【中考押题卷】2025年北师大版中考数学考前冲刺：切线长定理（含解析）

中考押题卷：切线长定理
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 西山区校级期末）如图，AD，AE分别是⊙O的切线，D，E为切点，BC切⊙O于F，交AD，AE于点B，C．若AD＝6，则△ABC的周长是（　　）
A．6 B．12 C．8 D．16
2．（2024 城中区校级一模）如图，四边形ABCD外切于⊙O，且AB＝10，CD＝15，则四边形ABCD的周长为（　　）
A．60 B．55 C．45 D．50
3．（2023秋 绥化期末）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝8，则△PCD的周长为（　　）
A．8 B．12 C．16 D．20
4．（2023秋 邻水县期末）如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝12，则四边形ABCD的周长为（　　）
A．44 B．42 C．46 D．47
5．（2023秋 鄂伦春自治旗校级月考）如图，PA，PB为⊙O的两条切线，C，D切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C，D．F为⊙O上的点，连接AF，BF，若PA＝5，∠P＝40°，则△PCD的周长和∠AFB的度数分别为（　　）
A．10，40° B．10，80° C．15，70° D．10，70°
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 林州市期中）如图，一圆内切于四边形ABCD，且AB＝10，CD＝8，则四边形的周长为　 　．
7．（2024秋 西城区校级期中）如图，过圆外一点A作⊙O的切线AB，AC，切点分别是B，C，连接BC．过上一点D作⊙O的切线，分别交AB，AC于点E，F．若∠A＝90°，△AEF的周长为4，则BC的长为 　 　．
8．（2024 凉州区三模）如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，PA＝10cm，C是劣弧AB上的点（不与点A、B重合），过点C的切线分别交PA、PB于点E、F．则△PEF的周长为　 　cm．
9．（2024秋 大连期中）如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB＝8，AC＝5，则BD的长为 　 　．
10．（2024秋 莒县期中）如图，以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交AD边于点E，若△CDE的周长为12，则直角梯形ABCE周长为 　 　．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 东胜区期中）如图，AB为⊙O的直径，过圆外一点E作⊙O的两条切线EC，EB，切点分别为点D，B，EC交BA的延长线于点C，连接OE，AD．
（1）AD与OE有怎样的位置关系？并说明理由；
（2）若EB＝6，CD＝4，求⊙O的半径．
12．（2022秋 任城区校级月考）如图，圆O是边长为6的正方形ABCD的内切圆，EF切圆O于P点，交AB、BC于点E，F，求△BEF的周长．
13．（2022 惠水县模拟）如图，AB为圆O直径，∠DAB＝∠ABC＝90°，CD与圆O相切于点E，EF⊥AB于点F，EF交BD于点G，若AD＝2，BC＝6．
（1）求CD的长度．
（2）求EG的长度．
（3）求FB的长度．
14．（2021秋 高安市期末）如图，PA、PB、CD是⊙O的切线，点A、B、E为切点．
（1）如果△PCD的周长为10，求PA的长；
（2）如果∠P＝40°，
①求∠COD；
②连AE，BE，求∠AEB．
15．（2021 滨海县一模）如图，PA、PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，△PCD的周长为12，∠APB＝60°．求：
（1）PA的长；
（2）∠COD的度数．
中考押题卷：切线长定理
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 西山区校级期末）如图，AD，AE分别是⊙O的切线，D，E为切点，BC切⊙O于F，交AD，AE于点B，C．若AD＝6，则△ABC的周长是（　　）
A．6 B．12 C．8 D．16
【考点】切线长定理．
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】B
【分析】先利用切线长定理AD＝AE，BD＝BF，CF＝CE，然后利用等线段代换得到△ABC的周长＝2AD．
【解答】解：∵AD，AE分别是⊙O的切线，
∴AE＝AD，
∵BD、BC分别为⊙O的切线，
∴BD＝BF，
∵CF、CE分别为⊙O的切线，
∴CE＝CF，
∴三角形ABC的周长＝AB+BC+AC＝AB+BF+CF+AC＝AB+BD+AC+CE＝AD+AE＝2AD＝12．
故选：B．
【点评】本题考查了切线长的性质：灵活运用切线长定理和等线段代换是解决问题的关键．
2．（2024 城中区校级一模）如图，四边形ABCD外切于⊙O，且AB＝10，CD＝15，则四边形ABCD的周长为（　　）
A．60 B．55 C．45 D．50
【考点】切线长定理．
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】D
【分析】根据切线长定理得到AE＝AF，BE＝BG，CG＝CH，DH＝DF，进而求出AD+BC，再根据四边形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵四边形ABCD外切于⊙O，切点分别为E、G、H、F，
∴AE＝AF，BE＝BG，CG＝CH，DH＝DF，
∴AD+BC＝AF+DF+BG+CG＝AE+DH+BE+CG＝AB+CD＝10+15＝25，
∴四边形ABCD的周长为：AD+BC+AB+CD＝25+25＝50，
故选：D．
【点评】本题考查的是切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等．
3．（2023秋 绥化期末）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝8，则△PCD的周长为（　　）
A．8 B．12 C．16 D．20
【考点】切线长定理．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】由切线长定理可求得PA＝PB，AC＝CE，BD＝ED，则可求得答案．
【解答】解：∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，
∴PA＝PB＝8，AC＝EC，BD＝ED，
∴PC+CD+PD＝PC+CE+DE+PD＝PA+AC+PD+BD＝PA+PB＝8+8＝16，
即△PCD的周长为16．
故选：C．
【点评】本题主要考查切线的性质，利用切线长定理求得PA＝PB、AC＝CE和BD＝ED是解题的关键．
4．（2023秋 邻水县期末）如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝12，则四边形ABCD的周长为（　　）
A．44 B．42 C．46 D．47
【考点】切线长定理．
【专题】与圆有关的计算；推理能力．
【答案】A
【分析】根据圆外切四边形的对边之和相等求出AD+BC，根据四边形的周长公式计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，
∴AD+BC＝AB+CD＝22，
∴四边形ABCD的周长＝AD+BC+AB+CD＝44，
故选：A．
【点评】本题考查的是切线长定理，掌握圆外切四边形的对边之和相等是解题的关键．
5．（2023秋 鄂伦春自治旗校级月考）如图，PA，PB为⊙O的两条切线，C，D切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C，D．F为⊙O上的点，连接AF，BF，若PA＝5，∠P＝40°，则△PCD的周长和∠AFB的度数分别为（　　）
A．10，40° B．10，80° C．15，70° D．10，70°
【考点】切线长定理；圆周角定理；切线的性质．
【专题】与圆有关的计算；几何直观；推理能力．
【答案】D
【分析】连接OA，OB，可得∠OAP＝∠OBP＝90°，CA＝CE，DB＝DE，PA＝PB；据此即可求解．
【解答】解：连接OA，OB，如图所示：
由切线的性质以及切线长定理得：∠OAP＝∠OBP＝90°，CA＝CE，DB＝DE，PA＝PB，
∵∠P＝40°，
∴∠AOB＝360°﹣∠P﹣∠OAP﹣∠OBP＝140°，
∴；
△PCD的周长＝PC+CE+DE+PD＝PC+CA+DB+PD＝PA+PB＝2PA＝10，
故选：D．
【点评】本题考查了切线长定理，圆周角定理，切线的性质，解答本题的关键是熟练运用圆周角定理解决问题．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 林州市期中）如图，一圆内切于四边形ABCD，且AB＝10，CD＝8，则四边形的周长为　36　．
【考点】切线长定理．
【专题】一次函数及其应用；图形的全等；应用意识．
【答案】36．
【分析】如图，设AB与⊙O相切于点E，BC与⊙O相切于点F，CD与⊙O相切于点G，AD与⊙O相切于点H，根据切线长定理得到AE＝AH，BE＝BF，CF＝CG，DG＝DH，进而得到AB+CD＝AD+BC＝18，由此即可求出四边形的周长．
【解答】解：∵一圆内切于四边形ABCD，且AB＝10，CD＝8，如图，设AB与⊙O相切于点E，BC与⊙O相切于点F，CD与⊙O相切于点G，AD与⊙O相切于点H，
∴AE＝AH，BE＝BF，CF＝CG，DG＝DH，
∴AE+BE+CG+DG＝AH+BF+CF+DH，
∴AB+CD＝AD+BC，
∴AB+CD+AD+BC＝2（AB+CD）＝2×（10+8）＝36，
即四边形的周长为36，
故答案为：36．
【点评】本题考查了切线长定理，解答本题的关键是熟练掌握全等三角全等．
7．（2024秋 西城区校级期中）如图，过圆外一点A作⊙O的切线AB，AC，切点分别是B，C，连接BC．过上一点D作⊙O的切线，分别交AB，AC于点E，F．若∠A＝90°，△AEF的周长为4，则BC的长为 　　．
【考点】切线长定理；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】．
【分析】先根据切线长定理得AB＝AC，EB＝ED，DF＝CF，再根据△AEF的周长＝AE+AF+EF＝AE+DE+AF+DF＝AE+BE+AF+CF＝AB+AC，可求AB，AC，然后根据勾股定理求出答案．
【解答】解：∵AB，AC，EF是⊙O的切线，
∴AB＝AC，EB＝ED，DF＝CF．
∵△AEF的周长
＝AE+AF+EF＝AE+DE+AF+DF＝AE+BE+AF+CF＝AB+AC，
∴AB+AC＝4，
∴AB＝AC＝2．
∵BC2＝AB2+AC2，
∴．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了切线长定理，勾股定理，掌握切线长定理是解题的关键．
8．（2024 凉州区三模）如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，PA＝10cm，C是劣弧AB上的点（不与点A、B重合），过点C的切线分别交PA、PB于点E、F．则△PEF的周长为　20　cm．
【考点】切线长定理．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用切线长定理，可以得到：PA＝PB，AE＝EC，FC＝FB，据此即可求解
【解答】解：∵PA，PB是圆的切线．
∴PA＝PB
同理，AE＝EC，FC＝FB．
三角形PEF的周长＝PE+EF+PF＝PE+PF+CF+EC＝PE+AE+PF+FB＝PA+PB＝2PA＝20cm．
故答案是20．
【点评】本题主要考查了切线长定理，对于定理的认识，在图形中找到切线长定理的基本图形是解决本题的关键．
9．（2024秋 大连期中）如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB＝8，AC＝5，则BD的长为 　3　．
【考点】切线长定理．
【专题】计算题；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】由AB、AC、BD是⊙O的切线，则AC＝AP，BP＝BD，求出BP的长即可求出BD的长．
【解答】解：∵AC、AP为⊙O的切线，
∴AC＝AP，
∵BP、BD为⊙O的切线，
∴BP＝BD，
∴BD＝PB＝AB﹣AP＝8﹣5＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了切线长定理，两次运用切线长定理并利用等式的性质是解题的关键．
10．（2024秋 莒县期中）如图，以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交AD边于点E，若△CDE的周长为12，则直角梯形ABCE周长为 　14　．
【考点】切线长定理；正方形的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据切线的性质知：AE＝EF，BC＝CF；根据△CDE的周长可求出正方形ABCD的边长；在Rt△CDE中，利用勾股定理可将AE的长求出，进而可求出直角梯形ABCE的周长．
【解答】解：设AE的长为x，正方形ABCD的边长为a，
∵CE与半圆O相切于点F，
∴AE＝EF，BC＝CF，
∵EF+FC+CD+ED＝12，
∴AE+ED+CD+BC＝12，
∵AD＝CD＝BC＝AB，
∴正方形ABCD的边长为4；
在Rt△CDE中，ED2+CD2＝CE2，即（4﹣x）2+42＝（4+x）2，解得：x＝1，
∴AE+EF+FC+BC+AB＝14，
∴直角梯形ABCE周长为14．
故答案为：14．
【点评】本题考查的是切线长定理，切线长定理图提供了很多等线段，分析图形时关键是要仔细探索，找出图形的各对相等切线长．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 东胜区期中）如图，AB为⊙O的直径，过圆外一点E作⊙O的两条切线EC，EB，切点分别为点D，B，EC交BA的延长线于点C，连接OE，AD．
（1）AD与OE有怎样的位置关系？并说明理由；
（2）若EB＝6，CD＝4，求⊙O的半径．
【考点】切线长定理；平行线的判定；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力．
【答案】（1）AD∥OE，理由见解析；
（2）3．
【分析】（1）连接OD，根据切线的定义可得∠ODE＝∠OBE＝90°，再证明Rt△DOE≌Rt△BOE（HL），再由等腰三角形性质可得∠ODA＝∠OAD，最后由平行线的判定证明即可；
（2）根据切线长定理先求得ED长，再根据勾股定理求得BC长，再设OB＝OD＝r，则OC＝8﹣r，利用勾股定理解求解即可．
【解答】解：（1）AD∥OE，
理由：∵CE，BE是⊙O的切线，
∴∠ODE＝∠OBE＝90°，
在Rt△DOE和Rt△BOE中，
，
∴Rt△DOE≌Rt△BOE（HL），
∴∠DOE＝∠BOE，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD，
∵∠DOB＝∠DOE+∠BOE＝∠ODA+∠OAD，
∵∠DOE＝∠ODA，
∴AD∥OE；
（2）∵CE，BE是⊙O的切线，
∴DE＝BE＝6，
∴CE＝DE+CE＝6+4＝10，
∴BC8，
设OB＝OD＝r，则OC＝8﹣r，
∵CD2+OD2＝OC2，
∴42+r2＝（8﹣r）2，
解得r＝3，
即⊙O半径的长为3．
【点评】本题考查切线的性质，切线长定理，全等三角形的性质和判定，勾股定理，平行线的判定等：掌握切线的性质，切线长定理是解题的关键．
12．（2022秋 任城区校级月考）如图，圆O是边长为6的正方形ABCD的内切圆，EF切圆O于P点，交AB、BC于点E，F，求△BEF的周长．
【考点】切线长定理．
【答案】见试题解答内容
【分析】设⊙O切AB于M，切BC于N，连接OM、ON，求出四边形BMON是正方形，求出BM＝BN＝3，根据切线长定理求出EM＝EP，FP＝FN，最后求出△BEF的周长＝BM+BN，代入求出即可．
【解答】解：设⊙O切AB于M，切BC于N，连接OM、ON，
则∠OMB＝∠ONB＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝90°，
∵ON＝OM，
∴四边形MBNO是正方形，
∵圆O是边长为6的正方形ABCD的内切圆，
∴BM＝BN＝OM＝ONAB6＝3，
由切线长定理得：EM＝EP，PF＝FN，
∴△BEF的周长为BF+EF+BE
＝BF+PF+PE+BE
＝BF+FN+EM+BE
＝BN+BM
＝3+3
＝6．
【点评】本题考查了切线长定理，正方形的性质和判定，正方形的内切圆的应用，解此题的关键是求出△BEF的周长＝BN+BM和求出BM的长，注意：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等．
13．（2022 惠水县模拟）如图，AB为圆O直径，∠DAB＝∠ABC＝90°，CD与圆O相切于点E，EF⊥AB于点F，EF交BD于点G，若AD＝2，BC＝6．
（1）求CD的长度．
（2）求EG的长度．
（3）求FB的长度．
【考点】切线长定理；圆周角定理；切线的性质．
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】（1）8；
（2）；
（3）3．
【分析】（1）根据切线的判定定理得到DA、CB都是圆O的切线，根据求写出定理分别求出DE、CE，进而求出CD；
（2）证明△DEG∽△DCB，根据相似三角形的性质求出EG；
（3）证明AD∥EG∥BC，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
【解答】解：（1）∵AB为圆O直径，∠DAB＝∠ABC＝90°，
∴DA、CB都是圆O的切线，
∵CD与圆O相切于点E，
∴DE＝DA＝2，CE＝CB＝6，
∴CD＝DE+CE＝8；
（2）∵∠ABC＝90°，EF⊥AB，
∴EG∥BC，
∴△DEG∽△DCB，
∴，即，
解得：EG；
（3）过点D作DH⊥BC于H，
则四边形DABH为矩形，
∴BH＝AD＝2，
∴CH＝BC﹣BH＝4，
∴DH4，
∴AB＝DH＝4，
∵∠DAB＝∠ABC＝90°，EF⊥AB，
∴AD∥EG∥BC，
∴，即，
解得：BF＝3．
【点评】本题考查的是切线长定理、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用切线长定理是解题的关键．
14．（2021秋 高安市期末）如图，PA、PB、CD是⊙O的切线，点A、B、E为切点．
（1）如果△PCD的周长为10，求PA的长；
（2）如果∠P＝40°，
①求∠COD；
②连AE，BE，求∠AEB．
【考点】切线长定理．
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】（1）5；
（2）①70°；
②110°．
【分析】（1）根据切线长定理和三角形的周长可解答；
（2）①先根据三角形内角和定理可得∠PCD+∠PDC＝140°，由平角的定义得∠ACD+∠BDE＝220°，由切线长定理：圆外一点与圆心的连线平分切线所成的夹角可得∠ACO＝∠DCO∠ACD，∠BDO＝∠EDO∠BDE，从而可以解答；
②根据平角的定义和三角形的内角和定理可解答．
【解答】解：（1）∵PA、PB、CD是⊙O的切线，点A、B、E为切点，
∴PA＝PB，AC＝CE，ED＝BD，
∵△PCD的周长为10，
∴PC+CD+PD＝10，
∴PC+CE+DE+PD＝PC+AC+PD+BD＝PA+PB＝2PA＝10，
∴PA＝5；
（2）①∵∠P＝40°，
∴∠PCD+∠PDC＝180°﹣40°＝140°，
∴∠ACD+∠BDE＝360°﹣140°＝220°，
∵PA、PB、CD是⊙O的切线，点A、B、E为切点，
∴∠ACO＝∠DCO∠ACD，∠BDO＝∠EDO∠BDE，
∴∠OCD+∠ODC220°＝110°，
∴∠COD＝180°﹣110°＝70°；
②∠AEB＝180°﹣∠AEC﹣∠BED
＝180°
＝180°﹣90°∠ACD﹣90°∠BDE
220°
＝110°．
【点评】本题考查的是切线长定理，三角形内角和定理，掌握切线长定理是解题的关键．
15．（2021 滨海县一模）如图，PA、PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，△PCD的周长为12，∠APB＝60°．求：
（1）PA的长；
（2）∠COD的度数．
【考点】切线长定理．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）可通过切线长定理将相等的线段进行转换，得出三角形PCD的周长等于PA+PB的结论，即可求出PA的长；
（2）根据三角形的内角和求出∠ACD和∠BDC的度数和，然后根据切线长定理，得出∠DCO和∠ODE的度数和，再根据三角形的内角和求出∠COD的度数．
【解答】解：（1）∵CA，CE都是圆O的切线，
∴CA＝CE，
同理DE＝DB，PA＝PB，
∴三角形PCD的周长＝PD+CD+PC＝PD+PC+CA+BD＝PA+PB＝2PA＝12，
即PA的长为6；
（2）∵∠P＝60°，
∴∠PCE+∠PDE＝120°，
∴∠ACD+∠CDB＝360°﹣120°＝240°，
∵CA，CE是圆O的切线，
∴∠OCE＝∠OCA∠ACD；
同理：∠ODE∠CDB，
∴∠OCE+∠ODE（∠ACD+∠CDB）＝120°，
∴∠COD＝180﹣120°＝60°．
【点评】本题考查的是切线长定理，切线长定理提供了很多等线段，分析图形时关键是要仔细探索，找出图形的各对相等切线长．
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