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第二章 函数
章末知识梳理
知识体系构建
要点专项突破
●要点一 求函数的定义域
关于函数定义域的求法
关注解析式中的根号、分母、零次幂有意义；抽象函数的定义域一般用代入法求；在实际问题中还要定义域符合实际意义．
A．(1,2] B．(1,5]
C．[1,2] D．[1,5]
(3)将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的解析式，并写出此函数的定义域．
●要点二 求函数解析式
求函数解析式的题型与相应的解法
(1)已知形如f[g(x)]的解析式求f(x)的解析式，使用换元法或配凑法．
(2)已知函数的类型(往往是一次函数或二次函数)，使用待定系数法．
例2：已知f(x)＋2f(－x)＝3x＋1，则f(x)＝( )
例3：已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9，求f(x)．
[解析] 由题意，设函数为f(x)＝ax＋b(a≠0)，
因为3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9，所以3a(x＋1)＋3b－ax－b＝2x＋9，即2ax＋3a＋2b＝2x＋9，
●要点三 函数的单调性与最值
1．关于单调性的判断
判断函数的单调性时可以先用观察法，再考虑用图象法、定义法．
2．关于函数的最值
一般的方法是先证明或判断函数的单调性，再利用单调性求最值．对于含参数的一元二次函数，则需要讨论对称轴与区间的位置关系．
例5：已知函数f(x)＝－x|x|＋2x，则下列结论正确的是( )
A．递增区间是(0，＋∞)
B．递减区间是(－∞，－1)
C．递增区间是(－∞，－1)
D．递增区间是(－1,1)
例6：已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2.
(1)当a＝－1时，求函数f(x)在区间[－5,5]上的最大值和最小值；
(2)用a表示出函数f(x)在区间[－5,5]上的最值．
[解析] (1)当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，
因为x∈[－5,5]，故当x＝1时，f(x)取得最小值，f(x)min＝f(1)＝1；当x＝－5时，f(x)取得最大值，f(x)max＝f(－5)＝(－5－1)2＋1＝37.
(2)函数f(x)＝x2＋2ax＋2＝(x＋a)2＋2－a2的图象开口向上，对称轴为x＝－a.
当－a≤－5，即a≥5时，函数在区间[－5,5]上是增函数，所以f(x)max＝f(5)＝27＋10a，f(x)min＝f(－5)＝27－10a；
当－5<－a≤0，即0≤a<5时，函数图象如图①所示，由图象可得f(x)min＝f(－a)＝2－a2，f(x)max＝f(5)＝27＋10a；
当0<－a<5，即－5
f(x)min＝f(－a)＝2－a2；
当－a≥5，即a≤－5时，函数在区间[－5,5]上是减函数，所以f(x)min＝f(5)＝27＋10a，f(x)max＝f(－5)＝27－10a.
综上可得，当a≥5时，f(x)在区间[－5,5]上的最大值为27＋10a，最小值为27－10a；
当0≤a<5时，f(x)在区间[－5,5]上的最大值为27＋10a，最小值为2－a2；
当－5当a≤－5时，f(x)在区间[－5,5]上的最大值为27－10a，最小值为27＋10a.
●要点四 函数的奇偶性
函数单调性与奇偶性应用的常见题型
(1)用定义判断或证明函数的单调性和奇偶性．
(2)利用函数的单调性和奇偶性求单调区间．
(3)利用函数的单调性和奇偶性比较大小、解不等式．
(4)利用函数的单调性和奇偶性求参数的取值范围．
例7：(1)已知定义在R上的函数f(x)，下列说法中正确的个数是( )
①f(x)＋f(－x)是偶函数；②f(x)－f(－x)是奇函数；③f(x)f(－x)是偶函数；④f(|x|)是偶函数；⑤|f(x)|是偶函数．
A．2 B．3
C．4 D．5
(2)定义在[－1,1]上的奇函数f(x)单调递减，且满足f(1－a)＋f(1－a2)＜0，则实数a的取值范围为_____________.
[0,1)
[解析] (1)根据题意，依次分析5个说法，
对于①，设g(x)＝f(x)＋f(－x)，
其定义域为R，有g(－x)＝f(－x)＋f(x)＝g(x)，
则f(x)＋f(－x)是偶函数，①正确．
对于②，设g(x)＝f(x)－f(－x)，其定义域为R，有g(－x)＝f(－x)－f(x)＝－g(x)，则f(x)－f(－x)是奇函数，②正确．
对于③，设g(x)＝f(x)f(－x)，其定义域为R，有g(－x)＝f(－x)f(x)＝g(x)，
则f(x)f(－x)是偶函数，③正确．
(1)根据a的不同取值，判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由；
(2)若a∈(1,3)，判断函数f(x)在[1,2]上的单调性，并说明理由．
●要点五 函数的图象及应用
作函数图象的方法
(1)利用描点法作图
①确定函数的定义域；
②化简函数的解析式；
③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性)；
④画出函数的图象．
(2)图象变换
①平移变换(左加右减，上加下减)：
(ⅰ)把函数f(x)的图象向左平移a(a>0)个单位长度，得到函数f(x＋a)的图象；
(ⅱ)把函数f(x)的图象向右平移a(a>0)个单位长度，得到函数f(x－a)的图象；
(ⅲ)把函数f(x)的图象向上平移a(a>0)个单位长度，得到函数f(x)＋a的图象；
(ⅳ)把函数f(x)的图象向下平移a(a>0)个单位长度，得到函数f(x)－a的图象．
2
f(x)的图象是图中的实线部分，图象的最低点是点B(1,2)，所以f(x)的最小值是2.
(3)由二次函数与反比例函数图象可知当k<0时，此时y＝kx2－k图象开口向下，且与y轴交点在y轴正半轴，故A正确，不符合题意，C、D错误，符合题意；由二次函数与反比例函数图象可知当k>0时，此时y＝kx2－k图象开口向上，且与y轴交点在y轴负半轴，故B错误，符合题意．故选BCD.素养等级测评二
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．函数y＝x2－2x，x∈[－1,3]的值域为( )
A．[0,3] B．[－1,3]
C．[－1,0] D．[1,3]
[解析] 函数的对称轴为直线x＝1，
因为x∈[－1,3]，所以当x＝1时，函数取得最小值y＝1－2＝－1，当x＝3或x＝－1时函数取得最大值y＝1＋2＝3，即函数的值域为[－1,3]．故选B.
2．下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的为( )
A．y＝x＋1 B．y＝－x3
C．y＝ D．y＝x|x|
[解析] A中函数为非奇非偶函数，B中函数为奇函数，C中函数为偶函数，D中函数为奇函数．故选A.
3．已知函数y＝f(x)的部分x与y的对应关系如下表：
x －3 －2 －1 0 1 2 3 4
y 3 2 1 0 0 －1 －2 －3
则f[f(4)]＝( )
A．－1 B．－2
C．－3 D．3
[解析] 由图表可知，f(4)＝－3，∴f[f(4)]＝f(－3)＝3.故选D.
4．已知幂函数f(x)＝xα的图象过点，则函数g(x)＝(x－2)f(x)在区间上的最小值是( )
A．－1 B．－2
C．－3 D．－4
[解析] 由已知得2α＝，解得α＝－1，∴g(x)＝＝1－在区间上单调递增，则g(x)min＝g＝－3.故选C.
5．已知函数f(x－1)＝x2－3，则f(2)的值是( )
A．－2 B．6
C．1 D．0
[解析] 方法一：令x－1＝2，则x＝3，
∴f(2)＝32－3＝6.
方法二：令x－1＝t，则x＝t＋1，
∴f(t)＝(t＋1)2－3＝t2＋2t－2，
∴f(2)＝22＋2×2－2＝6.故选B.
6．已知减函数f(x)＝－3x3－2x，若f(m－3)＋f(－2m)<0，则实数m的取值范围为( )
A．(－∞，3) B．(3，＋∞)
C．(－∞，－3) D．(－3，＋∞)
[解析] 易知f(x)为R上的奇函数，且在R上单调递减，由f(m－3)＋f(－2m)<0，得f(m－3)<－f(－2m)＝f(2m)，于是得m－3>2m，解得m<－3.故选C.
7．如图，点P在边长为1的正方形边上运动，设M是CD的中点，则当P沿A－B－C－M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y之间的函数y＝f(x)的图象大致是( )
[解析] 根据题可得，当0当1当2∴y＝f(x)＝
根据函数解析式，结合图形，可知选项A符合．故选A.
8．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)且在区间[0,2]上是增函数，则( )
A．f(－1)C．f(3)[解析] 因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0，
又f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，则f(4)＝－f(0)＝0，
又f(x)＝－f(－x)且f(x－4)＝－f(x)，
所以f(3)＝－f(－3)＝－f(1－4)＝f(1)，
又f(x)在区间[0,2]上是增函数，所以f(1)>f(0)，
即f(1)>0，所以f(－1)＝－f(1)<0，f(3)＝f(1)>0，可得f(－1)二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列函数中，在(－∞，0)上为增函数的是( )
A．y＝|x|＋1 B．y＝
C．y＝－ D．y＝x＋
[解析] 在A中，当x<0时，y＝|x|＋1＝－x＋1，在(－∞，0)上为减函数；在B中，当x<0时，y＝＝－1，在(－∞，0)上既不是增函数，也不是减函数；在C中，当x<0时，y＝－＝x，在(－∞，0)上是增函数；在D中，当x<0时，y＝x＋＝x－1，在(－∞，0)上是增函数．故选CD.
10．已知f(x)＝3－2|x|，g(x)＝x2－2x，F(x)＝则F(x)( )
A．最小值－1 B．最大值为7－2
C．无最小值 D．无最大值
[解析] 作出F(x)的图象，如图实线部分，知有最大值而无最小值，且最大值不是3，由得x＝2－，∴x＝2－时F(x)max＝7－2.故选BC.
11．已知f(x)是定义在[0，＋∞)上的函数，根据下列条件，可以断定f(x)是增函数的是( )
A．对任意x≥0，都有f(x＋1)>f(x)
B．对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1≥x2，都有f(x1)≥f(x2)
C．对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1－x2<0，都有f(x1)－f(x2)<0
D．对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1≠x2，都有>0
[解析] 根据题意，依次分析选项：对于选项A，对任意x≥0，都有f(x＋1)>f(x)，不满足函数单调性的定义，不符合题意；对于选项B，当f(x)为常数函数时，对任意x1，x2∈[0，＋∞)，都有f(x1)＝f(x2)，不是增函数，不符合题意；对于选项C，对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1－x2<0，都有f(x1)－f(x2)<0，符合题意；对于选项D，对任意x1，x2∈[0，＋∞)，设x1>x2，若>0，必有f(x1)－f(x2)>0，则函数在[0，＋∞)上为增函数，符合题意．故选CD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．函数f(x)＝＋的定义域是_(－∞，0)∪(0,1]__.
[解析] 因为f(x)＝＋，所以解得x≤1且x≠0，
故函数的定义域为(－∞，0)∪(0,1]．
13．已知函数f(x)＝(x＋a)(x－a2)是偶函数，则a的值为_0或1__.
[解析] f(x)＝(x＋a)(x－a2)＝x2＋(a－a2)x－a3，f(－x)＝x2－(a－a2)x－a3，
因为函数f(x)为偶函数，
所以f(x)＝f(－x)，
即x2＋(a－a2)x－a3＝x2－(a－a2)x－a3，
故a－a2＝0，解得a＝0或a＝1.
14．设函数f(x)＝若f(x)存在最小值，则a的一个取值为_0(答案不唯一)__；a的最大值为_1__.
[解析] 若a＝0时，f(x)＝∴f(x)min＝0；
若a<0时，当x若a>0时，
当xf(a)＝－a2＋1，
当x>a时，f(x)min＝
∴－a2＋1≥0或－a2＋1≥(a－2)2，
解得0四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)已知函数f(x)＝.
(1)判断函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并说明理由；
(2)求函数f(x)在[2,3]上的最大值和最小值，并写出相应x的值．
[解析] (1)由f(x)＝得f(x)＝1＋，所以函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减，证明如下：
令1又x2－x1>0，x1－1>0，x2－1>0，
所以>0，即f(x1)－f(x2)>0，
所以f(x1)>f(x2)，
所以函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减．
(2)由(1)可知，函数f(x)在[2,3]上单调递减，
所以当x＝2时，函数f(x)取得最大值f(2)＝＝2；
当x＝3时，函数f(x)取得最小值f(3)＝＝.
16．(15分)已知函数f(x)＝(a≠1)．
(1)若a>0，求f(x)的定义域；
(2)若f(x)在区间(0,1]上单调递减，求实数a的取值范围．
[解析] (1)当a>0且a≠1时，由3－ax≥0得x≤，即函数f(x)的定义域是.
(2)当a－1>0，即a>1时，要使f(x)在(0,1]上单调递减，则需3－a×1≥0，此时1当a－1<0，即a<1时，要使f(x)在(0,1]上单调递减，则需－a>0，且3－a×0≥0，此时a<0.
综上所述，所求实数a的取值范围是(－∞，0)∪(1,3]．
17．(15分)某企业自主研发了一款具有自主知识产权的平板电脑，并从2021年起全面发售．经测算，生产该平板电脑每年需投入固定成本1 350万元，每生产x(千台)电脑需要另投成本T(x)(万元)，且T(x)＝另外，每台平板电脑售价为0.6万元，假设每年生产的平板电脑能够全部售出．已知2023年共售出10 000台平板电脑，企业获得年利润为1 650万元．
(1)求企业获得年利润W(x)(万元)关于年产量x(千台)的函数关系式；
(2)当年产量为多少(千台)时，企业所获年利润最大？并求最大年利润．
[解析] (1)10 000台平板电脑，即10千台，此时T(10)＝100a＋2 000，
根据题意得0.6×10 000－100a－2 000－1 350＝1 650，
解得a＝10，
故当0当x≥40时，W(x)＝0.6×1 000x－1 350－601x－＋7 450＝－x－＋6 100，
综上W(x)＝
(2)当0当x≥40时，W(x)＝－x－＋6 100＝6 100－≤6 100－2＝5 900，当且仅当x＝，即x＝100时，等号成立，W(x)max＝5 900，因为5 900>3 900，
所以当年产量为100千台时，企业所获年利润最大，最大年利润为5 900万元．
18．(17分)如果函数y＝f(x)(x∈D)满足：
①f(x)在D上是单调函数；
②存在闭区间[a，b] D，使f(x)在区间[a，b]上的值域也是[a，b]．
那么就称函数y＝f(x)为闭函数．
试判断函数y＝x2＋2x在[－1，＋∞)内是否为闭函数．如果是闭函数，那么求出符合条件的区间[a，b]；如果不是闭函数，请说明理由．
[解析] 设x1，x2是[－1，＋∞)内的任意两个不相等的实数，且－1≤x1f(x2)－f(x1)＝(x＋2x2)－(x＋2x1)
＝(x－x)＋2(x2－x1)＝(x2－x1)(x1＋x2＋2)．
∵－1≤x10，x1＋x2＋2>0.
∴(x2－x1)(x1＋x2＋2)>0.
∴f(x2)>f(x1)．
∴函数y＝x2＋2x在[－1，＋∞)内是增函数．
假设存在符合条件的区间[a，b]，则有
即
解得或或或
又∵－1≤a∴函数y＝x2＋2x在[－1，＋∞)内是闭函数，符合条件的区间是[－1,0]．
19．(17分)已知函数y＝x＋有如下性质：如果常数t>0，那么该函数在(0，)上是减函数，在[，＋∞)上是增函数．
(1)已知f(x)＝，x∈[0,1]，利用上述性质，求函数f(x)的单调区间和值域；
(2)对于(1)中的函数f(x)和函数g(x)＝－x－2a，若对任意x1∈[0,1]，总存在x2∈[0,1]，使得g(x2)＝f(x1)成立，求实数a的值．
[解析] (1)y＝f(x)＝＝2x＋1＋－8，设u＝2x＋1，x∈[0,1]，∴1≤u≤3，则y＝u＋－8，u∈[1,3]．由已知性质得，当1≤u≤2，即0≤x≤时，f(x)单调递减，所以单调减区间为；当2≤u≤3，即≤x≤1时，f(x)单调递增，所以单调增区间为；由f(0)＝－3，f＝－4，f(1)＝－，得f(x)的值域为[－4，－3]．
(2)g(x)＝－x－2a为减函数，故g(x)∈[－1－2a，－2a]，x∈[0,1]．由题意知，f(x)的值域是g(x)的值域的子集，∴∴a＝.
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