素养等级测评五
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．函数y＝6x2＋x－1的零点是( C )
A．， B．，
C．，－ D．－，
[解析] 解方程6x2＋x－1＝0，即(3x－1)(2x＋1)＝0，解得x＝－或x＝，因此，函数y＝6x2＋x－1的零点为，－.故选C．
2．函数f(x)＝－＋log2x的零点所在区间是( C )
A． B．
C．(1，2) D．(2，3)
[解析] 易知增函数加增函数为增函数，函数f(x)在定义域(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝log21－＝－1<0，f(2)＝log22－＝1－＝>0，所以f(x)存在唯一零点x0，且x0∈(1，2)．故选C．
3．有一直角墙角的平面图如图所示，两边的长度足够长，在点P处有一棵树与两墙的距离分别是a m(0
A B C D
[解析] 设BC＝x，则AB＝16－x，则得
所以04．某物体一天中的温度T是关于时间t的函数：T(t)＝t3－3t＋60，时间单位是小时，温度单位是℃，当t＝0时，表示中午12∶00，其前t值取负，其后t值取正，则上午8时的温度是( A )
A．8 ℃ B．112 ℃
C．58 ℃ D．18 ℃
[解析] 求上午8时的温度，即求t＝－4时函数的值，所以T(－4)＝(－4)3－3×(－4)＋60＝8(℃)．故选A．
5．已知函数f(x)＝|lg x|－x有两个零点x1，x2(x1A．x1x2<0 B．x1x2＝1
C．x1x2>1 D．0[解析] 令g(x)＝|lg x|，t(x)＝x，画出函数g(x)和t(x)的图象如图所示．
过B点作平行于x轴的直线，设与g(x)的图象的另一个交点为C，令C点的横坐标为x3，则可得g(x2)＝g(x3)，即lg x2＝－lg x3，lg x2＋lg x3＝0，lg(x2x3)＝0，因此x2x3＝1，由图可知x10，故06．已知f(x)＝|ex－1|＋1，若函数g(x)＝f2(x)＋(a－2)·f(x)－2a有三个零点，则实数a的取值范围是( A )
A．(－2，－1) B．(－1，0)
C．(0，1) D．(1，2)
[解析] 若g(x)＝f2(x)＋(a－2)f(x)－2a＝[f(x)－2][f(x) ＋a]有三个零点，即方程[f(x)－2][f(x)＋a]＝0有三个根．当f(x)＝2时，由|ex－1|＋1＝2，得|ex－1|＝1，得ex－1＝1或ex－1＝－1，即ex＝2或ex＝0(不合题意)，则x＝ln 2，此时方程只有一个根，所以f(x)＝－a有两个不同的根．作出f(x)及y＝－a的图象如图所示，由图象知，1<－a<2，即－27．如图所示，阴影部分的面积S是h的函数(0≤h≤H)，则该函数的图象是如图所示的( C )
[解析] 由题图知，开始h＝0时阴影部分面积最大，排除A，B，对应阴影部分的面积随着h的增大，减得越来越慢．故选C．
8．某工厂生产两种成本不同的产品，由于市场发生变化，A产品连续两次提价20%，B产品连续两次降价20%，结果都以23.04元出售，此时厂家同时出售A，B产品各一件，盈亏情况为( B )
A．不亏不赚 B．亏5.92元
C．赚5.92元 D．赚28.96元
[解析] 依题意有A产品的原价为＝16元，B产品的原价为＝36元，若厂家同时出售A，B两种产品，则亏16＋36－2×23.04＝5.92元．故选B．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知函数f(x)＝＋x2－2，则在下列区间中f(x)存在零点的是( )
A．(－3，－2) B．
C．(2，3) D．(1，2)
[解析] 经计算f(－3)＝－＋－2＝>0，f(－2)＝－＋2－2＝－<0，f＝2＋－2＝>0，f(1)＝1＋－2＝－<0，f(2)＝＋2－2＝>0，f(3)＝＋－2＝>0，又f(x)图象在(－∞，0)连续，在(0，＋∞)图象也连续，根据函数零点存在定理可得f(x)在区间(－3，－2)，，(1，2)上存在零点．故选ABD．
10．下列函数中，是奇函数且存在零点的是( )
A．y＝x3＋x B．y＝log2x
C．y＝ D．y＝x|x|
[解析] f(x)＝x3＋x定义域为R，且f(－x)＝－x3－x＝－f(x)，故f(x)＝x3＋x为奇函数，且f(0)＝0，存在零点，A正确；y＝log2x定义域为(0，＋∞)，定义域不关于原点对称，故y＝log2x不是奇函数，B错误；y＝与x轴无交点，故无零点，C错误；g(x)＝x|x|定义域为R，且g(－x)＝－x·|－x|＝－x|x|＝－g(x)，故g(x)＝x|x|为奇函数，且g(0)＝0，D正确．故选AD．
11．甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系，下列结论正确的是( )
A．甲同学从家出发到乙同学家走了60 min
B．甲从家到公园的时间是30 min
C．甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快
D．当0≤x≤30时，y与x的关系式为y＝x
[解析] 在A中，甲在公园休息的时间是10 min，所以只走了50 min，A错误；由题中图象知B正确；甲从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长，而距离相等，所以甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢，C错误；当0≤x≤30时，设y＝kx(k≠0)，则2＝30k，解得k＝，D正确．故选BD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．一个水池每小时注入水量是全池的，水池还没注水部分的总量y随注水时间x变化的关系是 y＝1－x(0≤x≤10) .
[解析] 依题意列出函数式即可，但要注意函数定义域．
13．若函数f(x)＝x2＋(m－2)x＋5－m有两个不同的零点，则实数m的取值范围是_(－∞，－4)∪(4，＋∞)__，若这两个零点都大于2，则m的取值范围是_(－5，－4)__.
[解析] 若函数f(x)＝x2＋(m－2)x＋5－m有两个不同的零点，则Δ＝(m－2)2 －4(5－m)>0，解得m<－4或m>4.若这两个零点都大于2，
则解得－514．设a>0且a≠1，则方程ax ＋1＝－x2＋2x ＋2a的解的个数为_2__.
[解析] 原方程等价于ax＝－(x－1)2＋2a.当a>1时，分别画出y＝ax和y＝－(x－1)2＋2a的大致图象，注意到抛物线y＝－(x－1)2＋2a的顶点(1，2a)在(1，a)的上方，故此时两图象交点的个数是2，如图1；当0四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)已知函数f(x)＝x3－x2＋＋.证明：存在x0∈，使f(x0)＝x0.
[证明] 令g(x)＝f(x)－x，∵g(0)＝，g＝f－＝－，∴g(0)·g<0.
又函数g(x)在上的图象是连续曲线，
故存在x0∈，使g(x0)＝0，即f(x0)＝x0.
16．(15分)某商场为回馈客户，开展了为期15天的促销活动，经统计，在这15天中，第x天进入该商场的人次f(x)(单位：百人)近似满足f(x)＝5＋，而人均消费g(x)(单位：元)与时间x成一次函数，且第3天的人均消费为560元，第10天的人均消费为700元．
(1)求该商场的日收入y(单位：元)与时间x的函数关系式；
(2)求该商场第几天的日收入最少及日收入的最小值．
[解析] (1)设g(x)＝kx＋b，(k≠0)，
由题意可行
解得则g(x)＝20x＋500，
故y＝f(x)g(x)＝100(20x＋500)
＝100(1≤x≤15，x∈N*)．
(2)因为x＞0，所以100x＋≥2＝1 000，当且仅当x＝5时，等号成立，
则100≥100×(1 000＋2 600)＝360 000，
故该商场第5天的日收入最少，且日收入的最小值为360 000元．
17．(15分)定义在R上的偶函数f(x)，当x≤0时，f(x)＝x2＋2x＋1.
(1)求函数f(x)在R上的表达式，并在图中的直角坐标系中画出函数f(x)的大致图象；
(2)若g(x)＝f(x)－m有四个零点，求实数m的取值范围．
[解析] (1)因为定义在R上的偶函数f(x)，当x≤0时，f(x)＝x2＋2x＋1，
则f(－x)＝f(x)，令x>0，则－x<0，则f(－x)＝x2－2x＋1＝f(x)，
所以f(x)＝作出函数图象，如图所示：
(2)令g(x)＝f(x)－m＝0，则f(x)＝m，若g(x)＝f(x)－m有四个零点，
则函数y＝f(x)，y＝m两个函数的图象有四个交点，
由图可知m∈(0，1)．
18．(17分)对于函数f(x)，若在其定义域内存在实数x0，使得f(x0＋1) ＝f(x0) ＋f(1)成立，则称f(x)有“※点”x0.
(1)判断函数f(x)＝x2＋2x在[0，1]上是否有“※点”，并说明理由；
(2)若函数f(x)＝lg在(0， ＋∞)上有“※点”，求正实数a的取值范围．
[解析] (1)f(x)＝x2＋2x在[0，1]上有“※点”．
证明如下：
令g(x)＝f(x＋1)－f(x)－f(1)＝(x＋1)2＋2x＋1－x2－2x－3＝2x＋2x－2，则x0为g(x)的零点，
因为g(0)＝－1，g(1)＝2，所以g(0)g(1)<0.
由零点存在定理可知，函数g(x)在区间[0，1]上至少有1个零点，
即f(x＋1)＝f(x)＋f(1)在[0，1]上至少有1个实根，
所以函数f(x)＝x2 ＋2x在[0，1]上有“※点”．
(2)若函数f(x)＝lg在(0，＋∞)上有“※点”，
则存在实数x0∈(0，＋∞)，使得f(x0＋1)＝f(x0)＋f(1)成立，即lg＝lg＋lg，
整理得(2－a)x－2ax0＋2－2a＝0，x0>0.
当a＝2时，解得x0＝－<0，不符合题意；
当a≠2时，令h(x)＝(2－a)x2－2ax＋2－2a，
则h(x)在(0，＋∞)上有零点．
当a>2时，h(x)的图象开口向下，对称轴为直线x＝，且<0，h(x)在(0，＋∞)上单调递减，h(0)＝2－2a<0，
所以h(x)在(0，＋∞)上恒小于零，不符合题意；
当00，
由题意知Δ＝4a2－4(2－a)(2－2a)≥0，即a2－6a ＋4≤0，
解得3－≤a≤3＋.
又0综上所述，正实数a的取值范围为[3－ ，2)．
19．(17分)今年入秋以来，某市多有雾霾天气，空气污染较为严重．市环保研究所对近期每天的空气污染情况进行调查研究后发现，每一天中空气污染指数f(x)与时刻x(时)的函数关系为f(x)＝|log25(x＋1)－a|＋2a＋1，x∈[0，24]，其中a为空气治理调节参数，且a∈(0，1)．
(1)若a＝，求一天中哪个时刻该市的空气污染指数最低；
(2)规定每天中f(x)的最大值作为当天的空气污染指数，要使该市每天的空气污染指数不超过3，则调节参数a应控制在什么范围内？
[解析] (1)因为a＝，所以f(x)＝＋2≥2.
当f(x)＝2时，log25(x＋1)－＝0，则x＋1＝25＝5，解得x＝4.
所以一天中凌晨4点该市的空气污染指数最低．
(2)设t＝log25(x＋1)，由0≤x≤24，得0≤t≤1.
设g(t)＝|t－a|＋2a＋1，t∈[0，1]，则g(t)＝
所以g(t)在[0，a]上单调递减，在(a，1]上单调递增，
所以f(x)max＝max{g(0)，g(1)}．
g(0)＝3a＋1，g(1)＝a＋2，
由g(0)－g(1)＝2a－1>0，得a>.
∴当a∈时，g(0)为f(x)最大值，
由3a＋1≤3，得a≤，
∴a∈，
当a∈时g(1)为f(x)最大值，由a＋2≤3，a≤1，
∴a∈.
综上，a∈.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共16张PPT)
第五章 函数应用
章末知识梳理
知识体系构建
要点专项突破
●要点一 函数零点存在定理
求函数y＝f(x)的零点的方法
(1)代数法：根据零点的定义，解方程f(x)＝0，它的实数根就是函数y＝f(x)的零点．
(2)几何法：若方程f(x)＝0的解不易求出，可以根据函数y＝f(x)的性质及图象求出零点．例如，已知f(x)是定义在R上的减函数，且f(x)为奇函数，求f(x)的零点：因为y＝f(x)是定义在R上的奇函数，那么由R上的奇函数的性质可知f(0)＝0，因为y＝f(x)是定义在R上的减函数，所以不存在其他的x使f(x)＝0，从而y＝f(x)的零点是0.
例1：判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出零点：
[分析] 求函数的零点就是求相应方程的实数解．
(3)令3x－9＝0，即3x＝9，解得x＝2，
所以函数f(x)＝3x－9存在零点，且零点为2.
(4)令1－log3x＝0，解得x＝3，
所以函数f(x)＝1－log3x存在零点，且零点是3.
●要点二 函数零点的运算
(1)“初始区间”是一个两端点函数值异号的区间，是方程f(x)＝0的有解区间．
(2)初始区间的选定，往往需要通过分析函数的性质和试算．初始区间选得不同，虽然不影响最终计算结果，但可能影响计算量的大小．在确定初始区间时，应使区间长度尽量小．
(3)新区间的一个端点是原区间的中点，另一端点是原区间两端点中的一个，并且新区间两端点的函数值异号．
(4)若方程f(x)＝0有多个解，则需要选取不同的初始区间来求得不同解的近似值．
例2：用二分法求函数f(x)＝ln(x＋1)＋x－1在区间(0，1)上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为( )
A．5 B．6
C．7 D．8
又n∈N，n≥7，且n∈N＋，故所需二分区间的次数最少为7.故选C.
●要点三 实际问题的应用
(1)建立函数模型解决实际问题的基本思想与建模系统图
①基本思想
②建模系统图
(2)建立函数模型解决实际问题的解题步骤
第一步，审题，引进数学符号，建立数学模型，了解变量的含义，若模型中含有待定系数，则需要进一步用待定系数法或其他方法求得系数；
第二步，求解数学模型，利用数学知识，如函数的单调性、最值等，对函数模型进行解答；
第三步，转译成实际问题的解．
例3：某种传染病疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，其中指数增长率r≈0.38，则在该种传染病疫情初始阶段，累计感染病例数扩大到原来的10倍需要的时间约为(ln 10≈2.30)( )
A．4天 B．6天
C．8天 D．10天