦的距离．
【解答】解：如图：过O作OG⊥AB于G，根据垂径定理有：AG＝BG，
设AC＝2a，则CB＝4a，CG＝a，GB＝3a，
在Rt△OCG中，OC2＝OG2+CG2＝OG2+a2①
在Rt△OBG中，OB2＝OG2+GB2＝OG2+9a2②
又OC＝3，OB＝5，代入①②中，解方程得：a2＝2，OG2＝7．
所以圆心到弦的距离是．
故选：C．
【点评】本题考查的是垂径定理，过圆心作圆的垂线，得到直角三角形，运用勾股定理计算可以求出圆心到弦的距离．
2．（2025 柳州一模）某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为3.5cm，AB＝3cm，CD＝4cm．请你帮忙计算纸杯杯底的直径为（　　）
A．4.8cm B．5cm C．5.2cm D．6cm
【考点】垂径定理；勾股定理．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】B
【分析】由垂径定理求出BN，CM的长，设ON＝x，由勾股定理得到（3.5﹣x）2+22＝x2+1.52，求出x的值，得到ON的长，由勾股定理求出OB长，即可求出纸杯的直径长．
【解答】解：如图，MN⊥AB，MN过圆心O，连接OC，OB，
∴MN＝3.5cm，
∵AB∥CD，
∴MN⊥CD，
∴，，
设ON＝x cm，
∴OM＝MN﹣ON＝（3.5﹣x）cm，
∵OM2+MC2＝OC2，ON2+BN2＝OB2，
∴OM2+MC2＝ON2+BN2，
∴（3.5﹣x）2+22＝x2+1.52，
∴12.25﹣7x+x2+4＝x2+2.25，
∴7x＝14，
∴x＝2，
∴ON＝2（cm），
∴，
∴纸杯的直径为2.5×2＝5（cm）．
故选：B．
【点评】本题考查垂径定理的应用，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．
3．（2024秋 西湖区期末）如图，在⊙O中，弦AB＝8，半径OC⊥AB于点D，OD＝3，则⊙O的半径为（　　）
A． B． C． D．5
【考点】垂径定理；勾股定理．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】D
【分析】利用垂径定理，勾股定理求解即可．
【解答】解：∵OC⊥AB，
∴AD＝DBAB＝4，
∵OD＝3，
∴OB5．
故选：D．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
4．（2024秋 白云区期末）唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB长4m，轮子的吃水深度CD为1m，则该桨轮船的轮子直径为（　　）
A． B．4m C．5m D．6m
【考点】垂径定理的应用；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的位置关系；推理能力；应用意识．
【答案】C
【分析】设该桨轮船的轮子半径为r，在Rt△AOD中，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解．
【解答】解：∵AB＝4，OC⊥AB，
∴AD＝DBAB＝2m，
设该桨轮船的轮子半径为r m，
在Rt△AOD中，AO2＝OD2+AD2
即r2＝（r﹣1）2+22，
解得：，
∴该桨轮船的轮子直径为2＝5（m），
故选：C．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
5．（2024秋 滨湖区期末）桥是江南水乡重要的城市景观．如图，古运河上建有一座石拱桥，已知桥拱半径OC为5m，面宽AB为，则石拱桥的拱顶到水面的距离CD为（　　）
A． B．6m C． D．7m
【考点】垂径定理的应用；勾股定理．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】B
【分析】连接OA，利用垂径定理求出AD，再利用勾股定理求出OD即可．
【解答】解：如图，连接OA．
∵OD⊥AB，
AD＝DBAB2（m），
∵OA＝OC＝5m，
∴OD1（m），
∴CD＝OC+OD＝5+1＝6（m）．
故选：B．
【点评】本题考查垂径定理的应用，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 金湾区期末）如图，在⊙O中，圆心O到弦AB的距离OC为1，AB＝4，则⊙O的半径OA长为 　　．
【考点】垂径定理；勾股定理．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】．
【分析】先根据垂径定理得到AC＝Bc＝2，然后根据勾股定理计算出OA的长即可．
【解答】解：∵OC为圆心O到弦AB的距离，
∴OC⊥AB，
∴AC＝BCAB＝2，
在Rt△AOC中，∵OC＝1，AC＝2，
∴OA．
故答案为：．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
7．（2024秋 碑林区校级期末）王师傅要测量一个如图所示的残缺圆形工件的半径，因为无法直接测量，所以王师傅这样操作：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交于点C，测出AB＝40cm，CD＝10cm，便可求出该工件的半径，则该圆形工件的半径为 　25　cm．
【考点】垂径定理的应用；线段垂直平分线的性质；勾股定理的应用．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】25．
【分析】取圆心点O，连接OA．设圆O的半径为r cm，则OA＝OC＝r cm．根据垂径定理求出AD，将含r的代数式将OD表示出来，在Rt△ADO中利用勾股定理列关于r的方程并求解即可．
【解答】解：如图，取圆心点O，连接OA．
设圆O的半径为r cm，则OA＝OC＝r cm．
∵AB⊥OC，AB＝40cm，
∴ADAB＝20cm，
∵CD＝10cm，
∴OD＝OC﹣CD＝（r﹣10）cm，
在Rt△ADO中利用勾股定理，得AD2+OD2＝OA2，
∴202+（r﹣10）2＝r2，
∴r＝25，
∴该圆形工件的半径为25cm．
故答案为：25．
【点评】本题考查垂径定理、线段垂直平分线的性质、勾股定理的应用，掌握垂径定理、线段垂直平分线的性质、勾股定理是解题的关键．
8．（2024秋 温州期末）某大门是轴对称图形，由矩形与哥特式尖拱组成（如图1），图2是其设计图，尖拱部分是两条等弧，圆心均落在直线AB上，圆弧的半径为米，CD＝4米．过拱尖P作PN⊥CD分别交AB，CD于点M，N．若，则高PN等于 　8　米．
【考点】垂径定理的应用；轴对称图形；矩形的性质．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】8．
【分析】设的圆心为O，连接PO，则米，由轴对称得，AM＝2米，得米，由勾股定理求出PM＝3米，得MN＝5米，即得PN＝8米．
【解答】解：设的圆心为O，连接PO，
则米，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝4米，
由轴对称知，米，
∴米，
∵PM⊥AB，
∴∠PMO＝90°，
∴米，
∵，
∴MN＝5米，
∴PN＝8米，
故答案为：8．
【点评】本题考查了圆的基本性质，矩形性质，轴对称性质，勾股定理．熟练掌握，是解题的关键．
9．（2024秋 惠州期末）如图1，水车又称孔明车，是我国最古老的农业灌溉工具，是珍贵的历史文化遗产．如图2，圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为8米，半径为5米，则圆心O到水面AB的距离为 　3　米．
【考点】垂径定理的应用；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】过O作OC⊥AB于D，连接OA，由垂径定理得AD＝BDAB＝4（米），然后在Rt△AOD中，由勾股定理求出OD的长即可．
【解答】解：过O作OC⊥AB于D，连接OA，如图所示：
则AD＝BDAB＝4（米），
在Rt△AOD中，由勾股定理得：OD3（米），
即圆心O到水面AB的距离为3米，
故答案为：3．
【点评】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
10．（2024秋 通州区期末）图1为一个装有液体的圆底烧瓶（厚度忽略不计），侧面示意图如图2，其液体水平宽度AB为16cm，竖直高度CD为4cm，则⊙O的半径为　10　cm．
【考点】垂径定理的应用．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【答案】10．
【分析】由垂径定理得到，设⊙O的半径为x cm，则OA＝OC＝x cm，OD＝OC﹣CD＝x﹣4（cm），在△AOD中，根据勾股定理有AD2+OD2＝OA2，代入即可解答．
【解答】解：连接AO，
∵OC⊥AB，
∴，
设⊙O的半径为x cm，则OA＝OC＝x cm，
∴OD＝OC﹣CD＝（x﹣4）（cm），
∵在△AOD中，AD2+OD2＝OA2，
即82+（x﹣4）2＝x2，
解得：x＝10，
∴⊙O的半径为10cm．
故答案为：10．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握垂径定理以及勾股定理的运用．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 合川区期末）如图，OA＝OB，AB交⊙O于点C，D，OE是半径，且OE⊥AB于点F．
（1）若CD＝5，，求⊙O的半径．
（2）求证：AC＝BD．
【考点】垂径定理；勾股定理．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】（1）；
（2）见解析．
【分析】（1）由垂径定理得，设CO＝r，由勾股定理得CF2+OF2＝OC2，即可求解；
（2）由等腰三角形的性质得AF＝BF，即可得证．
【解答】（1）解：由题意可得：，
设CO＝r，
则，
∵CF2+OF2＝OC2，
∴，
∴，
∴⊙O的半径为；
（2）证明：∵OA＝OB，OF⊥AB，
∴AF＝BF，
由（1）得CF＝DF，
∴AF﹣CF＝BF﹣DF，
∴AC＝BD．
【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，能熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键．
12．（2024秋 四会市期末）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB，点O是这段弧的圆心，AB＝300m，C是上一点，OC⊥AB，垂足为D，CD＝45m，求这段公路的半径．
【考点】垂径定理的应用．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】由OC⊥AB，根据垂径定理得，AD＝BDAB，又OD＝r﹣CD，所以，在Rt△AOD中，根据勾股定理可得，AO2＝AD2+OD2，代入数值解答出即可．
【解答】解：如图，设半径为r，则OD＝r﹣CD＝r﹣45，
∵OC⊥AB，
∴AD＝BDAB，
∴在Rt△AOD中，AO2＝AD2+OD2，
即r2＝（ 300）2+（r﹣45）2＝22500+r2﹣90r+2025，
90r＝24525，
解得，r＝272.5m．
答：这段弯路的半径是272.5m．
【点评】本题考查了垂径定理及勾股定理的应用，在利用数学知识解决实际问题时，要善于把实际问题与数学中的理论知识联系起来，能将生活中的问题抽象为数学问题．
13．（2024秋 雁塔区校级期末）HUAWEIMate60pro手机完成了核心技术领域从0到1的跃迁，让无数国人为之自豪并被赞誉为“争气机”．手机背面有一条圆弧，象征着以山河之美致敬奔腾不息的力量．圆弧对应的弦AB长60mm，弓形高CD长10mm，求半径OA的长．
【考点】垂径定理的应用；勾股定理．
【专题】与圆有关的计算；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意，设半径OA＝r mm，则OD＝（r﹣10）mm，利用勾股定理建立方程求解即可．
【解答】解：设半径OA的长为r mm，
∴OA＝OC＝OB＝r mm，
∵弓形高CD＝10mm，
∴OC⊥AB，OD＝（r﹣10）mm，
∴AD＝BDAB，
∵AB＝60mm，
∴，
在Rt△OAD中，OA2＝OD2+AD2，即r2＝（r﹣10）2+302，
解得r＝50mm．
答：半径OA的长为50mm．
【点评】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，熟练掌握“垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧”是解题关键．
14．（2024秋 莱阳市期末）如图，AD是⊙O的直径，将弧AB沿弦AB折叠后，弧AB刚好经过圆心O，若BD＝6，求⊙O的半径．
【考点】垂径定理；翻折变换（折叠问题）．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【答案】6．
【分析】过点O作OH⊥AB于点H，交于点M，连接AM，如图，根据折叠的性质得到AB垂直平分OM，所以AO＝AM，再判断△AOM为等边三角形得到∠AOM＝60°，接着根据垂径定理得到AH＝BH，然后证明OH是△ABD的中位线得到OHBD＝3，最后利用含30度角的直角三角形三边的关系得到OA的长即可．
【解答】解：过点O作OH⊥AB于点H，交于点M，连接AM，如图，
∵弧AB沿弦AB折叠后，弧AB刚好经过圆心O，
∴AB垂直平分OM，
∴AO＝AM，
∴AM＝OM＝AO，
∴△AOM为等边三角形，
∴∠AOM＝60°，
∵OH⊥AB，
∴AH＝BH，
∵OA＝OD，
∴OH是△ABD的中位线，
∴OHBD＝3，
∴OA＝2OH＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查的是垂径定理，翻折变换，熟知垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
15．（2024秋 麻章区期末）某村为了促进农村经济发展，建设了蔬菜基地，新建了一批蔬菜大棚．如图是蔬菜大棚的截面，形状为圆弧型，圆心为O，跨度AB（弧所对的弦）的长为8米，拱高CD（弧的中点到弦的距离）为2米．
（1）求该圆弧所在圆的半径；
（2）在修建过程中，在距蔬菜大棚的一端（点B）1米处将竖立支撑杆EF，求支撑杆EF的高度．
【考点】垂径定理的应用．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据垂径定理的推论得到圆心O在DC的延长线上，设⊙O的半径为r米，则OC＝（r﹣2）米．由垂径定理得到CA＝4米．在Rt△OAC中，由勾股定理得AC2+OC2＝AO2，得到方程，解方程即可求出该圆弧所在圆的半径；
（2）过F点作FH⊥CD于H点，连OF，先求出CE＝3，证明四边形EFHC为矩形，则FH＝CE＝3．在Rt△OFH中，，求出HC＝1．根据四边形EFHC为矩形即可得到答案．
【解答】解：（1）∵AB垂直平分CD，
∴圆心O在DC的延长线上．
设⊙O的半径为r米，则OC＝（r﹣2）米．
∵OD⊥AB，
∴（米）．
在Rt△OAC中，
由勾股定理得：AC2+OC2＝AO2，
即42+（r﹣2）2＝r2，
解得r＝5．
即该圆弧所在圆的半径为5米；
（2）过F点作FH⊥CD于H点，连接OF．
∵BE＝1米，
∴CE＝4﹣1＝3（米）．
∵∠FHC＝∠HCE＝∠CEF＝90°，
∴四边形EFHC为矩形，
∴FH＝CE＝3，EF＝HC，
在Rt△OFH中，（米）．
∵OC＝3米，
∴HC＝1米．
∴EF＝HC＝1米．
即支撑杆EF的高度为1米．
【点评】此题考查了矩形判定和性质、勾股定理、垂径定理的应用，关键是矩形判定定理的应用．
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