北师大版高中数学必修第一册素养检测（解析版）

本册素养等级测评
考试时间：120分钟　满分：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2023·天津卷)已知集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，B＝{1，2，4}，则 UB∪A＝( A )
A．{1，3，5} B．{1，3}
C．{1，2，4} D．{1，2，4，5}
[解析]　由 UB＝{3，5}，而A＝{1，3}，所以 UB∪A＝{1，3，5}．故选A．
2．lg 2－lg－eln 2－eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\co1())＋的值为( A )
A．－1 B．
C．3 D．－5
[解析]　原式＝lg 2＋lg 5－2－2＋2＝lg 10－2＝1－2＝－1.故选A．
3．函数f(x)＝在区间[2，3]上的最大值为( D )
A． B．1
C．2 D．
[解析]　∵f(x)＝＝1－在区间[2，3]上单调递增，
∴函数f(x)＝在区间[2，3]上的最大值为f(3)＝＝.故选D．
4．下列函数中，是奇函数且在(0，＋∞)上单调递增的是( D )
A．y＝ B．y＝log2|x|
C．y＝x＋ D．y＝x5
[解析]　y＝的定义域为[0，＋∞)，关于原点不对称，为非奇非偶函数，故A错误；f(x)＝log2|x|＝log2|－x|＝f(－x)，故y＝log2|x|不是奇函数，故B错误；
任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1∵00，
当1≤x1当00，f(x)是减函数，故C错误；
对于D，y＝x5为单调递增的奇函数，故D正确．故选D．
5．甲、乙两人有三个不同的学习小组A，B，C可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，则两人参加同一个小组的概率为( A )
A． B．
C． D．
[解析]　因为甲、乙两人参加学习小组的所有事件有(A，A)，(A，B)，(A，C)，(B，A)，(B，B)，(B，C)，(C，A)，(C，B)，(C，C)，共9个，其中两人参加同一个小组事件有(A，A)，(B，B)，(C，C)，共3个，所以两人参加同一个小组的概率为＝.故选A．
6．定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且feq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\co1())＝0，则满足f(logx)>0的x的取值范围是( B )
A．(0，＋∞) B．eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\co1(0，))∪eq \b\lc\(\rc\)()
C．eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\co1(0，))∪eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\co1(，2)) D．eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\co1(0，))
[解析]　由题意知f(x)＝f(－x)＝f(|x|)，所以f(|logx|)>feq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\co1()).因为f(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以|logx|>，又x>0，解得02.故选B．
7．函数y＝ln cos xeq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\co1(－[解析]　由偶函数排除B、D，∵0∴排除C．故选A．
8．(2022·全国乙卷)某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p1，p2，p3，且p3>p2>p1>0.记该棋手连胜两盘的概率为p，则( D )
A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关
B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大
D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
[解析]　该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，
记该棋手在第二盘与甲比赛，且连胜两盘的概率为p甲，
则p甲＝2(1－p2)p1p3＋2p2p1(1－p3)＝2p1(p2＋p3)－4p1p2p3；
记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为p乙，
则p乙＝2(1－p1)p2p3＋2p1p2(1－p3)＝2p2(p1＋p3)－4p1p2p3；
记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为p丙，
则p丙＝2(1－p1)p3p2＋2p1p3(1－p2)＝2p3(p1＋p2)－4p1p2p3，
则p甲－p乙＝2p1(p2＋p3)－4p1p2p3－[2p2(p1＋p3)－4p1p2p3]＝2(p1－p2)p3<0，
p乙－p丙＝2p2(p1＋p3)－4p1p2p3－[2p3(p1＋p2)－4p1p2p3]＝2(p2－p3)p1<0，
即p甲则该棋手在第二盘与丙比赛，p最大．选项D判断正确；选项B、C判断错误；
p与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关．选项A判断错误．故选D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．某地区经过一年的建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区建设前后农村的经济收入构成比例，得到如图所示的饼图：
则下面结论中正确的是( 　 )
A．建设后，种植收入减少
B．建设后，其他收入增加了一倍以上
C．建设后，养殖收入增加了一倍
D．建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
[解析]　设建设前经济收入为a，则建设后经济收入为2a，则由饼图可得建设前种植收入为0.6a，其他收入为0.04a，养殖收入为0.3a.建设后种植收入为0.74a，其他收入为0.1a，养殖收入为0.6a，养殖收入与第三产业收入的总和为1.16a，所以建设后，种植收入减少是错误的．故选BCD．
10．已知0A．acC．logac>logbc D．logc[解析]　幂函数f(x)＝xc，c>1在(0，＋∞)是增函数，∵b>a>0，∴f(b)>f(a)，∴bc>ac，∴A正确；c＝2，a＝，b＝时2>2，即cb>ca，2>2，B不成立；对于C，∵1>b>a>0，c>1，根据对数函数关系，logac>logbc成立，∴C正确；∵01>>0，又c>1，∴logc>0>logc，故D不正确．故选BD．
11．已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝eq \b\lc\{\rc\ ()则( 　 )
A．f[g(2)]＝2
B．g[f(1)]＝1
C．当x<0时，f[g(x)]的最小值为2
D．当x>0时，g[f(x)]的最小值为1
[解析]　∵g(2)＝log22＝1，∴f[g(2)]＝f(1)＝2，∴A正确；
∵f(1)＝2，∴g[f(1)]＝g(2)＝log22＝1，∴B正确；
当x<0时，g(x)＝2x∈(0，1)，设t＝2x∈(0，1)，则f(t)＝t＋在(0，1)上单调递减，∴f(t)>f(1)＝2，∴C错误；
当x>0时，f(x)＝x＋≥2＝2，当且仅当x＝，
即x＝1时取等号，
设m＝x＋，m∈[2，＋∞)，
则g(m)＝log2m≥log22＝1，∴D正确．
故选ABD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．计算：eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\co1(－))0＋eq \f(1,＋1)＋2lg 2＋lg 25＝ 2＋　.
[解析]　eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\co1(－))0＋eq \f(1,＋1)＋2lg 2＋lg 25
＝1＋－1＋lg 100
＝2＋.
13．某学校举行课外综合知识比赛，随机抽取400名同学的成绩，成绩全部在50分至100分之间，将成绩按如下方式分成五组．第一组，成绩大于等于50分且小于60分；第二组，成绩大于等于60分且小于70分；……；第五组，成绩大于等于90分且小于等于100分，据此绘制了如图所示的频率分布直方图．则400名同学中成绩优秀(大于等于80分)的学生有 100　名．
[解析]　成绩优秀的频率为1－(0.005＋0.025＋0.045)×10＝0.25，所以成绩优秀的学生有0.25×400＝100(名)．
14．给出以下四个命题：
①若集合A＝{x，y}，B＝{0，x2}，A＝B，则x＝1，y＝0；
②若函数f(x)的定义域为(－1，1)，则函数f(2x＋1)的定义域为(－1，0)；
③函数f(x)＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)；
④若f(x＋y)＝f(x)f(y)，且f(1)＝1，则＋＋…＋＋＝2 024.
其中正确的命题有 ①②　.(写出所有正确命题的序号)
[解析]　①由A＝{x，y}，B＝{0，x2}，A＝B可得eq \b\lc\{\rc\ ()或eq \b\lc\{\rc\ ()(舍)
故x＝1，y＝0正确；②由函数f(x)的定义域为(－1，1)，则函数f(2x＋1)中x应满足－1<2x＋1<1，解得－1四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)集合A＝eq \b\lc\{\rc\}(eq \a\vs4\al\co1(xeq \b\lc\|\rc\ (eq \a\vs4\al\co1(<1，x∈R))))，B＝{x||x－a|<2，x∈R}．
(1)若a＝2，求A∪B；
(2)若x∈ RA是x∈B的充分不必要条件，求a的范围．
[解析]　(1)由<1得<0，即(x－1)(x＋2)>0，解得x<－2或x>1，所以A＝{x|x<－2或x>1}，
当a＝2时，B＝{x||x－2|<2，x∈R}，由|x－2|<2得－2所以B＝{x|00}．
(2) RA＝{x|－2≤x≤1}，B＝{x||x－a|<2}＝{x|a－2∵x∈ RA是x∈B的充分不必要条件，∴ RA?B，
∴eq \b\lc\{\rc\ ()∴－1∴a的取值范围为(－1，0)．
16．(15分)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ ()且点(4，2)在函数f(x)的图象上．
(1)求函数f(x)的解析式，并在如图所示的平面直角坐标系中画出函数f(x)的图象；
(2)求不等式f(x)<1的解集；
(3)若方程f(x)－2m＝0有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．
[解析]　(1)∵点(4，2)在函数的图象上，∴f(4)＝loga4＝2，解得a＝2.
∴f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ ()
函数的图象如图所示．
(2)不等式f(x)<1等价于eq \b\lc\{\rc\ ()或eq \b\lc\{\rc\ ()
解得0∴原不等式的解集为{x|0(3)∵方程f(x)－2m＝0有两个不相等的实数根，
∴函数y＝2m的图象与函数y＝f(x)的图象有两个不同的交点．
结合图象可得2m≤2，解得m≤1.
∴实数m的取值范围为(－∞，1]．
17．(15分)某新能源汽车制造公司，为鼓励消费者购买其生产的新能源汽车，约定从今年元月开始，凡购买一辆该品牌汽车，在行驶三年后，公司将给予适当金额的购车补贴．某调研机构对已购买该品牌汽车的消费者，就购车补贴金额的心理预期值进行了抽样调查，得其样本频率分布直方图如图所示．
(1)求实数a的值；
(2)估计已购买该品牌汽车的消费群体对购车补贴金额的心理预期值的平均数(同一组数据用该区间的中点值作代表)；
(3)现在要从购车补贴金额的心理预期值在[3，5)间用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行调查，求抽到2人中购车补贴金额的心理预期值都在[3，4)间的概率．
[解析]　(1)由题意知，1×(0.10＋0.30＋0.30＋a＋0.10＋0.05)＝1，解得a＝0.15.
(2)平均数的估计值为＝1.5×0.1＋2.5×0.3＋3.5×0.3＋4.5×0.15＋5.5×0.1＋6.5×0.05＝3.5(万元)．
(3)从购车补贴金额的心理预期值在[3，5)间用分层抽样的方法抽取6人，
则购车补贴金额的心理预期值在[3，4)间的有4人，记为b，c，d，e，
购车补贴金额的心理预期值在[4，5)间的有2人，记为A，B，则基本事件有：
(b，c)，(b，d)，(b，e)，(b，A)，(b，B)，(c，d)，(c，e)，(c，A)，(c，B)，(d，e)，(d，A)，(d，B)，(e，A)，(e，B)，(A，B)共15种情况，
其中购车补贴金额的心理预期值都在[3，4)间的有(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，共6种情况，
所以抽到的2人中购车补贴金额的心理预期值都在[3，4)间的有6种情况，
所以抽到的2人中购车补贴金额的心理预期值都在[3，4)间的概率为
P＝＝.
18．(17分)某校团委会组织该校高中一年级某班以小组为单位利用周末时间进行了一次社会实践活动，且每个小组有5名同学，在实践活动结束后，学校团委会对该班的所有同学都进行了测试，该班的A，B两个小组所有同学所得分数(百分制)的茎叶图如图所示，其中B组一同学的分数已被污损，但知道B组学生的平均分比A组学生的平均分高1分．
(1)若在B组学生中随机挑选1人，求其得分超过85分的概率；
(2)现从A组这5名学生中随机抽取2名同学，设其分数分别为m，n，求|m－n|≤8的概率．
[解析]　(1)A组学生的平均分为＝85(分)，
∴B组学生平均分为86分．
设被污损的分数为x，则＝86，解得x＝88，
∴B组学生的分数分别为93，91，88，83，75，其中有3人的分数超过85分，
∴在B组学生中随机选1人，其所得分超过85分的概率为.
(2)A组学生的分数分别是94，88，86，80，77，
在A组学生中随机抽取2名同学，其分数组成的基本事件(m，n)有(94，88)，(94，86)，(94，80)，(94，77)，(88，86)，(88，80)，(88，77)，(86，80)，(86，77)，(80，77)，共10个．
随机抽取2名同学的分数m，n满足|m－n|≤8的基本事件有(94，88)，(94，86)，(88，86)，(88，80)，(86，80)，(80，77)，共6个．
∴|m－n|≤8的概率为＝.
19．(17分)已知a∈R，函数f(x)＝log2eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\co1(＋a)).
(1)当a＝1时，解不等式f(x)>1；
(2)若关于x的方程f(x)＋log2x2＝0的解集中恰有一个元素，求a的值；
(3)设a>0，若对任意t∈eq \b\lc\[\rc\](eq \a\vs4\al\co1(，1))，函数f(x)在区间[t，t＋1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．
[解析]　(1)由log2eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\co1(＋1))>1，得＋1>2，解得{x|0(2)log2eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\co1(＋a))＋log2x2＝0有且仅有一解，
等价于eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\co1(＋a))x2＝1有且仅有一解，等价于ax2＋x－1＝0有且仅有一解．
当a＝0时，x＝1，符合题意；
当a≠0时，Δ＝1＋4a＝0，a＝－.
综上，a＝0或a＝－.
(3)当0＋a，
log2eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\co1(＋a))>log2eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\co1(＋a))，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以f(x)在区间[t，t＋1]也单调递减．
函数f(x)在区间[t，t＋1]上的最大值与最小值分别为f(t)，f(t＋1)．
f(t)－f(t＋1)＝log2eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\co1(＋a))－log2eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\co1(＋a))≤1，
即at2＋(a＋1)t－1≥0对任意t∈eq \b\lc\[\rc\](eq \a\vs4\al\co1(，1))成立．
因为a>0，所以函数y＝at2＋(a＋1)t－1在区间eq \b\lc\[\rc\](eq \a\vs4\al\co1(，1))上单调递增，所以t＝时，y有最小值a－，由a－≥0，得a≥.故a的取值范围为eq \b\lc\[\rc\)(eq \a\vs4\al\co1(，＋∞)).
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