素养等级测评四
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若对数log(x－1)(4x－5)有意义，则x的取值范围是( C )
A．≤x<2 B．
C．2 D．2≤x≤3
[解析] 由题意得
解得x>，且x≠2.故选C．
2．已知log7[log3(log2x)]＝0，那么x等于( C )
A． B．
C． D．
[解析] 由log7[log3(log2x)]＝0，得log3(log2x)＝1，∴log2x＝3，∴x＝23＝8，
∴x＝＝.故选C．
3．若y＝log56·log67·log78·log89·log910，则( B )
A．y∈(0，1) B．y∈(1，2)
C．y∈(2，3) D．y∈(3，4)
[解析] 原式＝····＝＝log510∈(1，2)．故选B．
4．(2023·北京卷)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是( C )
A．f(x)＝－ln x B．f(x)＝
C．f(x)＝－ D．f(x)＝3|x－1|
[解析] 因为y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，y＝－x在(0，＋∞)上单调递减，
所以f(x)＝－ln x在(0，＋∞)上单调递减，故A错误；
因为y＝2x在(0，＋∞)上单调递增，
所以f(x)＝在(0，＋∞)上单调递减，故B错误；
因为y＝在(0，＋∞)上单调递减，
所以f(x)＝－在(0，＋∞)上单调递增，故C正确；
因为f＝3 eq \s\up10()＝3＝，f(1)＝3|1－1|＝30＝1，f(2)＝3|2－1|＝3，所以f(1)显然f(x)＝3|x－1|在(0，＋∞)上不单调，故D错误．故选C．
5．设函数f(x)＝log2x，若f(a＋1)<2，则a的取值范围为( A )
A．(－1，3) B．(－∞，3)
C．(－∞，1) D．(－1，1)
[解析] ∵函数f(x)＝log2x在定义域内单调递增，f(4)＝log24＝2，
∴不等式f(a＋1)<2等价于06．在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝loga，(a>0且a≠0)的图象可能是( D )
A B C D
[解析] 令x＋＝1，得x＝，
∴函数y＝loga的图象过点，排除A、C；又函数y＝与y＝loga的单调性相反，排除B．故选D．
7．给出f(x)＝则f(log23)的值等于( D )
A．－ B．
C． D．
[解析] 因为log23∈(1，2)，
所以f(log23)＝f(log23＋1)
＝f(log26)＝f(log26＋1)
＝f(log212)＝f(log212＋1)
＝f(log224)＝＝.故选D．
8．已知9m＝10，a＝10m－11，b＝8m－9，则( A )
A．a>0>b B．a>b>0
C．b>a>0 D．b>0>a
[解析] 由9m＝10可得m＝log910＝>1，而lg 9lg 11<2＝2<1＝(lg 10)2，所以>，即m>lg 11，所以a＝10m－11>10lg 11－11＝0.
又lg 8lg 10<2＝2<(lg 9)2，所以>，即log89>m，
所以b＝8m－9<8log89－9＝0.综上，a>0>b.故选A．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若10a＝4，10b＝25，则( )
A．a＋b＝2 B．b－a＝1
C．ab>8(lg 2)2 D．b－a[解析] ∵10a＝4，10b＝25，∴a＝lg 4，b＝lg 25，
∴a＋b＝lg 4＋lg 25＝lg 100＝2，故A正确；
b－a＝lg 25－lg 4＝lg>lg 6，故B，D错误；
ab＝2lg 2×2lg 5＝4lg 2×lg 5>4lg 2×lg 4＝8(lg 2)2，故C正确．故选AC．
10．已知实数a，b，c满足lg a＝10b＝，则下列关系式中可能成立的是( )
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>a>b D．c>b>a
[解析] 设lg a＝10b＝＝x，x>0，
则a＝10x，b＝lg x，c＝，
在同一坐标系中分别画出函数y＝10x，y＝lg x，y＝的图象，当x＝x3时，a>b>c，
当x＝x2时，a>c>b，当x＝x1时，c>a>b.故选ABC．
11．设函数f(x)＝logx，下列四个命题正确的是( )
A．函数f(|x|)为偶函数
B．若f(a)＝|f(b)|，且a>0，b>0，a≠b，则ab＝1
C．函数f(－x2＋2x)在(1，3)上单调递增
D．若0[解析] 由题知，f(x)＝logx，x>0，
函数f(|x|)＝log|x|，∵f(|－x|)＝f(|x|)，
∴f(|x|)为偶函数，A正确；
若f(a)＝|f(b)|，且a>0，b>0，a≠b，
则f(a)＝|f(b)|＝－f(b)，
∴loga＋logb＝log(ab)＝0，∴ab＝1，B正确；
函数f(－x2＋2x)＝log(－x2＋2x)，由－x2＋2x>0，解得0∴函数的定义域为(0，2)，因此在(1，3)上不具有单调性，C不正确；
若01＋a>1>1－a>0，∴f(1＋a)<0即|f(1＋a)|<|f(1－a)|，D正确．故选ABD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知3a＝7，log35＝b，若a＋b＝2，则log353＝ .
[解析] 由3a＝7得a＝log37，
所以log353＝＝＝.
13．天上的星光有的较亮，有的较暗，天文学以“星等”区分，即选择某一特定的星光强度F0为标准，对于发出星光强度为F的星体，定义其“星等”为m＝－2.5lg ，并称该星体为“m等星”，已知天狼星为－1.4等星，北极星为2等星，则天狼星的星光强度大约是北极星的_23__倍．(已知lg 3≈0.477，lg 13≈1.11，lg 23≈1.36，lg 33≈1.52.)
[解析] 设天狼星的星光强度为F1，北极星的星光强度为F2，
因为天狼星为－1.4等星，北极星为2等星，
所以－1.4＝－2.5lg ，2＝－2.5lg ，
解得F1＝10F0，F2＝10F0，
所以＝eq \f(10F0,10F0)＝10 eq \s\up10(－)＝10≈23.
14．已知函数f(x)＝ln x和g(x)＝ex的图象与函数y＝－x＋2的图象在第一象限内的交点分别为M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝_2__.
[解析] 函数f(x)＝ln x和g(x)＝ex互为反函数，图象关于直线y＝x对称，它们的图象与y＝－x＋2的图象在第一象限内的交点M，N也关于直线y＝x对称，由得x＝1，所以＝1，所以x1＋x2＝2.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)(1)计算3log32＋27＋lg 50＋lg 2；
(2)已知2a＝3，4b＝6，求2b－a的值．
[解析] (1)3log32＋27＋lg 50＋lg 2＝2＋3＋lg 100＝2＋3＋2＝7.
(2)由2a＝3，得a＝log23，又由4b＝6，即22b＝6，得2b＝log26，
所以2b－a＝log26－log23＝log22＝1.
16．(15分)已知函数f(x)＝log(x2－2ax＋3)．
(1)若函数的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)，求实数a的值；
(2)若函数的值域为(－∞，－1]，求实数a的值．
[解析] (1)由题意，知x2－2ax＋3>0的解集为
(－∞，1)∪(3，＋∞)，所以方程x2－2ax＋3＝0的两个根为x1＝1，x2＝3，根据韦达定理得1＋3＝2a，解得a＝2，故a＝2.
(2)若函数的值域为(－∞，－1]，
即f(x)＝log(x2－2ax＋3)≤－1，且－1能取到，
故x2－2ax＋3最小值为2，令g(x)＝x2－2ax＋3－2，则Δ＝4(a2－1)＝0.
故a2－1＝0，即a＝1或a＝－1.
17．(15分)食物在储藏时，有些易于保存，而有些却需要适当处理，如牛奶等，它们的保鲜时间会因储藏时温度的不同而不同，假定保鲜时间与储藏温度间的关系为指数型函数y＝k·ax(k≠0且a>0)，若牛奶放在0 ℃的冰箱中，保鲜时间约为192小时，放在22 ℃的厨房中，保鲜时间约为42小时．
(1)写出保鲜时间y(单位：小时)关于储藏温度x(单位：℃)的函数解析式；
(2)请运用(1)的结论计算，若我校购买的牛奶至少要储藏三天，则储藏时的温度最高约为多少？(精确到整数)(参考数据：lg 3≈0.477 1，lg 8≈0.903 1，lg 7≈0.845 1，lg 32≈1.505 1)
[解析] (1)因为y＝k·ax(k≠0且a>0)，
则有 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k＝192，,a＝\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,32)))，))y＝192·.
(2)依题意有72≤192· ≤log＝≈，所以x≤14.2.
若我校购买的牛奶至少要储藏三天，则储藏时的温度最高约为14 ℃.
18．(17分)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且x≤0时，f(x)＝log(－x＋1)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若f(a－1)－f(1)<0，求实数a的取值范围．
[解析] (1)因为f(x)是定义在R上的偶函数，
所以f(－x)＝f(x)，
令x>0，则－x<0，f(－x)＝log(x＋1)，
所以x>0时，f(x)＝f(－x)＝log(x＋1)，
则f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(log x＋1 ，x>0，,log －x＋1 ，x≤0.))
(2)因为x>0时，f(x)＝log(x＋1)，
又函数y＝log(x＋1)，x>0由函数t＝x＋1，x>0与函数y＝logt，t>1复合而成，
函数t＝x＋1在(0，＋∞)上单调递增，函数y＝logt在(1，＋∞)上单调递减，
所以函数y＝log(x＋1)在(0，＋∞)上单调递减，故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，
因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(a－1)＝f(|a－1|)，
所以不等式f(a－1)－f(1)<0，可化为f(|a－1|)1，所以a>2或a<0，所以a的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)．
19．(17分)若函数f(x)的定义域为R，且满足对任意x1，x2∈R，有f(x1＋x2)≤f(x1)＋f(x2)，则称f(x)为“V形函数”；若函数g(x)定义域为R，g(x)恒大于0，且对任意x1，x2∈R，有lg [g(x1＋x2)]≤lg [g(x1)]＋lg [g(x2)]，则称g(x)为“对数V形函数”．
(1)当f(x)＝x2时，判断函数f(x)是否为“V形函数”，并说明理由；
(2)当g(x)＝x2＋2时，证明：g(x)是“对数V形函数”；
(3)若f(x)是“V形函数”，且满足对任意x∈R，有f(x)≥2，问f(x)是否为“对数V形函数”？如果是，请加以证明；如果不是，请说明理由．
[解析] (1)f(x1＋x2)－[f(x1)＋f(x2)]＝(x1＋x2)2－(x＋x)＝2x1x2.
∵x1，x2∈R，∴当2x1x2≤0时，f(x)是“V形函数”；当2x1x2>0时，f(x)不是“V形函数”．
(2)假设对任意x1，x2∈R，有lg [g(x1＋x2)]≤lg [g(x1)]＋lg [g(x2)]，则lg [g(x1＋x2)]－lg [g(x1)－lg g(x2)]＝lg[(x1＋x2)2＋2]－lg(x＋2)－lg(x＋2)≤0，
∴(x1＋x2)2＋2≤(x＋2)(x＋2)，
∴xx＋(x1－x2)2＋2≥0，显然成立，
∴假设正确，g(x)是“对数V形函数”．
(3)f(x)是“对数V形函数”．证明如下．
∵f(x)是“V形函数”，∴对任意x1，x2∈R，
有f(x1＋x2)≤f(x1)＋f(x2)．
∵对任意x∈R，有f(x)≥2，
∴0<≤，∴＋≤1，
∴0∴f(x1＋x2)≤f(x1)f(x2)，
∴lg [f(x1＋x2)]≤lg [f(x1)]＋lg [f(x2)]，
∴f(x)是“对数V形函数”．
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第四章 对数运算与对数函数
章末知识梳理
知识体系构建
要点专项突破
●要点一 对数运算
对数式化简或求值的常用方法和技巧
(1)对于同底数的对数式，化简的常用方法是：
①“收”，即逆用对数的运算性质将同底对数的和(差)“收”成积(商)的对数，即把多个对数式转化为一个对数式；
②“拆”，即正用对数的运算性质将对数式“拆”成对数的和(差)．
(2)对常用对数的化简要创设情境，充分利用“lg 5＋lg 2＝1”来解题．
(3)对含有多重对数符号的对数，应从内向外逐层化简．
●要点二 对数函数的图象
弄清所给函数与基本函数的关系，恰当选择平移、对称等变换方法，由基本函数图象变换得到所给函数图象．
例2：(1)函数y＝2log4(1－x)的图象大致是( )
A B C D
(2)在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x≥0)，g(x)＝logax(a>0且a≠1)的图象可能是( )
[解析] (1)方法一：当x＝0时，y＝0，故可排除选项A，由1－x>0，得x<1，即函数的定义域为(－∞，1)，排除选项B，又易知函数在其定义域上是减函数．故选C．
方法二：函数y＝2log4(1－x)的图象可认为是由y＝log4x的图象经过如下步骤变换得到的：(1)函数y＝log4x的图象上所有点的横坐标不变．纵坐标变为原来的2倍，得到函数y＝2log4x的图象；(2)把函数y＝2log4x关于y轴对称得到函数y＝2log4(－x)的图象；(3)把函数y＝2log4(－x)的图象向右平移1个单位，即可得到y＝2log4(1－x)的图象．故选C．
(2)对于A项，对数函数过(1，0)点，但是幂函数不过(0，1)点，所以A项不满足要求；对于B项，由幂函数得a>1，由对数函数得01，所以C项不满足要求；对于D项，由幂函数与对数函数都可得0●要点三 函数的值域
函数值域(最值)的求法
(1)直观法：图象在y轴上的“投影”的范围就是值域的范围．
(2)配方法：适合二次函数．
(4)换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，特别要注意新变量的范围．
(5)单调性：特别适合于指、对数函数的复合函数．
●要点四 对数函数的应用
建模的三个原则
(1)简化原则：建立模型，要对原型进行一定的简化，抓主要因素、主变量，尽量建立较低阶、较简便的模型．
(2)可推演原则：建立的模型一定要有意义，既能对其进行理论分析，又能计算和推理，且能推演出正确结果．
(3)反映性原则：建立的模型必须真实地反映原型的特征和关系，即应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明现实问题的功能，能回到具体研究对象中去解决问题．
例4：我国冬季大部分地区经常遭遇雾霾天气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响．经研究，发现工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素，污染治理刻不容缓．为此，某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对空气的污染．已知过滤过程中废气的污染物数量P(单位：mg/L)与过滤时间t(单位：小时)间的关系为P＝P0e－kt(P0，k均为非零常数，e为自然对数的底数)，其中P0为t＝0时的污染物数量．若经过5小时过滤后还剩余90%的污染物．
(1)求常数k的值；
(2)试计算污染物减少到40%至少需要多少时间(精确到1小时，参考数据：ln 0.2≈－1.61，ln 0.3≈－1.20，ln 0.4≈－0.92，ln 0.5≈－0.69，ln 0.9≈－0.11)．
[解析] (1)由已知，当t＝0时，P＝P0；
故污染物减少到40%至少需要42小时．