第一章 §1 1.2
素养作业 提技能
A 组·基础自测
一、选择题
1．下列关系式正确的是( )
A．∈Q B．{2}＝{x|x2＝4}
C．{a，b}＝{b，a} D． ∈{2 024}
[解析] 是无理数，A不正确；{x|x2＝4}＝{－2,2}，B不正确；由集合元素的性质知，C正确；集合{2 024}与 的关系是包含与被包含关系，不是属于与不属于关系，D不正确．故选C.
2．若{1,2}＝{x|x2＋bx＋c＝0}，则( )
A．b＝－3，c＝2 B．b＝3，c＝－2
C．b＝－2，c＝3 D．b＝2，c＝－3
[解析] 由题意可知，1,2是方程x2＋bx＋c＝0的两个实根，∴∴故选A.
3．已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{y|y＝x2，x∈M}，则( )
A．M?N B．N?M
C．M＝N D．M，N的关系不确定
[解析] 由题意，得N＝{0,1}，故N?M.故选B.
4．集合A＝{x∈R|x(x－1)(x－2)＝0}，则集合A的非空子集的个数为( )
A．4 B．8
C．7 D．6
[解析] 集合A＝{x∈R|x(x－1)(x－2)＝0}＝{0,1,2}，共有23＝8个子集，其中非空子集有7个．故选C.
5．设集合A＝{x|1A．{a|a≤2} B．{a|a≤1}
C．{a|a≥1} D．{a|a≥2}
[解析] ∵A B，∴a≥2，故选D.
二、填空题
6．下列命题：
①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若 ?A，则A≠ .
其中正确的是 ④ .
[解析] 不是其自身的真子集，所以④正确．
7．设集合M＝{(x，y)|x＋y<0，xy>0}和P＝{(x，y)|x<0，y<0}，那么M与P的关系为 M＝P .
[解析] ∵xy>0，∴x，y同号，又x＋y<0，∴x<0，y<0，即集合M表示第三象限内的点．而集合P表示第三象限内的点，故M＝P.
8．已知集合A＝{－1,5,6m－9}，集合B＝{5，m2}，若B A，则实数m＝ 3 .
[解析] ∵B A，∴m2＝6m－9，∴m＝3.
三、解答题
9．已知集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且B?A，求m的值．
[解析] A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}．
∵B?A，∴当B＝ 时，m＝0符合题意；
当B≠ 时，方程mx＋1＝0的解为x＝－，则－＝－3或2，∴m＝或－.
综上可知，m的值为0或或－.
10．已知集合E＝{x|＝0}，F＝{x|x2－(a－1)x＝0}，判断集合E和F的关系．
[解析] E＝{x|＝0}＝{0}．
下面对方程x2－(a－1)x＝0的根的情况进行讨论．
由方程x2－(a－1)x＝0得x＝0或x＝a－1.
①当a＝1时，方程有两个相等的实根x1＝x2＝0，此时F＝{0}，E＝F.
②当a≠1时，方程有两个不相等的实根，x＝0或x＝a－1，且a－1≠0，此时，F＝{0，a－1}，E?F.
综上，当a＝1时，E＝F；当a≠1时，E?F.
B 组·素养提升
一、选择题
1．已知集合P＝{x|－2A．P?Q B．Q?P
C．P＝Q D．不确定
[解析] ∵Q＝{x|x－5<0}＝{x|x<5}，
∴利用数轴判断P、Q的关系．
如图所示，
由图可知，P?Q.故选A.
2．已知集合A＝{x|1A．{a|a≥2 024} B．{a|a>2 024}
C．{a|a≥1} D．{a|a>1}
[解析] ∵A?B，故将集合A、B分别表示在数轴上，如图所示．
由图可知，a≥2 024.故选A.
3．(多选题)集合A＝{(x，y)|y＝x}和B＝，则下列结论中正确的是( )
A．1∈A B．B A
C．(1,1)∈B D． ∈A
[解析] B＝＝{(1,1)}，又点(1,1)在直线y＝x上，故选BC.
4．(多选题)设S为实数集R的非空子集，若对任意x，y∈S，都有x＋y，x－y，xy∈S，则称S为封闭集．则下列说法中正确的是( )
A．集合S＝{a＋b|a，b为整数}为封闭集
B．若S为封闭集，则一定有0∈S
C．封闭集一定是无限集
D．若S为封闭集，则满足S T R的任意集合T也是封闭集
[解析] A对，任取x，y∈S，不妨设x＝a1＋b1，y＝a2＋b2(a1，a2，b1，b2∈Z)，则x＋y＝(a1＋a2)＋(b1＋b2)，其中a1＋a2，b1＋b2均为整数，即x＋y∈S.同理可得x－y∈S，xy∈S；B对，当x＝y时，0∈S；C错，当S＝{0}时，S是封闭集，但不是无限集；D错，设S＝{0} T＝{0,1}，显然S是封闭集，T不是封闭集．因此，说法正确的是AB.故选AB.
二、填空题
5．集合{(1,2)，(－3,4)}的所有非空真子集是 {(1,2)}，{(－3,4)} .
[解析] 集合{(1,2)，(－3,4)}的所有非空真子集是{(1,2)}，{(－3,4)}．
6．已知集合M＝{x|ax2＋2x－1＝0}，若M有两个子集，则a的值是_0或－1__.
[解析] 因为M有两个子集，所以方程ax2＋2x－1＝0只有一个解或两个相等的解．当a＝0时，方程ax2＋2x－1＝0只有一个解x＝，符合题意； 当a≠0时，方程ax2＋2x－1＝0有两个相等的解，则Δ＝0，即Δ＝4＋4a＝0，解得a＝－1.
三、解答题
7．设集合A＝{x，x2，xy}，集合B＝{1，x，y}，且集合A与集合B相等，求实数x，y的值．
[解析] 由题意得①或②
解①，得或
经检验不合题意，舍去，符合题意．
解②，得经检验不合题意，舍去，
综上得
8．已知集合P＝{x∈R|x2－3x＋m＝0}，集合Q＝{x∈R|(x＋1)2(x2＋3x－4)＝0}，集合P能否成为集合Q的一个子集？若能，求出m的取值范围，若不能，请说明理由．
[解析] (1)当P＝ 时，集合P是集合Q的一个子集，此时方程x2－3x＋m＝0无实数根，即Δ＝9－4m<0，所以m>.
(2)当P≠ 时，易得Q＝{－1，－4,1}．
①当－1∈P时，－1是方程x2－3x＋m＝0的一个根，所以m＝－4，易得P＝{4，－1}，不是集合Q的一个子集；
②当－4∈P时，－4是方程x2－3x＋m＝0的一个根，所以m＝－28，易得P＝{－4,7}，不是集合Q的一个子集；
③当1∈P时，1是方程x2－3x＋m＝0的一个根，所以m＝2，易得P＝{1,2}，不是集合Q的一个子集．
综上可知，集合P能成为集合Q的一个子集，m的取值范围是.
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第一章 预备知识
§1 集合
1.2 集合的基本关系
课标要求 核心素养
1．理解集合之间包含和相等的含义，并会用符号和Venn图表示．
2．会识别给定集合的真子集，会判断给定集合间的关系，并会用符号和Venn图表示．
3．在具体情境中理解空集的含义. 1．在本节学习中，学生要以义务教育阶段学过的数学内容为载体，依据老师创设合适的问题情境，理解子集、真子集、集合相等、空集等概念，培养学生数学抽象的核心素养．
2．要注意集合之间关系的几种表述方法：自然语言、符号语言、图形语言，理解并掌握以上方法的转化及应用，培养学生逻辑推理，直观想象的核心素养.
必备知识 探新知
知识点1 Venn图
为了直观地表示集合间的关系，常用平面上封闭曲线的内部表示集合，称为Venn图．
知识点2 子集
定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中____________元素都是集合B中的元素，即若a∈A，则a∈B，那么称集合A为集合B的子集
任何一个
记法与
读法 记作__________(或__________)，
读作“A包含于B”(或“B包含A”)
图示 或
结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即A A.
(2)空集是任何集合的子集，即对于任意一个集合A，都有 A.
(3)对于集合A，B，C，若A B，且B C，则A C
A B
B A
知识点3 集合相等
自然语言 对于两个集合A与B，如果集合A是集合B的子集，且集合B也是集合A的子集，那么称集合A与集合B相等
符号语言 A B且B A A＝B
图形语言
知识点4 真子集
A B
A≠B
关键能力 攻重难
●题型一 集合间关系的判断
例1：指出下列各组集合之间的关系：
(1)A＝{x|－1(2)A＝{x|x＝2n，n∈Z}，B＝{x|x＝4n，n∈Z}；
[分析] (1)中集合表示不等式，可以根据范围直接判断，也可以利用数轴判断；(2)根据集合表示数集的意义进行判断；(3)解集合A中方程得到集合A，再根据集合B中n分别为奇数、偶数得到集合B，进行判断；(4)可以根据集合中元素的特征或者集合的几何意义判断．,
(4)方法一：由xy>0得x>0，y>0或x<0，y<0；由x>0，y>0或x<0，y<0得xy>0，从而A＝B.
方法二：集合A中的元素是平面直角坐标系中第一、三象限内的点对应的坐标，集合B中的元素也是平面直角坐标系中第一、三象限内的点对应的坐标，从而A＝B.
[归纳提升]
归纳提升：判断集合间关系的常用方法
(1)列举观察法
当集合中元素较少时，可列出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系．
(2)集合元素特征法
首先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系．
一般地，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，①若由p(x)可推出q(x)，则A B；②若由q(x)可推出p(x)，则B A；③若p(x)，q(x)可互相推出，则A＝B；④若由p(x)推不出q(x)，由q(x)也推不出p(x)，则集合A，B无包含关系．
(3)数形结合法
利用Venn图、数轴等直观地判断集合间的关系．一般地，判断不等式的解集之间的关系，适合画出数轴．
〉对点训练1
(2024·四川广元外国语高一段考)下列各式中，正确的个数是( )
① ＝{0}；② {0}；③ ∈{0}；④0＝{0}；⑤0∈{0}；⑥{1}∈{1,2,3}；⑦{1,2} {1,2,3}；⑧{a，b} {b，a}．
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] 表示空集，没有元素，{0}有一个元素，则 ≠{0}，故①错误；∵空集是任何集合的子集，故②正确； 和{0}都表示集合，故③错误；0表示元素，{0}表示集合，故④错误；0∈{0}，故⑤正确；{1}，{1,2,3}都表示集合，故⑥错误；{1,2}中的元素都是{1,2,3}中的元素，故⑦正确；由于集合的元素具有无序性，故{a，b} {b，a}，故⑧正确．综上，正确的个数是4个．故选D.
●题型二 确定集合的子集、真子集
例2：设A＝{x|(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0}，写出集合A的子集，并指出其中哪些是它的真子集．
[解析] 由(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0，得(x－4)(x＋1)(x＋4)2＝0，则方程的根为x＝－4或x＝－1或x＝4.
故集合A＝{－4，－1,4}，由0个元素构成的子集为： .
由1个元素构成的子集为：{－4}，{－1}，{4}．
由2个元素构成的子集为：{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}．
由3个元素构成的子集为：{－4，－1,4}．
因此集合A的子集为： ，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4, 4}，{－1,4}，{－4，－1,4}．
真子集为： ，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4,4}，{－1, 4}．
[归纳提升]
归纳提升：
(1)若集合A中有n(n∈N＋)个元素，则集合A有2n个子集，有(2n－1)个真子集，有(2n－1)个非空子集，有(2n－2)个非空真子集．
(2)写出一个集合的所有子集时，首先要注意两个特殊的子集： 和自身．其次，依次按含有1个元素的子集，含有2个元素的子集，含有3个元素的子集，……一一写出，保证不重不漏．
〉对点训练2
满足{a，b} A?{a，b，c，d}的集合A的个数是( )
A．2 B．3
C．5 D．7
[解析] 由题意知，集合A可以为{a，b}，{a，b，c}，{a，b，d}．故选B.
●题型三 由集合间的关系求参数范围问题
例3：已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1[分析] 借助数轴分析，注意B是否为空集．
[解析] (1)因为B A，
当B＝ 时，m＋1≤2m－1，解得m≥2.
[归纳提升]
归纳提升：
(1)分析集合间的关系时，首先要分析、简化每个集合．
(2)借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．
此类问题要注意对空集的讨论．
〉对点训练3
(1)已知集合A＝{－1,3,2m－1}，集合B＝{3，m2}，若B A，则实数m＝______；
(2)已知集合A＝{x|x<－1，或x>4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B A，求实数a的取值范围．
[解析] (1)因为B A，所以m2＝2m－1，
即(m－1)2＝0，所以m＝1.当m＝1时，A＝{－1,3,1}，B＝{3,1}，满足B A，故m＝1.
1
(2)当B＝ 时，只需2a>a＋3，即a>3；
当B≠ 时，根据题意作出如图所示的数轴，
●易错警示 忽视“空集”的存在
例4：已知集合A＝{－1,1}，B＝{x|ax＋1＝0}，若B A，则实数a的所有可能取值的集合为( )
A．{－1} B．{1}
C．{－1,1} D．{－1,0,1}
[点评] 已知两个集合之间的关系求参数时，要根据集合间的关系来确定元素之间的关系，需关注子集是否为空集．
一般地，当集合为有限集时，往往通过列方程或方程组来处理，此时需注意集合中元素的互异性；当集合为连续型无限集时，往往借助数轴列不等式或不等式组来求解，要注意运用分类讨论、数形结合等思想方法，尤其需注意端点值能否取到．
课堂检测 固双基
1．已知集合M＝{菱形}，N＝{正方形}，则有( )
A．M N B．M∈N
C．N M D．M＝N
[解析] ∵M＝{菱形}，N＝{正方形}，∴集合N的元素一定是集合M的元素，而集合M的元素不一定是集合N的元素，∴N M.故选C.
2．下列四个集合中是空集的是( )
A．{ } B．{x∈R|x2＋1＝0}
C．{x|1[解析] 方程x2＋1＝0无实数解，∴集合{x∈R|x2＋1＝0}为空集，故选B.
3．集合P＝{x|x≥－1}，Q＝{y|y≥0}，则P与Q的关系是( )
4．集合A＝{x|0≤x<3且x∈Z}的真子集个数是( )
A．5 B．6
C．7 D．8
[解析] A＝{x|0≤x<3且x∈Z}＝{0,1,2}，∴集合A的真子集个数为7，故选C.
5．下列正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的Venn图是______.
②
