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第一章 预备知识
§1 集合
1．1 集合的概念与表示
课标要求 核心素养
1．通过实例了解集合的含义，掌握集合元素的三个特性，初步运用集合元素的特性解决简单问题．
2．体会元素与集合之间的属于关系，记住并会应用常用数集的表示符号．
3．掌握集合的两种表示方法(列举法和描述法)．
4．能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合．
5．能够正确使用“区间”的符号表示某些集合. 在本节学习中，学生依据老师创设合适的问题情境，学会用集合语言表达学过的相应内容，理解元素与集合的关系、元素的特征及集合的表示方法，培养学生数学抽象，逻辑推理的数学核心素养.
第1课时 集合的概念
必备知识 探新知
知识点1 元素与集合的概念
1．集合：一般地，我们把指定的某些对象的全体称为集合，通常用大写英文字母___________________表示．
2．元素：集合中的每个对象叫作这个集合的元素，通常用小写英文字母___________________表示．
3．集合中元素的特性：给定的集合，它的元素必须是_______的、_______的、顺序任意的．
A，B，C，…
A，B，C，…
确定
互异
知识点2 元素与集合的关系
关系 概念 记法 读法
属于 如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A a_____A a属于
集合A
不属于 如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A ________ a__________
集合A
∈
a A
不属于
知识点3 常用数集及其记法
数集 意义 符号
自然数集 全体自然数组成的集合 N
正整数集 全体正整数组成的集合 N＋或N*
整数集 全体整数组成的集合 Z
有理数集 全体有理数组成的集合 Q
实数集 全体实数组成的集合 R
正实数集 全体正实数组成的集合 R＋
关键能力 攻重难
●题型一 元素与集合的相关概念
例1：下列各组对象：
[分析] 结合集合中元素的特性分析各组对象是否满足确定性和互异性，进而判断能否组成集合．
②③
[解析] ①中的“年龄较小”、④中的“近似值”，这些标准均不明确，即元素不确定，所以①④不能组成集合．
②③中的对象都是确定的、互异的，所以②③可以组成集合．填②③.
[归纳提升]
归纳提升：
1．判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的．如果是“确定无疑”的，就可以构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能构成集合．
2．判断集合中的元素个数时，要注意相同的对象归入同一集合时只能算作一个，即集合中的元素满足互异性．
〉对点训练1
下列每组对象能否构成一个集合：
(1)我国的小城市；
(2)某校2024年在校的所有高个子同学；
(3)不超过20的非负数；
(4)方程x2－9＝0在实数范围内的解．
[解析] (1)“我国的小城市”无明确的标准，对于某个城市是否“小”无法客观地判断，因此，“我国的小城市”不能构成一个集合．(2)“高个子”无明确的标准，对于某个同学是否是“高个子”无法客观地判断，不能构成集合．(3)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x＞20或x＜0”两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合．(4)由x2－9＝0，得x1＝－3，x2＝3.∴方程x2－9＝0在实数范围内的解为－3,3，能构成集合．
●题型二 元素与集合的关系
[分析] 根据元素与集合的关系判断，可令a＝2，b＝－2.
[归纳提升]
归纳提升：
1．(1)判断一个元素是不是某个集合的元素，关键是判断这个元素是否具有这个集合中元素的共同特征．(2)要熟练掌握R、Q、Z、N、N*表示的数集．
2．解决这类比较复杂的集合问题要充分利用集合满足的性质，运用转化思想，将问题等价转化为比较熟悉的问题解决．
〉对点训练2
(1)下列关系中，正确的有( )
2,1,0
(2)由题意可得：3－x可以为1,2,3,6，且x为自然数，因此x的值为2,1,0.因此A中元素有2,1,0.
●题型三 集合中元素的特性的应用
例3：已知集合A中含有3个元素a－2,2a2＋5a,12，且－3∈A，求a的值．
[归纳提升]
归纳提升：
根据集合中元素的特性求值的三个步骤
〉对点训练3
已知2a∈A，a2－a∈A，若A只含这两个元素，则下列说法中正确的是( )
A．a可取全体实数
B．a可取除去0以外的所有实数
C．a可取除去3以外的所有实数
D．a可取除去0和3以外的所有实数
[解析] 因为2a∈A，a2－a∈A，所以2a≠a2－a.
所以a(a－3)≠0.所以a≠0且a≠3.故选D.
●易错警示 数集掌握不熟练致错
例4：下列元素与集合的关系判断正确的是____________ (填序号)．
[错解] ①④
[辨析] N＋表示正整数集而1为正整数，故漏选⑥.
[正解] ①④⑥
①④⑥
课堂检测 固双基
1．下列语句能确定一个集合的是( )
A．充分小的负数全体
B．爱好飞机的一些人
C．某班本学期视力较差的同学
D．某校某班某一天的所有课程
[解析] 由集合的含义，根据集合元素的确定性，易排除A、B、C.故选D.
2．已知集合S＝{a，b，c}中的三个元素是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
[解析] 由集合中元素的互异性知a，b，c互不相等．故选D.
3．用符号“∈”或“ ”填空：
4．集合A中的元素y满足y∈N且y＝－x2＋1，若t∈A，则t的值为__________.
[解析] 因为y∈N且y＝－x2＋1，所以y＝0或y＝1.
即A中有两个元素0,1，又t∈A，所以t＝0或1.
∈
∈
∈
0,1
5．已知由2，a，b三个元素构成的集合与由2a,2，b2三个元素构成的集合是同一个集合，求a，b的值．第一章 §1 1.1 第1课时
素养作业 提技能
A 组·基础自测
一、选择题
1．下列对象能组成集合的是( )
A．高一年级全体较胖的学生
B．著名的科学家
C．全体很大的自然数
D．平面内到△ABC三个顶点的距离相等的所有点
[解析] “较胖”“著名”与“很大”的标准不明确，所以A，B，C不能组成集合；对于D，平面内到△ABC三个顶点的距离相等的所有点，可知这个点就是△ABC外接圆的圆心，满足集合的定义．故选D.
2．若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是( )
A．3.14 B．－5
C． D．
[解析] 由题意知元素a为无理数．故选D.
3．若集合A只含有元素a，则下列各式正确的是( )
A．0∈A B．a A
C．a∈A D．a＝A
[解析] 由题意知A中只有一个元素a，∴0 A，a∈A，元素a与集合A的关系不应该用“＝”．故选C.
4．若以方程x2－5x＋6＝0和x2－x－2＝0的解为元素组成集合M，则M中元素的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] 方程x2－5x＋6＝0的解为x＝2或x＝3，x2－x－2＝0的解为x＝2或x＝－1，所以集合M中含有3个元素．故选C.
5．由实数x，－x，|x|，，－所组成的集合，其含有元素的个数最多为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
[解析] ∵＝|x|，－＝－|x|，故当x＝0时，这几个实数均为0；当x>0时，它们分别是x，－x，x，x，－x；当x<0，它们分别是x，－x，－x，－x，x.最多表示2个不同的数，故集合中的元素最多为2个．故选A.
6．设x∈N，且∈N，则x的值可能是( )
A．0 B．1
C．－1 D．0或1
[解析] ∵－1 N，∴排除C；0∈N，而无意义，排除A、D.故选B.
二、填空题
7．设A表示“中国所有省会城市”组成的集合，则深圳 A，广州 ∈ A(填“∈”或“ ”)．
[解析] 深圳不是省会城市，而广州是广东省的省会．
8．已知集合P中元素x满足：x∈N，且2
[解析] 因为x∈N,2三、解答题
9．记方程x2－x－m＝0的解构成的集合为M，若2∈M，试写出集合M中的所有元素．
[解析] 因为2∈M，所以22－2－m＝0，解得m＝2.解方程x2－x－2＝0，即(x＋1)(x－2)＝0，得x＝－1或x＝2.故M含有两个元素－1,2.
10．由a，，1组成的集合与由a2，a＋b,0组成的集合是同一个集合，求a2 024＋b2 024的值．
[解析] 由a，，1组成一个集合，可知a≠0，a≠1，由题意可得＝0，即b＝0，此时两集合中的元素分别为a,0,1和a2，a,0，因此a2＝1，解得a＝－1或a＝1(不满足集合中元素的互异性，舍去)，因此a＝－1，且b＝0，所以a2 024＋b2 024＝(－1)2 024＋0＝1.
B 组·素养提升
一、选择题
1．如果a、b、c、d为集合A的四个元素，那么以a、b、c、d为边长构成的四边形可能是( )
A．矩形 B．平行四边形
C．菱形 D．梯形
[解析] 由于集合中的元素具有“互异性”，故a、b、c、d四个元素互不相同，即组成四边形的四条边互不相等．故选D.
2．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m的值为( )
A．2 B．3
C．0或3 D．0或2或3
[解析] 因为2∈A，所以m＝2，或m2－3m＋2＝2，解得m＝0或m＝3.又集合中的元素要满足互异性，对m的所有取值进行一一检验可得m＝3.故选B.
3．(多选题)已知集合A中元素满足x＝3k－1，k∈Z，则下列表示正确的是( )
A．－2∈A B．－11 A
C．3k2－1∈A D．－34 A
[解析] 令3k－1＝－2，解得k＝－，－ Z，
∴－2 A；
令3k－1＝－11，解得k＝－，－ Z，∴－11 A；
∵k2∈Z，∴3k2－1∈A；
令3k－1＝－34，解得k＝－11，－11∈Z，
∴－34∈A.故选BC.
4．(多选题)已知集合A中含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，则实数a的值可以为( )
A．0 B．1
C．2 D．－1
[解析] 因为集合A中含有两个元素a－3和2a－1，且－3∈A，所以当a－3＝－3，即a＝0时，集合A中元素为－1，－3，符合题意；当2a－1＝－3，即a＝－1时，集合A元素为－4，－3，符合题意．故实数a的值可以为0，－1.故选AD.
二、填空题
5．用适当的符号填空：
已知A＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，B＝{x|x＝6m－1，m∈Z}，则17 ∈ A；－5 A；17 ∈ B．
[解析] 令3k＋2＝17，得k＝5,5∈Z，所以17∈A；令3k＋2＝－5，得k＝－，－ Z，所以－5 A；令6m－1＝17，得m＝3,3∈Z，所以17∈B.
6．集合A中含有两个元素x和y，集合B中含有两个元素0和x2，若A，B相等，则实数x的值为 1 ，y的值为 0 .
[解析] 因为集合A，B相等，所以x＝0或y＝0.
①当x＝0时，x2＝0，此时集合B中的两个元素为0和0，不满足集合中元素的互异性，故舍去；
②当y＝0时，x＝x2，解得x＝0或x＝1，由①知x＝0应舍去，经检验，x＝1符合题意，
综上可知，x＝1，y＝0.
三、解答题
7．已知集合A中含有两个元素a－3和2a－1.
(1)若－2是集合A中的元素，试求实数a的值；
(2)－5能否为集合A中的元素？若能，试求出该集合中的所有元素；若不能，请说明理由．
[解析] (1)因为－2是集合A中的元素，
所以－2＝a－3或－2＝2a－1.
若－2＝a－3，则a＝1，
此时集合A含有两个元素－2,1，符合要求；
若－2＝2a－1，则a＝－，
此时集合A中含有两个元素－，－2，符合要求．
综上所述，满足题意的实数a的值为1或－.
(2)不能．理由：若－5为集合A中的元素，则a－3＝－5或2a－1＝－5.
当a－3＝－5时，解得a＝－2，此时2a－1＝2×(－2)－1＝－5，显然不满足集合中元素的互异性；
当2a－1＝－5时，解得a＝－2，此时a－3＝－5显然不满足集合中元素的互异性．
综上，－5不能为集合A中的元素．
8．已知集合A＝{x|x＝m＋n，m，n∈Z}．
(1)试分别判断x1＝－，x2＝，x3＝(1－2)2与集合A的关系；
(2)设x1，x2∈A，证明：x1·x2∈A.
[解析] (1)x1＝－＝0＋(－1)×，因为0，－1∈Z，所以x1∈A；
x2＝＝＝1＋×，因为1∈Z，但 Z，所以x2 A；
x3＝(1－2)2＝9－4＝9＋(－4)×，因为9，－4∈Z，所以x3∈A.
(2)因为x1，x2∈A，所以可设x1＝m1＋n1，x2＝m2＋n2，且m1，n1，m2，n2∈Z，
所以x1·x2＝(m1＋n1)(m2＋n2)
＝m1m2＋(m2n1＋m1n2)＋2n1n2
＝(m1m2＋2n1n2)＋(m2n1＋m1n2)．
因为m1m2＋2n1n2∈Z，m2n1＋m1n2∈Z，所以x1·x2∈A.
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