素养等级测评七
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列事件中是随机事件的是( D )
A．所有四边形的内角和为180°
B．通常加热到100 ℃，水沸腾
C．袋中有2个黄球，3个绿球，共5个球，随机摸出一个球是红球
D．抛掷一枚硬币两次，第一次正面向上，第二次反面向上
[解析] A．所有四边形的内角和为360°，所以该事件是不可能事件；B．通常加热到100 ℃，水沸腾，在一定条件下，是必然事件；C．袋中有2个黄球，3个绿球，共5个球，随机摸出一个球是红球，是不可能事件；D．抛掷一枚硬币两次，第一次正面向上，第二次反面向上，是随机事件，可能发生，也可能不发生，是随机事件．故选D．
2．甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加“《论语》知识大赛”，决出了第1名到第5名的名次．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“虽然你的成绩比乙好，但是你俩都没得到第一名”；对乙说：“你当然不会是最差的”．从上述回答分析，丙是第一名的概率是( B )
A． B．
C． D．
[解析] 甲、乙都不可能是第一名，第一名只可能是丙、丁、戊，又考虑到所有的限制条件对丙、丁都没有影响，所以这三个人获得第一名是等可能事件，所以丙是第一名的概率是.故选B．
3．某篮球运动员进行投篮训练，连续投篮两次，设事件A表示随机事件“两次都投中”，事件B表示随机事件“两次都未投中”，事件C表示随机事件“恰有一次投中”，事件D表示随机事件“至少有一次投中”，则下列关系不正确的是( C )
A．A D B．B∩D＝
C．A∪B＝B∪D D．A∪C＝D
[解析] 根据题意可得：事件A表示“两次都投中”；事件B表示“两次都未投中”；事件C表示“恰有一次投中”；事件D表示“至少有一次投中”，即表示“两次都投中”或“恰有一次投中”，故A D，所以选项A正确；事件B和事件D是对立事件，故B∩D＝ ，所以选项B正确；事件A∪B表示“两次都投中”或“两次都未投中”，而事件B∪D表示“两次都未投中”“两次都投中”或“恰有一次投中”，故选项C错误；事件A∪C表示“两次都投中”或“恰有一次投中”，故A∪C＝D，所以选项D正确．故选C．
4．掷一枚均匀的正六面体骰子，设A表示事件“出现2点”，B表示“出现奇数点”，则P(A∪B)等于( B )
A． B．
C． D．
[解析] 由古典概型的概率公式得P(A)＝，P(B)＝＝.又事件A与B为互斥事件，由互斥事件的概率和公式得P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.故选B．
5．中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一，古代数学家称直角三角形较短的直角边为勾，另一直角边为股，斜边为弦，如图，现将一个勾三股四弦五的三角形放入平面直角坐标系xOy中，在坐标系中任取一点M(x，y)，其中x∈{0，1，2，3，4}，y∈{0，1，2，3}，则点M落在该三角形内(含边界)的概率为( C )
A． B．
C． D．
[解析] 依题意可知点M的个数为20个，落在三角形内的有11个，故概率为.故选C．
6．某商场对某一商品搞活动，已知该商品每一个的进价为3元，售价为8元，每天销售的第20个及之后的商品按半价出售，该商场统计了近10天这种商品的销售量，如图所示．设x为这种商品每天的销售量，y为该商场每天销售这种商品的利润，从日利润不少于96元的几天里任选2天，则选出的这2天日利润都是97元的概率为( B )
A． B．
C． D．
[解析] 日销售量不少于20个时，日利润不少于96元，其中日销售量为20个时，日利润为96元；日销售量为21个时，日利润为97元．从条形统计图可以看出，日销售量为20个的有3天，日销售量为21个的有2天，日销售量为20个的3天记为a，b，c，日销售量为21个的2天记为A，B，从这5天中任选2天，可能的情况有10种：(a，b)，(a，c)，(a，A)，(a，B)，(b，c)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)，(A，B)，其中选出的2天日销售量都为21个的情况只有1种，故所求概率P＝.故选B．
7．甲、乙、丙三人进行传球游戏，每次投掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传球的方式，当球在甲手中时，若骰子点数大于3，则甲将球传给乙，若点数不大于3，则甲将球保留；当球在乙手中时，若骰子点数大于4，则乙将球传给甲，若点数不大于4，则乙将球传给丙；当球在丙手中时，若骰子点数大于3，则丙将球传给甲，若点数不大于3，则丙将球传给乙．初始时，球在甲手中，投掷3次骰子后，球在甲手中的概率为( D )
A． B．
C． D．
[解析] 由题意，当投掷3次骰子后，球在甲手中，共有4种情况：①：甲→甲→甲→甲，其概率为××＝，②：甲→甲→乙→甲，其概率为××＝，③：甲→乙→甲→甲，其概率为××＝，④：甲→乙→丙→甲，其概率为××＝，所以投掷3次后，球在甲手中的概率为P＝＋＋＋＝.故选D．
8．已知某运动员每次投篮命中的概率是40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下10组随机数：907 966 191 925 271 431 932 458 569 683.该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( C )
A． B．
C． D．
[解析] 由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了10组随机数，在10组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有191，932，271共3组随机数，故所求概率为.故选C．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知某厂的产品合格率为0.8，现抽出10件产品检查，则下列说法不正确的是( ABC )
A．合格产品少于8件
B．合格产品多于8件
C．合格产品正好是8件
D．合格产品可能是8件
[解析] 某厂的产品合格率为0.8，现抽出10件产品检查，合格产品可能是8件．故选ABC．
10．甲、乙两人做游戏，下列游戏中公平的是( )
A．抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜
B．同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于7则甲胜，否则乙胜
C．从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜
D．甲、乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜
[解析] 对于A，C，D，甲胜、乙胜的概率都是，游戏是公平的；对于B，点数之和大于7与点数之和小于7的概率相等，但点数之和小于或等于7时乙胜，所以甲胜的概率小，游戏不公平．故选ACD．
11．(2023·全国Ⅱ卷)在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为α(0<α<1)，收到0的概率为1－α；发送1时，收到0的概率为β(0<β<1)，收到1的概率为1－β.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1，0，1，则译码为1)．( )
A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为(1－α)(1－β)2
B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为β(1－β)2
C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为β(1－β)2＋(1－β)3
D．当0<α<0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率
[解析] 依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1接收1的3个事件的积，它们相互独立，所以所求概率为(1－β)(1－α)(1－β)＝(1－α)(1－β)2，A正确；三次传输，发送1，相当于依次发送1，1，1，则依次收到1，0，1的事件，是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的3个事件的积，它们相互独立，所以所求概率为(1－β)·β·(1－β)＝β(1－β)2，B正确；三次传输，发送1，则译码为1的事件是依次收到1，1，0、1，0，1、0，1，1和1，1，1的事件和，它们互斥，由选项B知，所以所求的概率为3β(1－β)2＋(1－β)3＝(1－β)2(1＋2β)，C错误；由选项C知，三次传输，发送0，则译码为0的概率P＝(1－α)2(1＋2α)，单次传输发送0，则译码为0的概率P′＝1－α，而0<α<0.5，因此P－P′＝(1－α)2(1＋2α)－(1－α)＝α(1－α)(1－2α)>0，即P>P′，D正确．故选ABD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．如图所示，有一个正十二面体，12个面上分别写有1～12这12个整数，投掷这个正十二面体一次，则向上一面的数字是2的倍数或3的倍数的概率为 .
[解析] 由题意可知，所有的样本点数为12，其中为2或3的倍数的是2，3，4，6，8，9，10，12，共8个，故所求的概率为＝.
13．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：cm)数据绘制成频率分布直方图(如下图)．由图中数据可知a＝_0.030__.若要从身高在[120，130)，[130，140)，[140，150]三组的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]的学生中选取的人数应为_3__.
[解析] ∵0.005×10＋0.035×10＋a×10＋0.020×10＋0.010×10＝1，
∴a＝0.030.
设身高在[120，130)，[130，140)，[140，150]三组的学生分别有x，y，z人，
则＝0.030×10，解得x＝30.
同理，y＝20，z＝10.
故从[140，150]的学生中选取的人数为×18＝3.
14．甲、乙两位同学玩游戏，对于给定的实数a1，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各掷一枚质地均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把a1乘以2后再减去6；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把a1除以2后再加上6；这样就可以得到一个新的实数a2，对实数a2仍按上述方法进行一次操作，又可以得到一个新的实数a3，当a3
[解析] 抛掷两枚硬币，出现两个正面朝上或两个反面朝上的概率为2×eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\co1())2＝，出现一个正面朝上，一个反面朝上的概率为2×eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\co1())2＝，
由题意可知，进行两次操作后，可得如下情况：
①操作两次都是两个正面朝上或两个反面朝上，则a3＝2(2a1－6)－6＝4a1－18，
其出现的概率为eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\co1())2＝；
②操作两次，第一次是两个正面朝上或两个反面朝上，第二次是一个正面朝上，一个反面朝上，
则a3＝(2a1－6)＋6＝a1＋3，其出现的概率为eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\co1())2＝；
③操作两次，第一次是一个正面朝上，一个反面朝上，第二次是两个正面朝上或两个反面朝上，
则a3＝2eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\co1(＋6))－6＝a1＋6，其出现的概率为eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\co1())2＝；
④操作两次，两次都是一个正面朝上，一个反面朝上，
则a3＝eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\co1(＋6))＋6＝＋9，其出现的概率为eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\co1())2＝，
因为乙获胜的概率为，即a3≥a1的概率为，
因为a1＋6>a1，a1＋3>a1，
则eq \b\lc\{\rc\ (eq \a\vs4\al\co1(4a1－18≥a1，,＋9解得a1<6或a1>12.
因此，实数a的取值范围是(－∞，6)∪(12，＋∞)．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)在甲、乙等5位学生参加的一次社区专场演唱会中，每位学生的节目集中安排在一起演出，采用抽签的方法随机确定各位学生的演出顺序(序号为1，2，3，4，5)．
(1)甲、乙两人的演出序号至少有一个为偶数的概率；
(2)甲、乙两人的演出序号不相邻的概率．
[解析] 样本空间Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)}，共10个样本点．
其中甲、乙两人至少有一人被安排在偶数号的样本点有：(1，2)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(4，5)，共7个．甲、乙两人被安排在不相邻的演出序号的样本点有：(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，4)，(2，5)，(3，5)，共6个．
(1)事件A＝记“甲、乙两人的演出序号至少有一个为偶数”，则P(A)＝.
(2)事件B＝记“甲、乙两人的演出序号不相邻”，
则P(B)＝＝.
16．(15分)某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为，乙当选的概率为，丙当选的概率为.
(1)求恰有一名同学当选的概率；
(2)求至多有两人当选的概率．
[解析] 设甲、乙、丙当选的事件分别为A，B，C，
则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
(1)易知事件A，B，C相互独立，
所以恰有一名同学当选的概率为
P(A)＋P(B)＋P(C)
＝P(A)P()P()＋P()P(B)P()＋P()P()P(C)
＝××＋××＋××＝.
(2)至多有两人当选的概率为1－P(ABC)＝1－P(A)P(B)P(C)＝1－××＝.
17．(15分)某重点中学为了解高一年级学生身体发育情况，对全校700名高一年级学生按性别进行分层随机抽样检查，测得身高(单位：cm)频数分布表如表1、表2.
表1：男生身高频数分布表
身高(cm) [160，165) [165，170) [170，175) [175，180) [180，185) [185，190]
频数 2 5 14 13 4 2
表2：女生身高频数分布表
身高(cm) [150，155) [155，160) [160，165) [165，170) [170，175) [175，180]
频数 1 7 12 6 3 1
(1)求该校高一女生的人数；
(2)估计该校学生身高在[165，180)内的概率；
(3)以样本频率为概率，现从高一年级的男生和女生中分别选出1人，求这2人中至少有1人的身高在[165，180)内的概率．
[解析] (1)设高一女生人数为x，由题中表1和表2可得样本中男、女生人数分别为40，30，则＝，解得x＝300.因此高一女生的人数为300.
(2)由题中表1和表2可得样本中身高在[165，180)内的男、女生人数分别为32，10，其和为42.样本容量为70.所以样本中该校学生身高在[165，180)内的概率为＝.估计该校学生身高在[165，180)内的概率为.
(3)由题中表格可知：女生身高在[165，180)内的概率为.男生身高在[165，180)内的概率为，
所以这2人中至少有1人的身高在[165，180)内的概率为×eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\co1(1－))＋eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\co1(1－))×＋×＝.
18．(17分)为了研究某种理财工具的使用情况，对[20，70]年龄段的人员进行了调查研究，将各年龄段人数分成5组：[20，30)，[30，40)，[40，50)，[50，60)，[60，70]，并整理得到频率分布直方图如图：
(1)求直方图中a的值；
(2)采用分层随机抽样的方法，从第二组、第三组、第四组中共抽取8人，则三个组中各抽取多少人？
(3)在(2)中抽取的8人中，随机抽取2人，则这2人都来自第三组的概率是多少？
[解析] (1)由频率分布直方图的性质，可得(0.040＋2a＋0.015＋0.005)×10＝1，解得a＝0.020.
(2)由频率分布直方图知第二组、第三组、第四组的频率比为1∶2∶1，
∴三个组依次抽取的人数为2，4，2.
(3)记第二组两人分别为A1，A2，第三组四人分别为B1，B2，B3，B4，第四组两人分别为C1，C2.
样本空间Ω＝{(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(A2，C1)，(A2，C2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B3，B4)，(B3，C1)，(B3，C2)，(B4，C1)，(B4，C2)，(C1，C2)}，共28个样本点，而都来自第三组有(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B3，B4)，P＝＝.
19．(17分)某集团公司为了加强企业管理，树立企业形象，考虑在公司内部对迟到现象进行处罚．先在员工中随机抽取200人进行调查，当不处罚时，有80人会迟到，处罚时，得到如下数据：
处罚金额x(单位：元) 50 100 150 200
迟到的人数y 50 40 20 0
若用表中数据所得频率代替概率．
(1)当处罚金定为100元时，员工迟到的概率会比不进行处罚时降低多少？
(2)将选取的200人中会迟到的员工分为A，B两类：A类员工在罚金不超过100元时就会改正行为；B类是其他员工．现对会迟到的员工按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷，则前两位均为B类员工的概率是多少？
[解析] (1)设“当罚金定为100元时，员工迟到的行为”为事件A，则P(A)＝＝，不处罚时，迟到的概率为＝.所以当罚金定为100元时，比不制定处罚，员工迟到的概率会降低.
(2)由题意知，A类员工和B类员工各有40人，分别从A类员工和B类员工各抽取两人．
设从A类员工抽取的两人分别为A1，A2，从B类员工抽取的两人分别为B1，B2，
设“从A类与B类员工按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷”为事件M，则事件M中首先抽出A1的事件有(A1，A2，B1，B2)，(A1，A2，B2，B1)，(A1，B1，A2，B2)，(A1，B1，B2，A2)，(A1，B2，A2，B1)，(A1，B2，B1，A2)共6种，同理首先抽出A2，B1，B2的事件也各有6种，故事件M共有4×6＝24种．
设“抽取4人中前两位均为B类员工”为事件N，则事件N有(B1，B2，A1，A2)，(B1，B2，A2，A1)，(B2，B1，A1，A2)，(B2，B1，A2，A1)共4种，所以P(N)＝＝，所以抽取4人中前两位均为B类员工的概率是.
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第七章 概率
章末知识梳理
知识体系构建
要点专项突破
●要点一 互斥事件、对立事件与相互独立事件
1．互斥事件是不可能同时发生的两个事件；对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者必须有一个发生．因此对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，对立事件是互斥事件的特殊情况．
2．掌握互斥事件和对立事件的概率公式及应用，提升逻辑推理和数学运算素养．
例1：从1，2，3，…，7这7个数中任取两个数，其中：
①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；
②至少有一个是奇数和两个都是奇数；
③至少有一个是奇数和两个都是偶数；
④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．
上述事件中，是对立事件的是( )
A．① B．②④
C．③ D．①③
[解析] ③中“至少有一个是奇数”，即“两个奇数或一奇一偶”，而从1～7中任取两个数，根据取到数的奇偶性可认为共有三个事件：“两个都是奇数”“一奇一偶”“两个都是偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件，易知其余都不是对立事件．故选C．
●要点二 古典概型
2．掌握古典概型的概率公式及其应用，提升数学抽象、数据分析的数学素养．
例2：生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为( )
●要点三 相互独立事件概率的求法
计算相互独立事件同时发生的概率，一般分为以下几步：
(1)先用字母表示出事件，再分析题中涉及的事件，把这些事件分为若干个彼此互斥的事件的和；(2)根据相互独立事件的概率公式计算出这些彼此互斥的事件的概率；(3)根据互斥事件的概率加法公式求出结果．
●要点四 频率与概率
(1)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率．
(2)频率本身是随机的，在试验前不能确定．
(3)概率是一个确定的常数，是客观存在的，在试验前已经确定，与试验次数无关．
例4：某学校为了解高一新生的体质健康状况，对学生的体质进行了测试．现从男、女生中各随机抽取20人，把他们的测试数据，按照《国家学生体质健康标准》整理如下表．规定：数据≥60，体质健康为合格.
等级 数据范围 男生人数 男生平均分 女生人数 女生平均分
优秀 [90，100] 5 91.3 2 91
良好 [80，89] 4 83.9 4 84.1
及格 [60，79] 8 70 11 70.2
不及格 60以下 3 49.6 3 49.1
合计 － 20 75.0 20 71.9
(1)从样本中随机选取一名学生,求这名学生体质健康为合格的概率;
(2)从男生样本和女生样本中各随机选取一人，求恰有一人的体质健康等级是优秀的概率．