素养等级测评一
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2022·新高考Ⅱ卷)已知集合A＝{－1,1,2,4}，B＝{x||x－1|≤1}，则A∩B＝( )
A．{－1,2} B．{1,2}
C．{1,4} D．{－1,4}
[解析] B＝{x|0≤x≤2}，故A∩B＝{1,2}．故选B.
2．命题“ x>0，x2－2x＋1>0”的否定是( )
A． x0>0，x－2x0＋1≤0
B． x>0，x2－2x＋1≤0
C． x0≤0，x－2x0＋1≤0
D． x≤0，x2－2x＋1≤0
[解析] 含有量词的命题的否定，一改量词将“ ”改为“ ”，二否结论将“>”改为“≤”，条件不变．故选A.
3．(2023·天津卷) “a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
[解析] 由a2＝b2，则a＝±b，当a＝－b≠0时a2＋b2＝2ab不成立，充分性不成立；
由a2＋b2＝2ab，则(a－b)2＝0，即a＝b，显然a2＝b2成立，必要性成立；
所以a2＝b2是a2＋b2＝2ab的必要不充分条件．故选B.
4．下列命题正确的是( )
A．若a>b，则<
B．若a>b>0，c>d，则a·c>b·d
C．若a>b，则a·c2>b·c2
D．若a·c2>b·c2，则a>b
[解析] 由题意，对于选项A中，当a>0>b时，此时>，所以A是错误的；对于选项B中，当0>c>d时，此时不等式不一定成立，所以B是错误的；对于选项C中，当c＝0时，不等式不成立，所以C是错误的；根据不等式的性质，可得若ac2>bc2时，则a>b是成立的，所以D是正确的．故选D.
5．已知2x＋3y＝3，若x，y均为正数，则＋的最小值是( )
A． B．
C．8 D．24
[解析] 因为2x＋3y＝3，x，y均为正数，
则＋＝(2x＋3y)
＝≥＝8，
当且仅当＝且2x＋3y＝3，即x＝，y＝时取等号，所以＋的最小值是8.故选C.
6．集合{y∈N|y＝－x2＋6，x∈N}的真子集的个数是( )
A．9 B．8
C．7 D．6
[解析] x＝0时，y＝6；x＝1时，y＝5；x＝2时，y＝2；x＝3时，y＝－3.
所以{y∈N|y＝－x2＋6，x∈N}＝{2,5,6}共3个元素，其真子集的个数为23－1＝7个．故选C.
7．若不等式4x2＋ax＋4>0的解集为R，则实数a的取值范围是( )
A．{a|－16
C．{a|a<0} D．{a|－8[解析] 不等式4x2＋ax＋4>0的解集为R，
所以Δ＝a2－4×4×4<0，解得－8所以实数a的取值范围是{a|－88．(2022·浙江卷)已知a，b∈R，若对任意x∈R，a|x－b|＋|x－4|－|2x－5|≥0，则( )
A．a≤1，b≥3 B．a≤1，b≤3
C．a≥1，b≥3 D．a≥1，b≤3
[解析] 由题意有：对任意的x∈R，有a|x－b|≥|2x－5|－|x－4|恒成立．
设f(x)＝a|x－b|，g(x)＝|2x－5|－|x－4|＝
即f(x)的图象恒在g(x)的上方可重合，如下图所示：
由图可知，a≥3,1≤b≤3，或1≤a<3,1≤b≤4－≤3.故选D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．设全集U＝{0,1,2,3,4,5}且A∩B＝{0}，( UA)∩B＝{2,4}，( UB)∩A＝{1,3}，则下列判断正确的是( )
A．A＝{1,3} B．B＝{0,2,4}
C．A∪B＝{0,1,2,3,4} D． U(A∪B)＝{5}
[解析] 根据题意，可画出如下Venn图：
则可得A＝{0,1,3}，B＝{0,2,4}，A∪B＝{0,1,2,3,4}， U(A∪B)＝{5}．故选BCD.
10．下列命题中是真命题的是( )
A．“a>b>0”是“a2>b2”的充分条件
B．“a>b”是“3a>3b”的充要条件
C．“a>b”是“|a|>|b|”的充分条件
D．“a>b”是“ac2≤bc2”的必要条件
[解析] 当a>b>0时a2>b2，A正确；B正确；对于C，当a＝1，b＝－2时，满足a>b，但|a|<|b|，故C不正确；对于D，“a>b”与“ac2≤bc2”没有关系，不能相互推出，因此不正确．故选AB.
11．设a、b是正实数，下列不等式中正确的是( )
A．> B．a>|a－b|－b
C．a2＋b2>4ab－3b2 D．ab＋>2
[解析] 对于A，> 1> >，当a＝b>0时，不等式不成立，故A中不等式错误；对于B，a＋b>|a－b| a>|a－b|－b，故B中不等式正确；对于C，a2＋b2>4ab－3b2 a2＋4b2－4ab>0 (a－2b)2>0，当a＝2b时，不等式不成立，故C中不等式错误；对于D，ab＋≥2>2，故D中不等式正确．故选BD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若x>1，则y＝3x＋的最小值是 3＋2 .
[解析] ∵x>1，∴x－1>0，因此y＝3x＋＝3(x－1)＋＋3≥2＋3＝3＋2，
当且仅当3(x－1)＝，即x＝＋1时取等号，因此y＝3x＋的最小值是3＋2.
13．若集合M＝{x|x2＋x－12＝0}，N＝{x|mx＋1＝0}，且M∩N＝N，则实数m的值为 －或或0 .
[解析] 由题意得M＝{－4,3}，因为M∩N＝N，所以N M，所以N＝ 或{－4}或{3}．当N＝ 时，m＝0；当N＝{－4}时，m×(－4)＋1＝0，所以m＝；当N＝{3}时，m×3＋1＝0，所以m＝－.
综上可知，实数m的值为－或或0.
14．在下列所示电路图中，下列说法正确的是 (1)(2)(3) (填序号)．
(1)如图①所示，开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要条件；
(2)如图②所示，开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件；
(3)如图③所示，开关A闭合是灯泡B亮的充要条件；
(4)如图④所示，开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件．
[解析] (1)A闭合，B亮；而B亮时，A不一定闭合，故A是B的充分不必要条件，因此正确；(2)A闭合，B不一定亮；而B亮，A必须闭合，故A是B的必要不充分条件，因此正确；(3)A闭合，B亮；而B亮，A必闭合，所以A是B的充要条件，因此正确；(4)A闭合，B不一定亮；而B亮，A不一定闭合，所以A是B的既不充分也不必要条件，因此错误．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)已知集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{y|y＝x2＋2，x∈R}．分别求A∩B，( RB)∪A.
[解析] 因为A＝{x|x2－4x＋3<0}＝{x|(x－1)(x－3)<0}＝(1,3)，
又B＝{y|y＝x2＋2，x∈R}＝{y|y≥2}＝[2，＋∞)，
所以A∩B＝(1,3)∩[2，＋∞)＝[2,3)．
因为B＝[2，＋∞)，所以 RB＝(－∞，2)，
所以( RB)∪A＝(－∞，2)∪(1,3)＝(－∞，3)．
16．(15分)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，集合B＝{x|2m(1)若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求实数m的取值范围；
(2)若命题“B∩( RA)中只有一个整数”是真命题，求实数m的取值范围．
[解析] (1)若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，则B A.由题知，A＝{x|－1≤x≤2}．
①当m<时，B＝{x|2m②当m≥时，B＝ ，B A成立．
综上，实数m的取值范围是.
(2)∵A＝{x|－1≤x≤2}，∴ RA＝{x|x<－1或x>2}．
①当m<时，B＝{x|2m若( RA)∩B中只有一个整数，则－3≤2m<－2，
得－≤m<－1；
②当m≥时，B＝ ，( RA)∩B＝ ，不符合题意．
综上，实数m的取值范围是.
17．(15分)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于点(1,0)和(2,0)，与y轴交于点(0,2)．
(1)求二次函数的解析式；
(2)若x∈[1，＋∞)时，y≤2x2－(t＋3)x＋6恒成立，求实数t的取值范围．
[解析] (1)因为二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于点(1,0)和(2,0)，与y轴交于点(0,2)，所以解得
所以二次函数的解析式为y＝x2－3x＋2.
(2)因为x∈[1，＋∞)时，y≤2x2－(t＋3)x＋6恒成立，即t≤＝x＋对任意x∈[1，＋∞)恒成立，因为x＋≥2＝4，
当且仅当x＝2时取等号，所以t≤4.
所以实数t的取值范围是(－∞，4]．
18．(17分)已知某公司生产某款手机的年固定成本为400万元，每生产1万部还需另投入160万元．设公司一年内共生产该款手机x(x≥40)万部并且全部销售完，每万部的收入为R(x)万元，且R(x)＝－.
(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(万部)的函数关系式；
(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．
[解析] (1)由题意，可得年利润W关于年产量x的函数关系式为W＝xR(x)－(160x＋400)
＝x－(160x＋400)
＝74 000－－160x－400
＝73 600－－160x(x≥40)．
(2)由(1)可得W＝73 600－－160x
≤73 600－2
＝73 600－16 000＝57 600，
当且仅当＝160x，即x＝50时取等号，所以当年产量为50万部时，公司在该款手机的生产中获得的利润最大，最大值57 600万元．
19．(17分)已知函数y＝x2＋mx＋n(m，n∈R)．
(1)若m＋n＝0，解关于x的不等式y≥x(结果用含m式子表示)；
(2)若存在实数m，使得当x∈{x|1≤x≤2}时，不等式x≤y≤4x恒成立，求负数n的最小值．
[解析] (1)由题得：x≤x2＋mx－m，即(x＋m)(x－1)≥0；
①m＝－1时可得x∈R；
②m<－1时，－m>1，可得不等式的解集为{x|x≤1或x≥－m}；
③m>－1时，－m<1，
可得不等式的解集为{x|x≤－m或x≥1}．
(2)x∈{x|1≤x≤2}时，x≤x2＋mx＋n≤4x恒成立，
即为1≤x＋＋m≤4对x∈{x|1≤x≤2}恒成立，
即存在实数m，使得－x－＋1≤m≤－x－＋4对x∈{x|1≤x≤2}恒成立，
所以max≤m≤min，
即max≤min.
因为y＝－x，y＝(n<0)都是在[1,2]上函数值y随x的增大而减小，所以y＝－x－(n<0)在[1,2]上函数值y随x的增大而减小，所以－n≤m≤2－，
所以－n≤2－，即n≥－4，所以负数n的最小值为－4.
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第一章 预备知识
章末知识梳理
知识体系构建
要点专项突破
●要点一 元素与集合、集合与集合的关系
1．解元素与集合关系问题的注意点
(1)会分析一个集合是由哪些元素构成的，能判断有关元素是否在该集合出现．
(2)利用集合元素的互异性寻找解题的切入点．
(3)解题完毕，利用互异性验证答案的正确性．
2．集合间关系的判断方法
(1)定义法：根据定义直接判断元素与集合间的关系，得出集合间的关系．
(2)图示法：利用数轴或Venn图表示出相应的集合，根据图示直观地判断．
3．求解集合间关系问题的两个注意事项
(1)解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行分类讨论，分类时遵循“不重不漏”的原则，且对每类情况都要给出问题的解答．
(2)对于两集合A，B，当A B时，不要忽略A＝ 的情况．
注意：根据条件求集合中元素时，不要忘记检验元素的互异性．
例1：已知集合A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}且1∈A，则2 024a的值为_____.
[解析] 当a＋2＝1时，a＝－1，此时(a＋1)2＝0，a2＋3a＋3＝1，不满足集合中元素的互异性，故不成立；
当(a＋1)2＝1时，a＝0或a＝－2.当a＝－2时，a2＋3a＋3＝1舍去，经验证知a＝0符合题意；
当a2＋3a＋3＝1时，a＝－1或a＝－2，经验证知均不符合题意，故a＝0，所以2 024a＝1.
例2：已知集合A＝{x|2a－3(1)若A B，求实数a的取值范围．
(2)是否存在实数a，使得A＝B？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
[解析] (1)因为A B，所以集合A可以分为A＝ 或A≠ 两种情况来讨论：
当A＝ 时，2a－3≥3a＋1，解得a≤－4.
●要点二 集合的基本运算
1．集合基本运算的方法
(1)定义法或Venn图法：集合是用列举法给出的，运算时可直接借助定义求解，或把元素在Venn图中表示出来，借助Venn图观察求解．
(2)数轴法：集合是用不等式(组)给出的，运算时可先将不等式在数轴上表示出来，然后借助数轴求解．
2．集合与不等式结合的运算包含的类型及解决办法
(1)不含字母参数：直接将集合中的不等式解出，在数轴上求解．
(2)含有字母参数：若字母的取值影响到不等式的解，要先对字母分类讨论，再求解不等式，然后在数轴上求解．
例3：若U＝{1,2,3,4}，M＝{1,2}，N＝{2,3}，则 U(M∪N)是( )
A．{2} B．{4}
C．{1,3,4} D．{1,2,3}
[解析] 因M＝{1,2}，N＝{2,3}，则M∪N＝{1,2,3}，而U＝{1,2,3, 4}，
所以 U(M∪N)＝{4}．故选B.
例4：已知集合M＝{(x，y)|y＝2x－1，xy≤0}，N＝{(x，y)|y＝x2－4}，则M∩N中的元素个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．1或2
●要点三 充分条件和必要条件
充分条件与必要条件的判断方法
(1)定义法
(2)集合法：写出集合A＝{x|p(x)}及B＝{x|q(x)}，利用集合之间的包含关系加以判断．用集合法判断时，要尽可能用图示、数轴等几何方法，图形形象、直观，能简化解题过程，降低思维难度．
例5：根据下列所给的各组p，q填空：
①p：a<0，q：|a|>0；
②p：两个三角形的两边及其夹角分别对应相等，q：两个三角形全等；
③p：a＝b，q：a2＝b2；
④p：二次函数y＝x2＋k的图象过坐标原点，
q：k＝0；
⑤p：两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补，q：这两条直线平行；
⑥p：两直角三角形的斜边相等，q：两直角三角形全等．
其中p是q的充分不必要条件的有_________；
p是q的必要不充分条件的有________；
p是q的充要条件的有__________.
[解析] 对①，易知由p能得q，但是，若a>0，则由q不能得p，故p是q的充分不必要条件；
对②，根据三角形全等定理可知，p是q的充要条件；
对③，由p能得到q，但是，若a＝－b，则由q不能得p，故p是q的充分不必要条件；
对④，易知p是q的充要条件；
①③
⑥
②④⑤
对⑤，由直线平行定理可知，p是q的充要条件；
对⑥，由三角形全等定理可知，由p不能得q，但由q可以得p，故p是q的必要不充分条件．
例6：下列所给的各组p，q中，p是q的什么条件？
(1)p：△ABC中，∠BAC>∠ABC，q：△ABC中，BC>AC；
(2)p：a2<1，q：a<2；
[解析] (1)因为在三角形中大边对大角，小边对小角，反之也成立，所以当∠BAC>∠ABC时，有BC>AC；当BC>AC时，有∠BAC>∠ABC，所以p是q的充要条件．
(2)由a2<1，得－1●要点四 全称量词命题和存在量词命题及其否定
含有一个量词的命题的否定的方法
(1)一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论．
(2)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定．
例7：“ x∈Z，使x2＋2为偶数”，下列说法正确的是( )
A．是假命题
B．是真命题
C．它的否定为： x∈Z，x2＋2是奇数
D．它的否定为： x∈R，x2＋2为奇数
[解析] 当x＝0时，x2＋2＝2是偶数，故A错误，B正确；
因为“ x∈Z，使x2＋2为偶数”是存在量词命题，
所以其否定为全称量词命题，即为“ x∈Z，x2＋2是奇数”，故C、D错误．故选B.
例8：已知p： x∈R，使mx2－4x＋2＝0为假命题．
(1)求实数m的取值集合B.
(2)设A＝{x|3a＜x＜a＋2}为非空集合，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围．