素养等级测评三
考试时间:120分钟 满分:150分
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(32)-100的值为( )
A.-2 B.2
C.-4 D.4
[解析] (32)-100=3-1=2.故选B.
2.已知集合M={-2,-1,0,1,2},N=,则M∩N=( )
A.{0,1} B.{-1,0}
C.{-1,0,1} D.{-2,-1,0,1,2}
[解析] ∵M={-2,-1,0,1,2},N=={x|-1
3.已知函数f(x)=3x-x,则f(x)( )
A.是偶函数,且在R上是增函数
B.是奇函数,且在R上是增函数
C.是偶函数,且在R上是减函数
D.是奇函数,且在R上是减函数
[解析] 由f(-x)=x-3x=-f(x),知函数f(x)为奇函数,因为y=x在R上是减函数,y=3x在R上是增函数,所以函数f(x)=3x-x在R上是增函数.故选B.
4.已知a=0.24,b=0.94,c=0.25.7,则( )
A.b>c>a B.a>b>c
C.b>a>c D.c>a>b
[解析] ∵函数y=0.2x在R上是减函数,5.7>4,∴a=0.24>c=0.25.7,函数y=x4在(0,+∞)上是增函数,0.9>0.2,∴a=0.24<0.94=b,故有b>a>c.故选C.
5.已知关于x的不等式x-4>3-2x,则该不等式的解集为( )
A.[4,+∞) B.(-4,+∞)
C.(-∞,-4) D.(-4,1]
[解析] 依题意可知,原不等式可转化为3-x+4>3-2x,由于指数函数y=3x为增函数,所以-x+4>-2x,解得x>-4.故选B.
6.已知f(x)是R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x+1,则f(x)的大致图象是( )
[解析] 当x>0时,指数函数y=x是减函数,将其图象向上平移1个单位长度,可得函数f(x)=x+1(x>0)的图象,而f(x)是R上的奇函数,所以只有选项B符合要求.故选B.
7.设函数f(x)=3x+b,函数f(x)的图象经过第一、三、四象限,则g(b)=f(b)-f(b-1)的取值范围为( )
A. B.
C. D.
[解析] 由函数f(x)=3x+b的图象经过第一、三、四象限,可得b<-1,
所以g(b)=f(b)-f(b-1)=3b-3b-1=3b·=·3b<·3-1=,
又因为·3b>0,所以g(b)=f(b)-f(b-1)的取值范围为.故选A.
8.设y=f(x)在(-∞,1]上有定义,对于给定的实数K,定义fK(x)=给出函数f(x)=2x+1-4x,若对任意的x∈(-∞,1],恒定fK(x)=f(x),则( )
A.K的最大值为0 B.K的最小值为0
C.K的最大值为1 D.K的最小值为1
[解析] 根据题意,对任意的x∈(-∞,1],恒有fK(x)=f(x),等价于对任意的x∈(-∞,1],恒有f(x)≤K,等价于函数f(x)在(-∞,1]上的最大值小于或等于K.x∈(-∞,1]时,2x∈(0,2],函数f(x)=2x+1-4x=-(2x)2+2·2x=-(2x-1)2+1,-(2x-1)2+1≤1,故函数f(x)在(-∞,1]上的最大值为1,则K≥1,所以K的最小值为1.故选D.
二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.下列运算结果中一定正确的是( )
A.a3·a4=a7 B.(-a2)3=a6
C.=a D.=-π
[解析] 对于选项A,a3·a4=a3+4=a7,故A正确;对于选项B,(-a2)3=-a6,故B错误;对于选项C,当a≥0时,=a,当a<0时,=-a,即=|a|,故C错误;对于选项D,=-π,故D正确.故选AD.
10.已知函数f(x)=+a,则( AB )
A.函数f(x)的定义域为{x|x≠0}
B.若函数f(x)是奇函数,则a=1
C.函数f(x)在定义域上是减函数
D.若f(1)=3,则a=-1
[解析] 由2x-1≠0 x≠0,所以A项正确;因为f(x)是奇函数,所以f(x)+f(-x)=0 +a++a=0 -2+2a=0 a=1,所以B项正确;f(1)=2+a,f(-1)=-4+a,显然f(1)>f(-1),所以C项不正确;f(1)=+a=3 a=1,因此D项不正确.故选AB.
11.若实数a,b满足2a+3a=3b+2b,则下列关系式中可能成立的是( )
A.0C.1[解析] 由2a+3a=3b+2b,设f(x)=2x+3x,g(x)=3x+2x,易知f(x),g(x)都是增函数,画出f(x),g(x)的图象,如图所示.根据图象可知:当01时,因为f(x)图象在g(x)图象下方,所以1三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知函数f(x)为指数函数,且f=,则f(-2)= .
[解析] 设f(x)=ax(a>0,a≠1),
∴=a=eq \f(1,a),∴=,∴a=3.
∴f(x)=3x,∴f(-2)=3-2=.
13.已知函数f(x)=x+1,g(x)=2|x+2|+a,若对任意x1∈[3,4],存在x2∈[-3,1],使f(x1)≥g(x2),则实数a的取值范围是_(-∞,3]__.
[解析] 若对任意x1∈[3,4],存在x2∈[-3,1],使f(x1)≥g(x2),
可得f(x)min≥g(x)min,
由f(x)=x+1在[3,4]上单调递增,
可得f(x)的最小值为f(3)=4,g(x)=2|x+2|+a在[-3,-2]上单调递减,在[-2,1]上单调递增,可得g(x)的最小值为g(-2)=1+a,
所以4≥1+a,解得a≤3.
即a的取值范围是(-∞,3].
14.已知函数f(x)=2x且f(x)=g(x)+h(x),其中g(x)为奇函数,h(x)为偶函数,若不等式2a·g(x)+h(2x)≥0对任意x∈[1,2]恒成立,则
(1)g(x)= ;
(2)实数a的取值范围是 .
[解析] (1)∵f(x)=g(x)+h(x) ①,
其中g(x)为奇函数,h(x)为偶函数,
∴f(-x)=g(-x)+h(-x)=-g(x)+h(x) ②,
①②联立得g(x)==.
(2)h(x)=f(x)-g(x)=,若不等式2a·g(x)+h(2x)≥0对任意x∈[1,2]恒成立,即a(2x-2-x)+≥0恒成立.令t=2x-2-x,则t∈,则22x+2-2x=(2x-2-x)2+2=t2+2,即2at+t2+2≥0在t∈上恒成立,即a≥-恒成立.
∵y=t+在t∈上单调递增,∴当t=时,
t+取得最小值为,∴-的最大值为-,∴a≥-.
故实数a的取值范围为.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)计算下列各式的值:
(1)(×)6+()-4×-×80.25-(-2 020)0;
(2)eq \f(a-8ab,4b+2\r(3,ab)+a)÷×.
[解析] (1)原式=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×3))6+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)))-4×(24×7-2)-2×(23)-1=22×33+2-22×(2-2×7)-2×2-1=4×27+2-7-2-1=100.
(2)原式=eq \f(a a-8b ,4b+2 ab +a)÷eq \f(a-2b,a)×a=eq \f(a a-8b ,a+2 ab +4b)×eq \f(a,a-2b)×a==a.
16.(15分)已知指数函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)过点(-2,9).
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若f(2m-1)-f(m+3)<0,求实数m的取值范围.
[解析] (1)将点(-2,9)代入f(x)=ax,得a-2=9,解得a=,∴f(x)=x.
(2)∵f(2m-1)-f(m+3)<0,∴f(2m-1)∵f(x)=x为减函数,∴2m-1>m+3,解得m>4.
故实数m的取值范围为(4,+∞).
17.(15分)已知函数f(x)=3x,且f(a+2)=18,g(x)=3a-4x的定义域为[0,1].
(1)求函数g(x)的解析式;
(2)判断函数g(x)的单调性;
(3)求函数g(x)的值域.
[解析] (1)∵f(x)=3x,∴f(a+2)=3a+2=18,
∴3a=2.
∴g(x)=2-4x(x∈[0,1]).
(2)设x1,x2为区间[0,1]上任意的两个值,且x14x1,∴g(x2)-g(x1)<0,即g(x2)∴函数g(x)在[0,1]上是减函数.
(3)∵g(x)在[0,1]上是减函数,
∴x∈[0,1]时,有g(1)≤g(x)≤g(0).
∵g(1)=2-41=-2,g(0)=2-40=1,
∴-2≤g(x)≤1.
故函数g(x)的值域为[-2,1].
18.(17分)已知函数f(x)=2x+2ax+b,且f(1)=,f(2)=.
(1)求a,b;
(2)判断f(x)的奇偶性;
(3)试判断函数在(-∞,0]上的单调性,并证明.
[解析] (1)由已知得解得
(2)由(1)知,f(x)=2x+2-x.定义域为R.关于原点对称因为f(-x)=2-x+2-(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数.
(3)函数f(x)在(-∞,0]上单调递减.
证明:设x1,x2∈(-∞,0],且x1f(x1)-f(x2)=(2 x1+2-x1)-(2 x2+2-x2)=(2 x1-2 x2)+=.
∵x10,2x1-2x2<0,2x12x2-1<0,
∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
∴函数f(x)在(-∞,0]上单调递减.
19.(17分)已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数.
(1)求a,b的值;
(2)证明f(x)在R上为减函数;
(3)若对于任意t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求k的取值范围.
[解析] (1)∵f(x)为R上的奇函数,∴f(0)=0,∴b=1.
又f(-1)=-f(1),得a=1.
经检验a=1,b=1符合题意.
(2)证明:由①知f(x)=任取x1,x2∈R,且x1=
=.
∵x10.又(2x1+1)(2 x2+1)>0,
∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),故f(x)为R上的减函数.
(3)∵t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,
∴f(t2-2t)<-f(2t2-k).
∵f(x)为奇函数,∴f(t2-2t)∵f(x)为R上的减函数,∴t2-2t>k-2t2,即k<3t2-2t恒成立,而3t2-2t=32-≥-,
∴k<-.
故k的取值范围为.
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第三章 指数运算与指数函数
章末知识梳理
知识体系构建
要点专项突破
●要点一 指数函数的概念
1.判断一个函数是指数函数的方法
(1)判断的依据是指数函数的定义,即函数解析式的结构特征.
2.求指数函数解析式的步骤
(1)设指数函数的解析式为f(x)=ax(a>0且a≠1).
(2)利用已知条件求底数a.
(3)写出指数函数的解析式.
[解析] (1)由指数函数的定义易知A、D是指数函数,B、C不是.故选AD.
●要点二 分数指数幂的运算
1.幂的运算的常规方法
(1)化负指数幂为正指数幂或化分母为负指数.
(2)化根式为分数指数幂.
(3)化小数为分数.
2.分数指数幂及根式化简结果的具体要求
利用分数指数幂进行根式计算时,结果可化为根式形式或保留分数指数幂的形式,不强求统一用什么形式,但结果不能既有根式又有分数指数幂,也不能同时含有分母和负指数.
[分析] 将根式化为分数指数幂的形式,利用分数指数幂的运算性质计算.
●要点三 指数函数的图象
利用指数函数图象作有关函数图象的基本方法——变换作图法
对于与指数函数有关的函数的作图问题,一般宜用变换作图法作图,这样有利于从整体上把握函数的性质.
利用变换作图法作图要注意:(1)选择哪个指数函数作为起始函数;(2)平移的方向及长度;(3)选择对称类型.
常用的变换作图法主要有:
此外,函数y=a|x|的图象关于y轴对称;函数y=|ax-b|的图象可由函数y=ax-b的图象保持在x轴上及其上方的部分不动,把x轴下方的部分翻折到x轴上方得到.
例3:若直线y=2a与函数y=|ax-1|+1(a>0,且a≠1)的图象有两个
公共点,则a的取值范围是____________.
●要点四 指数型函数的值域
在利用换元法求函数值域、最值时,经过换元,函数的定义域可发生变化.